目录
一、本章难易及掌握要求……………………………………1
二、基本内容…………………………………………………1
1、三种近似 ………………………………………………1
2、周期场中的布洛赫定理 ………………………………2
1）定理的两种描述 ………………………………2
2）证明过程： ……………………………………2
3） 波矢k的取值及其物理意义…………………3
3、 近自由电子近似 ……………………………………3
A、非简并情况下 …………………………………4
B、简并情况下 ……………………………………5
C、能带的性质……………………………………6
4、紧束缚近似……………………………………………6
5、赝势……………………………………………………9
6、三种方法的比较………………………………………10
7、布里渊区与能带 ………………………………………11
8、能态密度及费米面……………………………………11
三、常见习题………………………………………………14
简答题部分………………………………………………14
计算题部分…………………………………………………15
一、本章难易及掌握要求
要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点；
2）布洛赫定理的描述及证明；
3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白
三维近自由电子近似的思想；
4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；
5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；
6）会计算能态密度及明白费米面的概念。
本章难点：
1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；
2）对三种模型的证明推导。
了解内容：
1）能带的成因及对称性；
2）费米面的构造；
3）赝势方法；
4）旺尼尔函数概念；
5）波函数的对称性。
二、基本内容
1、三种近似
在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。
2、周期场中的布洛赫定理
1）定理的两种描述
当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：
形式一：
，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差
形式二：
，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可
用受
调制的平面波表示.其中
，
取布拉
菲格子的所有格矢成立。
2）证明过程：
a. 定义平移算符
，
b． 证明与
的对易性。
c.代入周期边界条件，求出在与共同本征态下的本征值 
。即
d. 将代入的本征方程中，注意定义，可得布洛赫定理。
！
3） 波矢k的取值及其物理意义
……
，k是第一布里渊区的波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而
反映了原胞之间电子波函数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。
3、 近自由电子近似
1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰
2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。
3）模型建立过程：
首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；
其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。
A、非简并情况下
1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：
，
，
微扰项：
，满足的方程式: 
.
2)利用微扰论方法有设：
，
其中：
，
，
（
）
设：
其中：
, 
（）
4）结论：
能量本征值：
波函数：
5）波函数的意义：
第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波
再令
，则有
具有布洛赫函数形式，其中用到
B、简并情况下
1)
此时波矢k离
较远，k状态的能量和状态k’差别较大把3*按
泰勒级数展开得 
由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
2）
时，波矢k非常接近
，k状态的能量和k’能量差别很小按将3*式
泰勒级数展开得
代入相应的 
，
得
可得如下结论两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。
周期性 
[周期为
倒格矢，由晶格平移对称性决定]
反演对称性 
[
是个偶函数 ]
宏观对称性 
[ 
为晶体的一个点群对称操作]
C、能带的性质
简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：
1)它属于哪一个能带（能带标号）
2)它的简约波矢 
是什么？
3) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲
2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处
3) 禁带的宽度
4）各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级
5）计入自旋，每个能带中包含2N个量子态
4、紧束缚近似
1）紧束缚近似的假设：
电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求原子之间的距离较大。
2）模型实现
对于简单格子电子在格矢
处原子附近运动
满足的薛定谔方程：
是晶体的周期性势场___所有原子的势 场之和。对方程进行变换有
即是微扰作用。
设晶体中电子的波函数
（此法的本质），代入上得：
考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的
重叠很有 ，
用
左乘上面方程5*，得到
则得
，考虑到周期性的势场，应有
，（
是任意常数矢量），则有
，
利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数
考虑用简约波失表示有
，由此可得
对于确定，
，而且实现了N个晶体中的电子
波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：
3）模型简化：
考虑
的化简：
当
有重叠时，积分不为0。
a最完全的重叠
，得
b其次考虑近邻格点的格矢
，得
。。6*
能带底部电子的有效质量
,能带顶部电子的有效质量
.
