实验三 用FFT对信号进行频谱分析
一 实验目的
1 能够熟练掌握快速离散傅立叶变换的原理及应用FFT进行频谱分析的基本方法；
2了解用FFT进行频谱分析可能出现的分析误差及其原因；
二 实验原理
1.用DFT对非周期序列进行谱分析
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即
（3-1）
是
的连续周期函数。对序列
进行N点DFT得到
，则是在区间
上对的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔
。因此序列的傅里叶变换可利用DFT（即FFT）来计算。
用FFT对序列进行谱分析的误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而非周期序列的频谱是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N要适当选择大一些。
2.用DFT对周期序列进行谱分析
已知周期为N的离散序列，它的离散傅里叶级数DFS分别由式（3-2）和（3-3）
给出：
DFS： 
， n=0,1,2,…,N-1 （3-2）
IDFS： 
， n=0,1,2,…,N-1 （3-3）
对于长度为N的有限长序列x(n)的DFT对表达式分别由式（3-4）和（3-5）给出：
DFT： 
， n=0,1,2,…,N-1 （3-4）
IDFT： 
， n=0,1,2,…,N-1 （3-5）
FFT为离散傅里叶变换DFT的快速算法，对于周期为N的离散序列x(n)的频谱分析便可由式（3-6）和（3-7）给出：
DTFS： 
（3-6）
IDTFS： 
（3-7）
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
3. 用DFT对模拟周期信号进行谱分析
对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。对于模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。如果不知道信号的周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
三 实验内容
1. 对以下序列进行谱分析：
选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。
2. 对以下周期序列进行谱分析：
选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。
3. 对模拟周期信号进行谱分析：
选择采样频率
，对变换区间N分别取16、32、64三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。
四 思考题
1. 对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？
2. 如何选择FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）
3. 当N=8时，
和
的幅频特性会相同吗？为什么？N=16呢？
五 实验报告及要求
1. 完成各个实验任务和要求，附上程序清单和有关曲线。
2. 简要回答思考题。
程序代码：
%用FFT对信号作频谱分析
clear all;
close all;
%实验（1）
x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量R4(n)
M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;
x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n)、x3(n)
x3n=[xb,xa];
X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT
X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT
X2k8=fft(x2n,8); %计算x2n的8点DFT
X2k16=fft(x2n,16); %计算x2n的16点DFT
X3k8=fft(x3n,8); %计算x3n的8点DFT
X3k16=fft(x3n,16); %计算x3n的16点DFT
%幅频特性曲线
N=8;wk=2/N*(0:N-1);
subplot(3,2,1);stem(wk,abs(X1k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,3);stem(wk,abs(X2k8),'.');
title('(2a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,5);stem(wk,abs(X3k8),'.');
title('(3a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=16;wk=2/N*(0:N-1);
subplot(3,2,2);stem(wk,abs(X1k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图
title('(1b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,4);stem(wk,abs(X2k16),'.');
title('(2b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,6);stem(wk,abs(X3k16),'.');
title('(3b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
%实验2对周期序列作频谱分析
clear all;
close all;
N=8;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=8
x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k8=fft(x4n); %计算x4n的8点DFT
X5k8=fft(x5n); %计算x5n的8点DFT
N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16
x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k16=fft(x4n); %计算x4n的16点DFT
X5k16=fft(x5n); %计算x5n的16点DFT
N=8;w1k=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,1);stem(w1k,abs(X4k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(4a) 8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))]);
subplot(2,2,3);stem(w1k,abs(X5k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(5a)8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))]);
N=16;w2k=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,2);stem(w2k,abs(X4k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图
title('(4b) 16点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))]);
subplot(2,2,4);stem(w2k,abs(X5k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图
title('(5b)16点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))]);
%实验3对模拟周期信号作谱分析(归一化)
Fs=64;T=1/Fs;
N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)16点采样
X6k16=fft(x6nT); %计算x6nT的16点DFT
Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=0:N-1;fk=2*k/N; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）
subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图
title('(6a) 16点DFT[x_6(nT)]|');xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');
N=32;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=32
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)32点采样
X6k32=fft(x6nT); %计算x6nT的32点DFT
Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=0:N-1;fk=2*k/N; %产生32点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）
subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),'.');%绘制32点DFT的幅频特性图
title('(6b) 32点DFT[x_6(nT)]|');xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');
N=64;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=64
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)64点采样
X6k64=fft(x6nT); %计算x6nT的64点DFT
Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=0:N-1;fk=2*k/N; %产生64点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心）
subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),'.'); %绘制64点DFT的幅频特性图
title('(6c) 64点DFT[x_6(nT)]|');xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');
五、思考题及实验体会
4．思考题
（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？
（2）如何选择FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）
（3）当N=8时，
和
的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？
答：（1）、如果的周期预先不知道，可截取M点进行DFT，即
0
M-1
再将截取长度扩大1倍，截取
02M-1
比较
和 
，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以或 近似表示
的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为
则
表示
点的谱线强度。
（2）频谱分辨率直接D和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是
，因此要求
。可以根据此式选择FFT的变换区间N。
(3) 当N=8时，和的幅频特性会相同.
