第33讲     数列模型及应用

【考点解读】

1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题.

2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.

【知识扫描】

1．解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2) 建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．

(3)求解——求出该问题的数学解．

(4) 还原——将所求结果还原到原实际问题中．

2、数列实际应用题常见的数学模型

(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,存期为x期，则本利和y=                 .

(2)单利公式:利用按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=               .

(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则b=

【考计点拨】

牛刀小试：

1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是(　D　)

A．2007　　　　　B．2008         C．2009                    D．2010

2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　B　)

A．6秒钟  B．7秒钟   C．8秒钟  D．9秒钟

5.在一个凸多边形中，最小内角为120°，各内角度数成等差数列，公差为5°，则这一凸多边形的边数为(  A    )

A.9                 B.16       C.9或16         D.9或10

4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的个数为________．

答案：0

5．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________．

答案：25%

典例分析：

题型一：产值模型，原来产值的基数为N，平均增长率为P，对于时间的总产值

例1．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，

（1）求的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）

解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则

，

，

，

………

．

（2）当时，有得即，

所以，．

答：经过8年后该地区就开始水土流失．

例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？

解：第一个月月底余

元，

设第个月月底余，第个月月底余，

则，

从而有，

设，∴是等比数列，

∴，，

还贷后纯收入为元．

题型二：复利公式，按复利计算利息的一种储蓄，本金为a，每期利率为r,存期为x，则本利和为

例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；

乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：）

解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：

（万元）

到期时银行的本息和为（万元）

∴甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）

乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：

（万元）

贷款的本利和为：（万元）

∴乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）

所以，甲方案的获利较多．

例4．(湖南省重点中学20##届高三第一次月考理) (本小题满分13分)

为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．

（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；

（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

归纳小结

1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；

2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数计算准确；

3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；

4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．

第二篇：数列模型及应用