用模拟法测绘静电场
带电体的周围产生静电场，场的分布是由电荷分布、带电体的几何形状及周围介质所决定的。由于带电体的形状复杂，大多数情况求不出电场分布的解析解，因此只能靠数值解法求出或用实验方法测出电场分布。直接用电压表去测量静电场的电位分布往往是困难的，因为静电场中没有电流，磁电式电表不会偏转；而且与仪器相接的探测头本身总是导体或电介质，若将其放入静电场，探测头上会产生感应电荷或束缚电荷，这些电荷又产生电场，与被测静电场迭加起来，使被测电场产生显著的畸变。因此，实验时一般采用一种间接的测量方法（即模拟法）来解决。
【实验目的】
1．学会用模拟法测绘静电场方法。
2．加深对电场强度和电位概念的理解。
【实验器材】
GVZ-3型导电微晶静电场描绘仪。
【实验原理】
一、模拟法
模拟法本质上是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程来模拟不易实现、不便测量的状态和过程，但是要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，且满足相似的数学形式及边界条件。
一般情况，模拟可分为物理模拟和数学模拟。物理模拟就是保持同一物理本质的模拟，对一些物理场的研究主要采用物理模拟，例如用光测弹性模拟工件内部应力的分布等。数学模拟也是一种研究物理场的方法，它是把不同本质的物理现象或过程，用同一数学方程来描绘。对一个稳定的物理场，若它的微分方程和边界条件一旦确定，其解是唯一的。如果描述两个不同本质的物理场的微分方程和边界条件相同，则它们解的数学表达式是一样的。只要对其中一种易于测量的场进行测绘，并得到结果，那么与它对应的另一个物理场的结果也就知道了。模拟法在工程设计中有着广泛的应用。
例如，对于静电场，电场强度
在无源区域内满足以下积分关系
（高斯定理）
（环路定理）
对于稳恒电流场，电流密度矢量
在无源区域中也满足类似的积分关系
（连续方程）
（环路定理）
在边界条件相同时，二者的解是相同的。由于稳恒电流场易于实现测量，所以就用稳恒电流场来模拟与其有相同数学形式的静电场。
二、用电流场模拟静电场
1．均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布
本实验被模拟的是在真空中均匀带电的（无限）长直同轴圆柱面间的静电场，如图5-21-1a所示。其中内圆柱体
的半径为
，外圆筒
的内半径为
，二者均为导体。设电极的电位为
，电极的电位为零（接地），、分别带等量异号电荷。
由对称性可知，该静电场的等位面是许多同轴管状柱面，若垂直于轴线做一个截面
，则这些柱面与面的交线是一系列同心圆，每一个圆就是一条等位线。根据电场线与等位线处处垂直的关系，可绘出电场线，如图5-21-1b所示。由于面为任一截面，若该面的电场分布清楚了，则整个静电场的电场分布就清楚了。
为了计算电极、间的静电场，我们在轴线方向上取一段单位长度的同轴柱面，其横截面入图5-21-1c所示。设内外柱面单位长度带电量分别为
与
，则两柱面间距离轴线为
处点的电场强度
的大小为
则两极间的电位差
（5-21-1）
同样，半径为的柱面上任意一点与外电极间的电位差为
（5-21-2）
由式（5-21-1）和式（5-21-2）得
（5-21-3）
从上式可以看出
与
呈线性关系。
2．同轴圆柱面电极间电流场的电位分布
如图5-21-2a所示，模拟电极由半径为的圆柱形金属电极和内半径为的圆柱形金属电极组成，两电极同心地紧压在导电微晶
上。通电后，在两电极间的导电质中形成稳恒电流场。电流从电极均匀辐射状的流向电极，见图5-21-2b。
设导电微晶的厚度为
，其电阻率为
，若在两电极间做半径分别为和
的圆，则两圆之间的导电微晶的电阻为
式中，是半径为、厚度为的圆柱面的侧面积。那么，半径为的柱面到半径为的外柱面的之间的电阻为
（5-21-4）
通过同样的计算可以得到，半径为的内圆柱面到半径为的外圆柱面间的总电阻为
（5-21-5）
因此，从内圆柱面到外圆柱面的电流为
（5-21-6）
则半径为的柱面的电位为
将式（5-21-4）和式（5-21-6）代入上式，得
（5-21-7）
比较式（5-21-3）和式（5-21-7）可知，静电场与模拟场的电位分布完全相同。
图5-21-3给出了两根长直带电直线和聚焦电极的电位分布。
