陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得

云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟

此次听陈教授的课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史

法国著名的数学家H.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

在这一讲中，陈教授对weierstrass的“ε?N”、“ε?δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：《数学分析》的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。如果仔细盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ε?N”、“ε?δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。

第二讲、实数系的基本定理

在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔

伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括Q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。

对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是ε，这是非常精彩的结果。

从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。

陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。

第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数

法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。

著名的欧拉公式：e?i?1?0，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（0,1,i,e,?）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。

在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。

本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求

出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了L’Hospital法则(《数学译林》09.3)。

第四讲 级数与反常积分收敛的A.D判别法

恰逢这个学期讲《数学分析》(3)，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是A.D判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。

陈教授对Abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对陈教授从Abel引理分析?anbn收敛条件的分析而得到Dilichlet判别法和Abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。

第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛

一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“?x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。

请注意陈教授的这句话：“毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近，N无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。

第六讲 Weierstrass函数：处处连续处处不可导的函数

陈教授分析了为何在Weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。

Weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：

?ansin(bnx) 0<a<1<b, ab>1

陈教授选用19xx年Van Der Waerden给出的例子进行了剖析。所讲自是精当，本人很是受益。

第七讲 条件极值问题与Lagrange乘数法

本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件，

引入Lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。

对于具体使用Lagrange乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。第二个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！）。

第八讲 重积分的变量代换

本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。

为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换T为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。

第九讲 《数学分析》课程中的否定命题

《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！（请不要误解！）

两个命题A与B如果既不能同时成立，也不能同时不成立，就称A与B互为否定命题。 若A与B互为否定命题，则A与B一定满足：一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。（废话！）

有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！）、可导与不可导、Cauchy收敛准则及其否定命题，等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。

我在讲《数学分析》(1)时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。 陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！

陈教授的九讲，给了我们太多的启示：

一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。陈教授的这九讲，应该是我们

讲授《数学分析》的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！

二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注

重思想方法的渗透。

三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了解数学的过去、

现在，以便开创数学的将来。

四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们

自身积极的寻找对策。陈教授就是这样的。

以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请陈教授见谅并斧正。 最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！

滇源后学：周兴伟

第二篇：高数学习心得

浅谈高数在大学物理中的应用

——一学年高数学习心得 人员： 刘航 熊干 张蓉

前言：

通过“高数”一年的学习以及对《大学物理》的一学期学习，使我们真正了解到了和认识到了高数的重要性。重点认识到它充当工具学科的重要性。我们认为高数的学习并不在于他的本身而是在应用，只有用的好，用的熟才没白学。本着学以致用的观点，我们小组讨论与总结了本学习新加课程《大学物理》学习中所用的高等数学知识，以帮助同学们更好的认识“高数”，提高同学们对高数的重视。

正文：

大学物理同高中物理的主要区别在于高中物理主要在研究定量的变化过 程，而我们知道恒定变化过程是不常见的，事物的变化时绝对的，静止时相对 的。而我们物理是来解释我们日常的物理现象及微观物理现象，而这种现象的变化不往往不会是恒定的，例如我们行驶的汽车不会是恒定加速度，恒定速度， 我们走的路线也不会是一条笔直的直线而是变速变加速的曲线运动，这样我们 利用简单的数学计算也是无法准确的计算它的路程，速度的变化规律。此时高等数学恰好满足这种描述和计算的需求。

下面我们来看看高数在大学物理中的相关应用。

一 导数与微分的应用

高等数学的定义是图形中的曲线的斜率即为 y 对 x 的导数，这在物理上也有着相同的应用，如已知运动方程求速度方程、加速度方程等。利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。

如：

例1将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即R?mk2gv2. 如上掷时的速度为v0，试证此质点又落至投掷点时的速度为v1?v0

?kv22

0.

解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：上升：my????mg?mk2gy?2, v。

下降：?my????mg?mk2gy?2. mg 上升时 R 下降时 mg

对上升的阶段：dvdvdyvdv??g(1?k2v2)，即???g(1?k2v2), dtdydtdy

0hvdvvdv??gdy. 两边积分????gdy， 于是v01?k2v201?k2v2

得质点到达的高度

h?12ln(1?k2v0). (1) 22kg

对下降的阶段：dvdyvdv??g(1?k2v2),即得dydtdy?v1

00vdv?gdy,得22?h1?kv

h??1ln(1?k2v12). (2) 22kg

v0

?kv22

0由(1)=(2) 得v1?.