当N=16时，和的幅频特性会不相同。
通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2л／N≤D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的普分析进行。
第二篇：MATLAB关于FFT频谱分析的程序
MATLAB关于FFT频谱分析的程序
%***************1.正弦波****************% fs=100;%设定采样频率
N=128;
n=0:N-1;
t=n/fs;
f0=10;%设定正弦信号频率
%生成正弦信号
x=sin(2*pi*f0*t);
figure(1);
subplot(231);
plot(t,x);%作正弦信号的时域波形
xlabel('t');
ylabel('y');
title('正弦信号y=2*pi*10t时域波形');
grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft(x,N);%进行fft变换
mag=abs(y);%求幅值
f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换 figure(1);
subplot(232);
plot(f,mag);%做频谱图
axis([0,100,0,80]);
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('幅值');
title('正弦信号y=2*pi*10t幅频谱图N=128'); grid;
%求均方根谱
sq=abs(y);
figure(1);
subplot(233);
plot(f,sq);
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('均方根谱');
title('正弦信号y=2*pi*10t均方根谱'); grid;
%求功率谱
power=sq.^2;
figure(1);
subplot(234);
plot(f,power);
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('功率谱');
title('正弦信号y=2*pi*10t功率谱'); grid;
%求对数谱
ln=log(sq);
figure(1);
subplot(235);
plot(f,ln);
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('对数谱');
title('正弦信号y=2*pi*10t对数谱'); grid;
%用IFFT恢复原始信号
xifft=ifft(y);
magx=real(xifft);
ti=[0:length(xifft)-1]/fs;
figure(1);
subplot(236);
plot(ti,magx);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('通过IFFT转换的正弦信号波形'); grid;
%****************2.矩形波****************% fs=10;%设定采样频率
t=-5:0.1:5;
x=rectpuls(t,2);
x=x(1:99);
figure(2);
subplot(231);
plot(t(1:99),x);%作矩形波的时域波形 xlabel('t');
ylabel('y');
title('矩形波时域波形');
grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft(x);%进行fft变换
mag=abs(y);%求幅值
f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换 figure(2);
subplot(232);
plot(f,mag);%做频谱图
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('幅值');
title('矩形波幅频谱图');
grid;
%求均方根谱
sq=abs(y);
figure(2);
subplot(233);
plot(f,sq);
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('均方根谱');
title('矩形波均方根谱');
grid;
%求功率谱
power=sq.^2;
figure(2);
subplot(234); plot(f,power); xlabel('频率(Hz)'); ylabel('功率谱'); title('矩形波功率谱'); grid;
%求对数谱
ln=log(sq);
figure(2);
subplot(235); plot(f,ln);
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('对数谱'); title('矩形波对数谱'); grid;
%用IFFT恢复原始信号 xifft=ifft(y);
magx=real(xifft);
ti=[0:length(xifft)-1]/fs; figure(2);
subplot(236); plot(ti,magx); xlabel('t');
ylabel('y');
title('通过IFFT转换的矩形波波形');
grid;
%****************3.白噪声****************% fs=10;%设定采样频率
t=-5:0.1:5;
x=zeros(1,100);
x(50)=100000;
figure(3);
subplot(231);
plot(t(1:100),x);%作白噪声的时域波形
xlabel('t');
ylabel('y');
title('白噪声时域波形');
grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft(x);%进行fft变换
mag=abs(y);%求幅值
f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换 figure(3);
subplot(232);
plot(f,mag);%做频谱图
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('幅值');
title('白噪声幅频谱图');
grid;
%求均方根谱
sq=abs(y);
figure(3);
subplot(233); plot(f,sq);
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('均方根谱'); title('白噪声均方根谱'); grid;
%求功率谱
power=sq.^2; figure(3);
subplot(234); plot(f,power); xlabel('频率(Hz)'); ylabel('功率谱'); title('白噪声功率谱'); grid;
%求对数谱
ln=log(sq);
figure(3);
subplot(235); plot(f,ln);
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('对数谱'); title('白噪声对数谱');
grid;
%用IFFT恢复原始信号 xifft=ifft(y);
magx=real(xifft);
ti=[0:length(xifft)-1]/fs;
figure(3);
subplot(236);
plot(ti,magx);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('通过IFFT转换的白噪声波形'); grid;