实验三：用FFT对信号作频谱分析实验报告
一、 实验目的与要求
学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT。
二、 实验原理
用FFT对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N，因此要求2π/N小于等于D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N要适当选择大一些。
三、 实验步骤及内容
（1）对以下序列进行FFT分析：
x1(n)=R4(n)
x2(n)=
x3(n)=
选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。
实验结果如下
分析：图（1a）和（1b）说明X1（n）=R4n的8点DFT和16点DFT分别是XI（n）的频谱函数的8点和16点采样；因X3（n）=X2（(n-3)）8R8(n).故X3（n）与X2（n)的8点DFT的模相等，如图（2a）（2b)所示。但当N=16时，X3(n)与X2(n)不满足循环移位关系，故图（2b）（3b）的模不同
分析：
X4(n)=cos(
n／4)的周 期为8，故N=8和N=16均是其 周 期 的 整 数 倍，得 到正确的单一频率正弦波的频谱，仅在0.25处有1根单一谱 线，如 图（4a）和 图（4b）所示。X5(n)= cos(n／4)+ cos(n／8)的周 期 为16，故N=8不 是 其 周 期 的 整 数 倍，得到的频谱 不正确 如 图（5a）所示。N=16是其一个周期，得 到 正 确 的 频谱，仅在0.25л和0.125л有2根单一谱线，如 图（5b）所示。
分析：X6（t）有3个频率成分。f1=4Hz,f2=8Hz,f3=10Hz,故其周期为0.5s。采样频率Fs=64Hz,f1=Bf2=6.4f3 变换区间N=64时，观察区间TP=16T=0.24s，不是X6（t）的整数倍周期，故得周期不正确，如图（6a）所示。变换区间N=32,64时，观察区间Tp=0.5s,1s,时x6(t)得整数倍周期，所得频率正确。如图（6b）（6c）.图中3根谱线正好分别位于4,8,10Hz处。
四、 【附录】（实验中代码）
x1n=[ones(1,4)]; %产生R4(n)序列向量
X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT
X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT
%以下绘制幅频特性曲线
N=8;
f=2/N*(0:N-1);
figure(1);
subplot(1,2,1);stem(f,abs(X1k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=16;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(1,2,2);stem(f,abs(X1k16),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(1a) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
%x2n 和 x3n
M=8;xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1;
x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n)
x3n=[xb,xa];
X2k8=fft(x2n,8);
X2k16=fft(x2n,16);
X3k8=fft(x3n,8);
X3k16=fft(x3n,16);
figure(2);
N=8;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,1);stem(f,abs(X2k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(2a) 8点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(2,2,3);stem(f,abs(X3k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(3a) 8点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=16;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,2);stem(f,abs(X2k16),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(2a) 16点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(2,2,4);stem(f,abs(X3k16),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(3a) 16点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
%x4n 和 x5n
N=8;n=0:N-1;
x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k8=fft(x4n,8);
X4k16=fft(x4n,16);
X5k8=fft(x5n,8);
X5k16=fft(x5n,16);
figure(3);
N=8;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,1);stem(f,abs(X4k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(4a) 8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(2,2,3);stem(f,abs(X5k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(5a) 8点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=16;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,2);stem(f,abs(X4k16),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(4a) 16点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(2,2,4);stem(f,abs(X5k16),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(5a) 16点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
