1 等价无穷小的转化 （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2洛必达 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
洛必达 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
第二篇：数列极限的求解方法
数理化学习(高中版)
=1-Φ=0.0228.
)=1-Φ(2)=1-0.977210
即Φ1010
)=0.90491=1.31,
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,因此,参赛
总人数约为≈526(人)1
010228
(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分,则
P(ξ≥x)=1-P(ξ<x)=1-F(x)=)=1-Φ=0.0951,10526
查表得
解得 x=83.1.
故设奖的分数线约为83分1
点评:考查正态分布、独立事件的概率和标准正态分布表的查阅以及运用概率统计知识解决实际问题的能力1
浙江省磐安中学(322300)
● 李学武
在高考中多以选择题式出现1极限往往可与其它数学问题相交汇,具有涉及面广,综合性强,解法灵活的特点1下面结合一些高考题予以说明,供复习参考1一、有限项分式的极限11分子、分母为n的多项式形式
设f(n),g(n)是关于n的一元多项式,g(n)≠0,设f(n),g(n)的次数分别为p,q,最高次项系数分别为a0,b0,则
0,
lim=
n→∞g(n)
a0b0
,
p<q,
n→∞
lim
=lim2
n→∞4n+14+2
n
2
3+
=
n→∞
lim(3+lim(4+
)=)
n
2
14
n→∞
(2)lim=014
n→∞n+5n
(3)lim不存在12
n→∞n-2
3
2
p=q,
p>q.
3
点评:一般地,分子、分母都是n的多项式
的极限,且分子次数不超过分母次数时,通常把分子、分母同除以分子、分母中n的最高指数项后,再求极限1
21分子、分母为指数形式
不存在,
例1 求下列极限:
2
(1)lim2;(2)lim;4
n→∞4nn→∞+1n+5n
(3)lim12
n→∞n-2
2
解:(1)分子分母同除以n,
3
类似上例,分子分母同除以绝对值最大的指数式1
例2 求下列极限:
nn(1)limn+1n+1;n
→∞3+2
?8?
数理化学习(高中版)
(2)当r>0时,求limn(r>
0).n
n→∞r+2
n
n
=lim=lim=lim
n→∞
解:(1)分子分母同除以3,limn+1n+1n→∞3+2
n
n
n
n+1+n
n+1+n
n
)1+(-=limn→∞n
3+2)
3
=
n→∞
+
n+1
n→∞
=
12
=1
3+2×03
n
(2)当r>2时,分子分母同除以r,
(2)lim
n+n-n
2
n→∞
n→∞
lim
mnn=lin→∞r+2
nn
1-1+))
n
=lim
n
(
(
2
)
n+n+n)
2
2
r
n→∞
n+n-n)(n
2
==1;1+0
=lim
n
n→∞
当r=2时,分子分母同除以2,
nnlimnm=0;n=lin→∞r+2n→∞1+1当0<r<2时,,
)1nlimnnn→∞r+2n→∞n
)+1
=6(
n→∞
121li=limn→∞
n-
nn-1
n-1)(2
(n-n-1)(n+
n→∞
n+1+n)
==-110+1
所以limnnn→∞r+2
n
n
n
n
=lim
n+1+n
1, r>2,0, r=2,
-1, 0<r<2.
=lim
n→∞
1++
-n
+1
=11
点评:求limnn型的极限时,要先将分n→∞c+d
点评:对于含有n的无理式的数列极限,要考虑是否需要分子(或分母)有理化,或作变形后再求极限1
三、无限项的和或积的极限例4 求下列极限:
(1)limn→∞
子、分母同除以绝对值最大的项,然后应用极限运算法则求出极限1
二、分子、分母有理化例3 求下列极限:
(1)lim(2)lim(3)lim
n→∞
n(
2
n+1-n);
n
2
+
n
2
+
n
2
+…++…+
n
2
);
n→∞
;
n+n-nn-n→∞
(2)limn→∞
2?
5
+
5?8
n→∞
n-1
1
n)
(3)lim[(1-n→∞
(3n-1)(3n+2)
];
解:(1)limn(n+1-
2)(1-2)…(1-2)]1
23n
?9?
