高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
，
（i）若A
，则有
，使得当
时，
；
（ii）若有
使得当
时，
。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为
时函数的极限和
的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i）数列
是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i）“
”“
”时候直接用
(ii)“
”“
”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即
；
(iii)“
”“
”“
”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即
，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“”型未定式。
3.泰勒公式(含有
的时候，含有正余弦的加减的时候）
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x)
=
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设
，
P（x）=
,
(i)
（ii）若
，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设
，
，求
解：由于
，由夹逼定理可知
（2）求
解：由
，以及
可知，原式=0
(3)求
解：由
,以及
得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：
求
。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。
8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
=
9.利用
极限相同求极限。例如：
（1）已知
，且已知
存在，求该极限值。
解:设=A，（显然A
）则
，即
，解得结果并舍去负值得A=1+
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
设
解：（i）显然
（ii）假设
则
，即
。所以，
是单调递增数列，且有上界，收敛。设
，（显然
则
，即
。解方程并舍去负值得A=2.即
10.两个重要极限的应用。
（i）
常用语含三角函数的“
” 型未定式
(ii)
，在“”型未定式中常用
11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，
快于n！,n！快于指数型函数
(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。
12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限
。解：设
。
原式=
13．利用定积分求数列极限。例如：求极限
。由于
，所以
14.利用导数的定义求“
”型未定式极限。一般都是x
0时候，分子上是“
”的形式，看见了这种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你
告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）
例:设
存在，求
解：原式=
=
第二篇：高数：总结求极限的常用方法
总结求极限的常用方法，详细列举，至少4种
极限定义法
泰勒展开法。
洛必达法则。
等价无穷小和等价无穷大。
极限的求法
1. 直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例 1. 求
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下
1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他 法则
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式。）