除此之外在变力做功中也用到了微分思想，如：

例2

选取弹簧自然伸长处为x坐标的原点，当弹簧形变量为x时，弹性力做功为多少？ 解：弹性力为F=-kx 式中k为弹簧的劲度系数

则 A??xFxdx??x?kxdx??(kx2?kx02)

00xx1122

可见，功是力对位置的积分。

上述例子在整个过程中间，F为变力，为了解决问题，取位移元dx，则在dx内，F可以看做一恒力，那么利用功的定义，元功dA?Fdx,再对于整个区间进行积分，就可得到结果。

二 积分在物理中的应用

我们知道积分是求微分的逆过程，积分也会是学习大学物理的一种重要的大学工具。

1. 积分在计算刚体转动惯量中的应用

刚体:把物体看作有质量和大小形状，但在外力作用下大小形状不发生改变的理想模型；

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是刚体力学中的一个重要参数，在质点系中转动惯量的表达式为

J??miri2

i

有定积分的定义可知当质量连续分布时，刚体的转动惯量可表示为

J??r2dm m

如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的传统惯量：（1）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；（2）转轴通过棒一端并与棒垂直。

解：（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直

在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴0的距离为x，设棒的线密度（即单位

m长度上的质量）为??，则该质元的质量dm=?dx.该质元对中心轴的转动惯量l

为

dj?x2dm??x2dx

整个棒对中心轴的转动惯量为

J??dJ???x2dx?1

21?21ml2 12

（2）转轴通过棒的一端与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为

l1J??rx2dx?ml2 02

由于棒上各点到转轴距离不一样，因此不能用转动惯量的定义计算，那么我们就要选取就要选取一个质元dm=?dx，此质元可以作为质点来看，那么运用转动惯

22dj?xdm??xdx，然后对整个区间进行量定义，那么该质元对转轴的转动惯量

积分，就得到整个棒的转动惯量。

由上述例子，可以看出定积分可以解决已知质量分布时，刚体的转动惯量 2 质点运动学中的计算

例3 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。

解：设雨滴的本体为m.由物理学知

d(mv)?F. (1) dt

1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为r,则雨滴质量m是与半径r的三次方成正比，密度看成是

不变的，于是

m?k1r3， (2)

其中k1为常数。

2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即

dm?k?4?r2?k2r2, (3) dt

其中k2为常数。由(2)，得

dmdr?k1?3r2. (4) dtdt

由(3)=(4)，得

drk2???. (5) dt3k1

对(5)两边积分：?dr???dt,得 a0rt

r??t?a, (6)

将(6)代入(2)，得

m?k1(?t?a)3. (7)

3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式

d[k1(?t?a)3v]?k1(?t?a)3g, (8) dt

?v

0d[k1(?t?a)v]??k1(?t?a)3gdt, 03t

k1(?t?a)3v?1k1g(?t?a)4?k3,（k3为常数） 4?

k1ga4ga4

,v?当t?0时，v?0，故k3??[?t?a?]. 34?4?(?t?a)

三 数学模型的应用

数学模型的建立在这学期主要体现在物理实验数据处理方面，如：“模拟静电场”的所用的 对数线性回归模型。及“温差电动势”中所用的线性回归模型。

结束语：

在高数的学习过程中我们应该多想想它今后的重要性即发挥出的工具学科的重要性，在学习过程中尽力学好；同时我们在学习大学物理和专业课程中我们要时刻记住高等数学的作用，时刻想到利用数学方法来来解决我们的问题，另外在

我们学习高等数学的同时也可以根据我们大学物理的事实来加强对高等数学的理解，这样我们才能把高数这门工具学科学好用好。

附录：参考文献

1康垂令，《大学物理（上）》，武汉理工大学出版社

2刘笑兰，《大学物理[M]》北京：北京邮电大学出版社

3孙川 ，《毕业设计——微积分的几点物理应用》

（/view/9f2ee136eefdc8d376ee320b.html）