注意：模拟方法的使用有一定的条件和范围，不能随意推广，否则将会得到荒谬的结论。用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下列三点：
（1）稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同；
（2）稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀，这样才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等位面；
（3）模拟所用电极系统与模拟电极系统的边界条件相同。
【实验内容】
一、描绘均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布
1．首先固定好记录纸，用探针紧靠外电极的内侧任取三点，在记录纸上记下这三点的位置，由这三点确定电极的机械圆心，此圆心就是等位线的中心。圆心到这三个点之间的距离就是外电极内侧的半径。注意：本实验完成之前，记录纸的位置不得再变。
2．实验装置如图5-21-4所示，将导电微晶的内外两电极分别与直流稳压电源的正负极相连接，将探针测量的正极与探针相连。把探针移离导电微晶纸，打开电源，将电源调至“校正”位置，旋转电压调节使电压表的示值（即内外电极间电压）为10.00
。
3．将电源调至“测量”位置，此时电压表显示的示值就是探针与负极之间的电压值。移动探针使电压表读数为6.00，按一下记录纸上的探针记下该点位置。在6.00等位线上大致均匀地记录10个等位点。
4．用上述方法分别测出5.00、4.00、3.00、2.00和1.00各条等位线。
二、描绘两根平行长直均匀带电直线和聚焦电极的电场分布
1．调节两极之间的电压为10.00。
2．用与上述类似的方法测出电位分别为3.00、4.00、5.00、6.00、7.00的等位线。
【数据处理】
一、均匀带电长直同轴圆柱面
1．取下记录纸，量出每条等位线上的10个点离圆心
的距离，求平均半径，填入表5-21-1中。
表5-21-1 均匀带电长直同轴圆柱面各等位线的半径
2．然后根据电场线与等位线正交原理，画出电场线，并指出电场强度方向，这样就得到一张完整的电场分布图。
3．计算不同等位线处的
，填入表5-21-2中。在坐标纸上做出
曲线。
表5-21-2 模拟法测绘静电场数据纪录与处理表格
二、两根平行长直均匀带直线和聚焦电极
在记录纸上画出各条等位线，并根据等位线绘出电场线。
【注意事项】
1．移动探针要轻要慢，以防损坏导电微晶。
【思考题】
1．为什么静电场不能直接测绘，而要用稳恒电流场来进行模拟？使用模拟法的条件是什么？
2．如何从等位线和电场线的分布看出电场强度的大小和方向？
第二篇：静电场
用模拟法描绘静电场
静电场是由电荷分布决定的。给定区域内的电荷分布和介质分布及边界条件，可根据麦克斯韦议程组和边界条件来求得电场分布。但大多数情况下求出解析解，因此，要靠数字解法求出或实验方法测出电场分布。
【实验目的】
1.学会用模拟法描绘和研究静电场的分布状况。
2.掌握了解模拟法应用的条件和方法。
3.加深对电场强度及电势等基本概念的理解。
【实验仪器】
导电液体式电场描绘仪，同轴电极，平行板电极，白纸（自备）
【实验原理】
直接测量静电场是很困难的，因为仪表（或其探测头）放入静电场中会使被测电场发生一定变化。如果用静电式仪表测量，由于场中无电流流过，不起作用。因此，在实验中采用恒定电流场来模拟静电场。即通过测绘点定电流场的分布来测绘对应的静电场分布。
模拟法的要求是：仿造一个场（称为模拟场），使它的分布和静电场的分布完全一样，当用探针去探测曲势分布时，不会使电场分布发生畸变，这样就可以间接测出静电场。
用模拟法测量静电场的方法之一是用电流场代替静电场。由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性。在电流场的无源区域中，电流密度矢量和静电场中的电场强度矢量所遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性。在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解的表达式具有相同的数学模型。如果把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水液）中，在溶液中将产生电流场。