%x8n
Fs=64; T=1/Fs;
N=16;n=0:N-1; %对于N=16的情况
nT = n*T;
x8n=cos(8*pi*nT)+cos(16*pi*nT)+cos(20*pi*nT)
X8k16=fft(x8n,16);
N=16;
f=2/N*(0:N-1);
figure(4);
subplot(2,2,1);stem(f,abs(X8k16),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(8a) 16点DFT[x_8(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=32;n=0:N-1; %对于N=16的情况
nT = n*T;
x8n=cos(8*pi*nT)+cos(16*pi*nT)+cos(20*pi*nT)
X8k32=fft(x8n,32);
N=32;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,2);stem(f,abs(X8k32),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(8a) 32点DFT[x_8(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=64;n=0:N-1; %对于N=16的情况
nT = n*T;
x8n=cos(8*pi*nT)+cos(16*pi*nT)+cos(20*pi*nT)
X8k64=fft(x8n,64);
N=64;
f=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,3);stem(f,abs(X8k64),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(8a) 64点DFT[x_8(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
五思考题
1 对于周期序列，如果周期不知道 ，如何用FFT进行谱分析？
答 周期信号的周期预先不知道时,可先截取M点进行DFT,再将截取长度扩大1倍截取,比较结果,如果二者的差别满足分析误差要求,则可以近似表示该信号的频谱,如果不满足误差要求就继续将截取长度加倍,重复比较,直到结果满足要求
2 如何选择FFT的变换区间（包括周期信号和非周期信号）？
一、对于非周期信号：有频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT的变换区间有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N...因此有最小的N>2π/F。就可以根据此式选择FFT的变换区间。
二、对于周期信号，周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
3 当N=8时，x2(n)和x3(n)的幅频特性会相同吗?为什么？
答 在N=8时, x2(n)和x3(n)的幅频特性不相同
六、实验体会
通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2л／N≤D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的普分析进行。
第二篇：用FFT对信号作频谱分析
实验二 用FFT对信号作频谱分析
一、 实验目的
（1） 学习使用FFT对模拟信号和时域离散信号进行频谱分析的方法
（2） 了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT
二、 实验内容：
（1） 根据参考资料使用FFT进行谐波分析；利用函数生成一组数据，用以模拟电力现场的测量数据，使用FFT对其进行频谱分析；
程序：clear
fs=1000;
t=0:1/fs:0.6;
f1=100;
f2=300;
x1=sin(2*pi*f1*t); %正弦信号x1
x2=sin(2*pi*f2*t); %正弦信号x2
x=x1+x2;
l=length(x);
xx=x+randn(1,l); %叠加随机噪声信号
figure(1)
subplot(7,1,1)
plot(x1);
subplot(7,1,2)
plot(x2);
subplot(7,1,3)
plot(x);
subplot(7,1,4)
plot(xx);
number=512;
y=fft(x,number); %对x取512点的快速傅里叶变换
n=0:length(y)-1;
f=fs*n/length(y);
subplot(7,1,5)
plot(f,abs(y));
yy=fft(xx,number); %对xx取512点的快速傅里叶变换
subplot(7,1,6)
plot(f,abs(yy));
pyy=y.*conj(y)/number; %y的能量
subplot(7,1,7)
plot(f,abs(pyy));
实验结果见附图1
（2） 使用操作系统自带的录音机，录制各种声音，保存成.wav文件；将该声音文件读入（采样保存到）某矩阵中，对该采样信号使用FFT进行频谱分析，比较各种语音信号所包含的频谱成分及频率范围。
程序：number=512;
fs=1000;
x=wavread('你自己的音频名，如a.wav');%读取音频文件
y=fft(x,number); %对x取512点的傅里叶变换
n=0:length(y)-1;
f=fs*n/length(y);
subplot(2,1,1)
plot(f,abs(y));
pyy=y.*conj(y)/number; %y的能量
subplot(2,1,2)
plot(f,abs(pyy));
实验结果见附图2
三、 实验结论
由实验结果可以看出，实验得到了FFT对模拟信号和时域离散信号进行频谱分析的结果。分析实验结果可知，快速傅里叶变换的结果是将原信号中包含的频率成分分析出来，即使原信号在采样时叠加有随机噪声信号也不影响傅里叶变换的结果。从不断修改参数和得到的结果来看，验证了采样定理，即只有当频率采样点数大于等于序列长度时，才可由频率采样不失真的恢复原信号。通过对自己录音的频率分析发现，此音频文件中频率小于100的正弦信号居多。
附图1
附图2