实验三：用FFT对信号作频谱分析

一．实验目的：

学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析 误差及其原因，以便正确应用FFT。

二．实验原理：

用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是，因此要求。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。

周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。

对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。

三．实验步骤及内容：

（1）对以下序列进行谱分析。

　　　　　　

   选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。 并进行对比、分析和讨论。

（2）对以下周期序列进行谱分析。

           

           

选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况分别对以上序列进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。并进行对比、分析和讨论。

（3）对模拟周期信号进行谱分析

           

选择 采样频率，变换区间N=16,32,64 三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性，并进行分析和讨论

四．实验程序：

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clear all;close all;clc;

%实验内容(1)

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x1n=[ones(1,4)];    %产生序列向量x1(n)=R4(n)

M=8;xa=1:(M/2);  xb=(M/2):-1:1; x2n=[xa,xb];    %产生长度为8的三角波序列x2(n)

x3n=[xb,xa];

X1k8=fft(x1n,8);        %计算x1n的8点DFT

X1k16=fft(x1n,16);      %计算x1n的16点DFT

X2k8=fft(x2n,8);        %计算x1n的8点DFT

X2k16=fft(x2n,16);        %计算x1n的16点DFT

X3k8=fft(x3n,8);        %计算x1n的8点DFT

X3k16=fft(x3n,16);        %计算x1n的16点DFT

%以下绘制幅频特性曲线

subplot(2,2,1);mstem(X1k8); %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])

subplot(2,2,3);mstem(X1k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

title('(1b)16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))])

figure(2)

subplot(2,2,1);mstem(X2k8); %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(2a) 8点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))])

subplot(2,2,2);mstem(X2k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

title('(2b)16点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))])

subplot(2,2,3);mstem(X3k8); %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(3a) 8点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X3k16);%绘制16点DFT的幅频特性图

title('(3b)16点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))])

实验结果分析：

图说明的8点DFT和16点DFT分别是的频谱函数的8点和16点采样；

因为，所以，与的8点DFT的模相等，如图但是，当N=16时，与不满足循环移位关系。

%实验内容(2) 周期序列谱分析

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close all;clear all;clc;

N=8;n=0:N-1;        %FFT的变换区间N=8

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k8=fft(x4n);       %计算x4n的8点DFT

X5k8=fft(x5n);       %计算x5n的8点DFT

N=16;n=0:N-1;      %FFT的变换区间N=16

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k16=fft(x4n);      %计算x4n的16点DFT

X5k16=fft(x5n);      %计算x5n的16点DFT

figure(3)

subplot(2,2,1);mstem(X4k8); %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(4a) 8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))])

subplot(2,2,3);mstem(X4k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

title('(4b)16点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))])

subplot(2,2,2);mstem(X5k8); %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(5a) 8点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X5k16); %绘制16点DFT的幅频特性图

title('(5b)16点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))])

实验结果分析：

对周期序列谱分析

的周期为8，所以N=8和N=16均是其周期的整数倍，得到正确的单一频率正弦波的频谱，仅在0.25π处有1根单一谱线。如图所示。

的周期为16，所以N=8不是其周期的整数倍，得到的频谱不正确，如图（5a）所示。N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25π和0.125π处有2根单一谱线。

%实验内容(3) 模拟周期信号谱分析

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close all;clear all;clc;

figure(4)

Fs=64;T=1/Fs;

N=16;n=0:N-1;        %FFT的变换区间N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);   %对x6(t)16点采样

X6k16=fft(x6nT);      %计算x6nT的16点DFT

X6k16=fftshift(X6k16);      %将零频率移到频谱中心

Tp=N*T;F=1/Tp;   %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F;       %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(6a) 16点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k16))])

N=32;n=0:N-1;        %FFT的变换区间N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);   %对x6(t)32点采样

X6k32=fft(x6nT);      %计算x6nT的32点DFT

X6k32=fftshift(X6k32);      %将零频率移到频谱中心

Tp=N*T;F=1/Tp;   %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F;       %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图

title('(6b) 32点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32))])

N=64;n=0:N-1;        %FFT的变换区间N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);   %对x6(t)64点采样

X6k64=fft(x6nT);      %计算x6nT的64点DFT

X6k64=fftshift(X6k64);      %将零频率移到频谱中心

Tp=N*T;F=1/Tp;   %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F;       %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),'.'); box on%绘制8点DFT的幅频特性图

title('(6a) 64点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64))])

实验结果分析：

对模拟周期信号谱分析

        

有3个频率成分，。所以的周期为0.5s。 采样频率。变换区间N=16时，观察时间Tp=16T=0.25s，不是的整数倍周期，所以所得频谱不正确，如图（6a）所示。变换区间N=32,64 时，观察时间Tp=0.5s，1s，是的整数周期，所以所得频谱正确，如图（6b）和（6c）所示。图中3根谱线正好位于处。变换区间N=64 时频谱幅度是变换区间N=32 时2倍，这种结果正好验证了用DFT对中期序列谱分析的理论。

五．思考题：

（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？

（2）当N=8时，和的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？

答：（1）、如果的周期预先不知道，可截取M点进行DFT，即

                   0M-1

再将截取长度扩大1倍，截取

                02M-1

比较和 ，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以或 近似表示的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为则表示点的谱线强度。

第二篇：FFT分析信号频谱