电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等位面。这些面也是静电场中的等位面。通常电场分布是在三维空间中，但在水液中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。这样等位面就变成了等位线，根据电力线与等位线正交的关系，即可画出电力线。这些电力线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向。这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了。
检测电流中各等位点时，不影响电流线的分布，测量支路不能从电流场中取出电流，因此，必须使用高内阻电压就能消除这种影响。当电极接上交流电压时，产生交流电场的瞬时值是随时间变化的，但交流电压的有效值与直流电压是等效的（见附录），所以在交流电场中用交流电压表测量有效值的等位线与直流电场中测量同值的等位线，其效果和位置完全相同。
模拟法的应用条件是“模拟场“的基本规律或所满足的数学议程要与被模拟的场完全一样，这种模拟为数学模拟。恒定电流场和静电场满足相似的偏微分方程，只要带电体（即电极）的形状和大小，它们之间的相对位置以及边界条件一样。那么这两个场的分布就是一样的。
根据静电场与恒定电流场的对应关系，上述静电场可以用下面的恒定电流场来模拟：两长直同轴圆柱形导体，内圆柱半径为a，外圆筒内半径为b，其间充以电容率为
的均匀电介质，内外圆柱保持电势差V0=VA—VB。只要我们测出模拟恒定电流场的分布，则可得出被模拟静电场的分布。
不用形状的电极，可以模拟不同形状的静电场，如平行板电极，可以模拟平行板电容器中的静电场。
图a 图b
如图a所示为一个同轴圆柱电极，内电极半径为a，外电极半径为b，内电极电势Va，外电极电势Vb＝0，在两极间距轴心r处的电势为：
，
由高斯定理知半径为r的圆柱面上的电场是：
式中λ是圆柱面单位长度上的电量，ε是两极间介电常数，由两式可得
当r＝b时，
，则
，代入上式有：
此式即为同轴圆柱电极间静电场中的电势分布公式。
若在同轴圆柱电极间充填均匀不良导体，在该电极间将形成稳定的电流场。同上道理，也可推导出稳定电流场中的电势分布公式为
比较两个公式不难看出，它们都满足高斯定理的拉普拉斯方程，其电势分布是相同的。而稳定电流场不会因为探针的引入导致电场畸变，所以完全可用电极尺寸相同，边界条件一样的稳定电流场来模拟静电场进行探测，从而间接描绘出静电场的分布状况。
【实验内容及步骤】
1.按线路图连接线路（图b为同轴圆柱电极）。
2.用水准仪调平水槽架底座。在水槽内注入一定量的水，在水槽架上层压好白纸，用于记录测绘点；接通电源，电压调至10V，其值由数字电压表置“输出”时读出，探针置于水槽外。
3.将探针与内电极紧密接触，电压显示为10V，其值由数字电压表置“检测”时读出。若电压显示为0V，则改变电源电压输出极性。
4.让探针在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.0V、5.0V、3.0V、1.0V的等势线，每一个等势线8个测量点。
5.用探针沿外电极内、外侧分别取三个和一个记录点，用于确定电极的圆心和外电极的厚度；记录内电极直径和外电极内直径。
6.用平行板电极换下同轴圆柱电极重复（2、3）两个步骤，分别沿7.5V、5.0V、2.5V三个等势线各记录8个测量点(均匀分布)，并做出确定电极位置的测量点。
7.在平行板电极测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。
8.在同轴圆柱电极记录纸上，用几何方法确定圆心，画出内、外电极，用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，绘出理论等势线（根据公式计算）和电场线。
9.量出同轴圆柱电极记录纸上等势线各测量点到圆心的距离，求出平均值。在半对数坐标纸上绘出Vr/Va～lnr理论曲线，标出对应的实验测量点
，画出实验曲线。
【实验教学指导要点】
1．模拟场除满足与被侧场有相似地数学方程和边界条件外，还要求水槽底座一定要水平，溶液导电率远小于电极且处处均匀，电源必须是一定频率的交流电，以防止电介质的极化。
2．水槽中装入的水不可漫过电极上表面。
3．导线的连接一定要牢固，避免因接触电阻而导致输出电压达不到要求。