数理化学习(高中版)
)解:(1)lim2+2+2+…+2
n→∞
nnnn
=lim
n
2
n→∞
==1
991-100
=lim2
n→∞2n=lim
n→∞
例6 求数列011,0102,01003,…各项的和1
解:设S=011+0102+01003+010004+…,①
+…+
=12n2
2?5
+
(2)limn→∞
5?8S=0101+01002+010003+…110
]
②
(3n-1)(3n+2)
=limn→∞
①-②得
S=011+0101+01001+101-10
=
))+…+--325358
)]-33n-13n+2
010001+…=
,9
=lim
n→∞
)=1-323n+26
2)(1-)-2)2n
S=
(3)lim[(1-n→∞
,第一个球的半径为1,,第三
=lim[(n→∞
(1(1-)(1)
33n)]
个球的直径等于第二球的半径,依次类推,求所有这些球的表面积之和与体积之和1
解:设由球半径依次构成的数列为{rn},则
r1=1,r2=
+…(1-
n
)(1+
=lim×…n→∞234n23)×…4n
=lim=1n→∞2n2
2
,容易得到①{rn}是首项为1,公2
比为
3
的等比数列1②{rn}是首项为1,公比为4
的等比数列18
点评:对于无限项的和或积的数列极限,应先对前n项求和或约分化简后,再求其极限1
四、无穷递缩等比数列所有项和(也称各项和或前n项和Sn的极限)
若{an}是无穷等比数列,且0<|q|<1,则所有项的和S=limSn=lim
n→∞
设表面积之和为S,体积之和为V,则
22
π(r2S=41+
r2+…+rn+…)πlim(r1+r2+…+rn)=4
n→∞
222
π=4
4
=
1-V==
13
a1(1-q)
n
n→∞
1-q
=
33(r31+r2+…+rn+…)3
=1321
1-8
a1
1-q
1(3)
??
例5 将0113化为分数1
??
解:0113=0113+010013+01000013+…?10?
点评;利用无穷递缩等比数列所有项和可以化循环小数为分数,而求无穷递缩等比数列
数理化学习(高中版
)
的和不用先求前n项的和,再求极限,可以直接用公式(3)计算即可1
五、利用liman+k=liman(k为正整常数)
n→∞
n→∞
n→∞
liman=lim
n→∞
(an-1+),2an-1
所以 A=
例8 在数列{an}中,a1=2,且an=
(an-1+)(n≥2),若liman存在,求
n→∞2an-1
n→∞
(A+)12A
舍去)1
解得 A=(A=-故 liman=31
n→∞
liman1
解:设liman=A,则liman-1=A.将an=
n→∞
n→∞
以上是笔者对数列极限的一些体会和看
法,希望能给同学们帮助1
河北省任丘一中(062550)
(an-1+)(n≥2)两边同时取极限,即2an-1
● 田 园
,等数学的基础,着衔接作用1了新突破1导数本身融数形于一体,是中学数学知识的一个重要的交汇点1因而以导数应用为切入点,在知识交汇处提出问题,是我们应关注和研究的重要内容1
一、导数在函数单调性方面的应用
一般地,若函数y=f(x)的某个区间内可
(x)>0时,f(x)在此区间内为单调导,则当f′
(x)<0时,f(x)在此区间内为单增函数,当f′
调减函数1
例1 (20xx年全国文改编题)若函数
32
f(x)=x-ax+(2a-1)x+5在区间(1,
3
2a-1>1,即a>1时,函数f(x)在
(-∞,1)上为增函数,在(1,2a-1)内为减函
数,在(2a-1,+∞)上为增函数1依题意有:
(x)<0;当x∈(6,+∞)当x∈(1,4)时,f′
(x)>0,所以4≤2a-1≤6.时,f′
解得a的取值范围是,]122
二、导数在函数的极值、最值和值域方面的应用
可导函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号.定义在闭区间上的初等函数必存在最值,它只能在区间的端点或区间内的极值点取得1
例2 (20xx年全国卷四)求函数f(x)=ln(1+x)-2
x在[0,2]上的最大值和最小4
1+x
x=0,2
4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,
试求实数a的取值范围1
2
(x)=x-2ax+解:函数f(x)的导数f′
2a-1.
(x)=0,解得x=1或x=2a-1.令f′当2a-1≤1,即a≤1时,函数f(x)在(1,
+∞)上是增函数,不合题意1
值1
(x)=解:令f′
2
-
得 x+x-2=01
解得x=1或x=-2(舍去)1
(x)>0,f(x)单调递当0≤x<1时,f′
?11?