4．描绘电场线应始于高电势电极的外表面，终止于低电势电极的内表面，且处处与等势线垂直。电场线的密度反映了电场强度的大小。
５． 上层记录纸上打点时，不要用力过猛，轻轻按即可，以免移动电极，带来误差。
６． 做实验时，要确定圆心；要确定电极位置；除此之外，还要描出两极板之间的区域外向外延伸的边缘效应。
７． 作图时，不仅要画出等势线，还应画出电场线（起于正电荷，止于负电荷）。
a
b
同轴圆柱电极电场分布
平行板电极电场分布
10.0V
7.5V
5.0V
2.5V
0.0V
８． 在半对数坐标纸上作图时，要把理论直线和实验直线同时作出。
Vr /Va～ln r曲线
Vr /Va
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.3 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 6 7 89 r (cm)
此图用半对数坐标纸进行绘制，纵向为均匀分布，横向为对数分布。图中理论曲线为过(ln a, 1)和(ln b, 0)，线上四点为实际测量点。
９． 在电极间加上直流电压时所形成的电场是不随时间变化的，是稳定的。如果在电极间加交流电压，电场将随时间而变，场面稳定。但考虑到直电极间加上不同值的直流电压时，场中相对的电势值一定的等势线或面的几何形状和位置都不变。既接交流电压时，可看作在电极上块速变换不同值的直流电压（包括极性）。因此，在交流电场中测定的相对电势线和直流电场中测定的同值相对电势等势线，其开头和位置都完全相同。但必须指出这里的完全相同是有条件的。我们所选的交流电的频率不能高，否则会出现电极间点电势不是目前增减的效应。我们选用的是50HZ的交流电，场中的电极和不良条件互相杨成电容的影响可以忽略不计。完全符合条件。
【实验随即提问】
1.提问：本实验对静电场的测绘采用的是什么方法？为什么要用此方法？
回答：采用的是模拟法测绘静电场。因为直接测量静电场的分布，需用探针对空间各点逐点进行测量。当把探针放入静电场后，由于静电感应，探针上会产生感应电荷，则会改变原电极的电荷分布，从而引起原电场的畸变。显然直接测量不可行，所以采用模拟法来进行测绘。
2.提问：模拟法分为哪两种模拟，其应用的条件是什么？本实验采用的是哪一种模拟？
回答：模拟法分为物理模拟和数学模拟。物理模拟的应用条件为物理相似和几何相似，即模型和原型都遵从同样的物理规律；模型的几何尺寸与原型的几何尺寸成比例的放大或缩小。数学模拟应用的条件为模型与原型在物理实质上可以完全不同，但它们都遵从相同的数学规律，即满足相似的数学方程，还要带电体（即电极）的形状和大小，它们之间的相对位置以及边界条件一样。用恒定电流场模拟静电场采用的是数学模拟。
３.提问：为什么不良导体内的电场分布与真空中的静电场分布相同？
回答：因为在不良导体内没有电流通过时，其中任一宏观体积元中的正负电荷数量相等，没有净电荷，呈电中性。当有直流电流通过时，单位时间内流出体积元的电荷被流入的同号电荷所代替，体积元内正负电荷数量还是相等，因而整个体积内呈电中性。换言之，真空中的静电场是由电极上的电荷产生的，而在有恒定电流通过的不良导体中，电场也是由电极上的电荷产生的。不同的是静电场中电极上的电荷静止不动，而恒流场中电极上的电荷一边流失，一边由电源随时补充，在动态平衡状态下保持电荷的数量不变。所以，两种状况下电场的分布是相同的。
４.提问：用恒定电流场模拟静电场的实验条件是什么？
回答：实验条件首先要求不良导体在两极间区域内其电导率是常数，并保持其厚度不变；其次要求测量电势的仪表中基本上无电流通过。从本质上讲就是要保证测量时，恒定电流场的电位分布在极间区域内和边界上不会因测量操作而发生改变。
５.提问：实验中如何做测量点？
回答：⑴ 同轴柱形电极沿半径做测量点。
首先沿与实验者垂直的两个半径做测量点，沿半径由高电势向低电势（由中心电极向外电极）依次做四个测量点；再反方向沿另一个半径线做四个测量点；其次沿水平方向的两个半径做测量点，最后再做左斜和右斜的四个半径线，其布局如同一个“米”形。这样做测量点的优点在于不会遗漏测量点，同时也可使同一条等势线上的测量点均匀分布。做完所有等势线上测量点后，还需沿外电极外沿做三个测量点，以确定电极的圆心。
⑵ 平行板电极沿等势线做测量点，由高电势向低电势依次做出等势线。
沿等势线做测量点时，不可只局限于电极两端之间的区域内，一定要向外延伸扩展。因为实验中的平行板电极是有限长的，在电极两端电场存在边缘效应，所以，在测量中沿等势线先在中间做四个测量点，其次在电极两端各做一个测量点，然后向两端外延约1厘米再各做一个测量点，最后，再沿两个电极板的四个角各做一个测量点，确定电极的位置。
６.提问：如何绘制电场分布图？
回答：⑴ 同轴柱形电极：
首先根据外电极外沿的三个测量点，用几何作图法确定圆心，由测出的半径a、b，画出完整的同轴柱形电极。由公式算出各等势线的理论半径值，按理论半径值画出等势线。用同一种符号标出同一等势线上的八个测量点，并注明等势线的量值。再依据电场线与等势线处处正交的特性，画出电场线，标出其方向（由公式E=-dU/dr知，电场的方向是由高电势指向低电势）。
因为在静电平衡状态下，导体内部电场为零，电荷分布于导体表面。所以电场线始于中心电极的外表面，终止于外电极的内表面。
最后写出图名（同轴柱形电极电场分布图）。
⑵ 平行板电极
根据确定电极位置的测量点画出两电极板，分别用光滑曲线连接同一电势的八个测量点，画出等势线，用同一种符号将测量点标出，并注明等势线量值。与同轴电极一样，画出电场线及其方向。在画电场线时，要特别注意靠近极板两端电场的边缘效应。写出图名（平行板电极电场分布图）。
７.提问：如何为什么对柱形电极要用单对数坐标纸作图？怎样用单对数坐标纸作图？
回答：由极间电势的公式
知，
仅仅只是坐标r的函数，所以用单对数坐标纸可以表现出与r的线性关系，且作图比较便捷。
单对数坐标纸（又称半对数坐标纸）在制作时已将某个轴向取好对数，从坐标纸上看刻度值，一个轴向是均匀分布，而另一个轴向则是对数分布。在做同轴柱形电极“～
理论曲线”图时，在坐标纸上以均匀分布刻度为纵轴取名，以对数分布刻度为横轴取名r（cm），以点(lna,1)和点(lnb,0)为端点，画出理论直线。然后，分别量出各等势线上八个测量点的实际半径记录于数据表中，并算出各等势线实际平均半径值，在坐标纸上描出平均值点，观察其是否落在理论直线上。
8.提问：能否模拟平行轴电线或带有等量异号电荷的平行长直圆柱体的电场？为什么?
回答：能。由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性。在电流场的无源区域中，电流密度矢量和静电场中的电场强度矢量所遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性。在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解的表达式具有相同的数学模型。如果把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水液）中，在溶液中将产生电流场。电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等位面。这些面也是静电场中的等位面。通常电场分布是在三维空间中，但在水液中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。这样等位面就变成了等位线，根据电力线与等位线正交的关系，即可画出电力线。这些电力线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向。这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了。
9. 提问：请给出模拟平面板与其中垂面上长直带电圆柱体的电场的主要步骤？
回答：(1).按线路图连接线路。
(2).用水准仪调平水槽架底座。在水槽内注入一定量的水，在水槽架上层压好白纸，用于记录测绘点；接通电源，电压调至10V，其值由数字电压表置“输出”时读出，探针置于水槽外。
(3).将探针与内电极紧密接触，电压显示为10V，其值由数字电压表置“检测”时读出。若电压显示为0V，则改变电源电压输出极性。
(4).让探针在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.5V、5.0V、2.5V的等势线，每一个等势线8个测量点。
(5).用探针沿带电圆柱体电极外侧取三个记录点，用探针沿带电平面板电极外侧取四个记录点，用于确定电极的圆心和电极的厚度。
(6). 在测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。