4）能级与能带的对应
A 计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带 s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有
，其中在能带
处在
处用级数展开有
，在能带顶部
按
附近按泰勒级数展开得 
带宽取决于J1，大小取决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能带越宽，同样可以看出，由于k的取值可以有N个，故一个能级在微扰下分裂成为一个能带。
B 对于一般情况有如下结论：
一个原子能级ei对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns带、np带、nd带等等，由于p态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠，d态等一些态也有类似能带交叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数N决定，与L值也有关。
对于内层电子能级和能带有一一对应的关系，
对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂。
5）瓦尼尔函数
紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和
，对于任何能带
，即一个能带的Wannier 函数是由同一个能带的布洛赫函数所定义。如果晶体中原子之间的间距增大，当电子距离某一原子较近时，电子的行为类似于孤立原子时的情形
。
性质：
a. 局域性质（定域性）
由于u(k，r)=u(k，r-Rn)，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 为中心的定域函数。
b.正交性
5、赝势
1）引入赝势的目的：
在近自由电子近似时，假设电子所处势场的周期性起伏小，但实际材料势场周期性起伏都比较大，不能用近自由电子模型求解。但是近自由电子模型计算结果对于对于实际能带结构是适合的。为了解决这个矛盾，引入赝势概念。
2）赝势定义：
在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的波函数，则这个假想的势能成为赝势。
3）模型的实现方式：
是赝势包含离子势和价电子的作用，称为有效势，可以有多种具体形式。选择包含一个或几个参量的模型，用与实验数据比较的方法，确定这些参量。
6、三种方法的比较：
近自由电子近似是一种电子可以自由运动的模型，是一种在自由电子基础上的微扰论，结果是自由电子能级发生分裂，形成能带。在使用它解决问题时需要知道
，而这个可以通过赝势来实现，不同的结构对应的赝势是不同的。而紧束缚近似针对于电子被束缚在原子周围，在解决实际问题时只需知道和，对于不同的原包结构其和均不同，这里应该也会有一个赝势的方法，可以说紧束缚近似是在H原子模型上在用微扰论的。所以它的能带是在能级的基础上形成的，是原来原子团的能级分裂成的。而赝势方法只是提供了一种寻找等价的方法，实际运算需要结合其他的模型。
7、布里渊区与能带
1）明白波失空间和倒空间的区别，倒空间是倒格子的集合，倒格点是固定的分立的，而波失空间是波失的集合，波失是准连续的。在相同的空间大小中，波失数比倒格矢数要多。
2）布里渊区是波失空间的分区域，也是倒空间的分区域，他是在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域，每个区域内E~k是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区。
8，能态密度及费米面
1） 能态密度：
，
表示能态数目，如果在波矢空间，根据 E(k)＝常数 作出等能面，则在等能面 E 和E＋ΔE之间的状态的数目就是ΔZE 。由于状态在 k 空间分布是均匀的、准连续的状态密度是
，所以ΔZE＝［V／（2π）3］×（两等能面E—E+ΔE之间的体积）
经过积分计算得：
考虑电子自旋为2，则
二维：
ΔZE＝［S／（2π）2］×（两等能线E-E+ΔE之间的面积），
一维
ΔZE＝［L／（2π）］×（两等能点E-E+ΔE之间长度），
2π×1/
×2
2）费米面：
A.费米面是指绝对零度时， k 空间电子占据态与未占据态之间的分界面。电子填充量子态的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能量尽可能低的N（电子数）个量子态。对于自由电子
，电子填充k空间半径为kF的球
=自由电子数，便可求得相应的
，当温度不是绝对零度时，求
就与第七章是联系在一起了。
B. 电子填充能带的形式有两种类型：
第一种：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带都是空的。最高的满带称为价带(valence band)，最低的空带成为导带(conduction band)，价带最高能级与导带最低能级之间的范围则为带隙(band gap)。半导体带隙宽度较小 ~ 1 eV，绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV
第二种：除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，部分被电子填充的能带被称为导带(conduction band)。这时，电子所占据的最高能级即为费米能级，它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中，k 空间都有一个占有电子与不占有电子的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。
C.导体，绝缘体，半导体和半金属的能带理论解释:
在绝对零度，如果电子刚好填充一个或更多能带,其余能带是全空的，那么晶体就是绝缘体，外电场也不能因其绝缘体内电流的流动因为满带和上边导带隔开,当温度升高时,出现下边两种情况。
1)当温度升高时,如果带隙很大,电子很难跃迁到导带,晶体仍为绝缘体，
2)如果能隙较小,电子隧穿效应使得导带中有少量电子,并在价带产生空穴,具有一定的导电性，称为半导体。
如能带未填满，在外场下电子做定向运动，就是导体。
3)能量交叠较小时晶体导电性比导体小几个数量级，晶体则称之为半金属。
D．构造费米面的具体步骤如下：
a. 利用En(k)是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。
b. 用自由电子模型画出费米球。
c. 落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位。
d. 由自由电子模型过渡到准自由电子模型必须注意能带边界
禁带出现。费米面同布里渊区边界垂直相割，自由电子的费米面尖角
处要钝化。
三、常见习题
简答题部分
6.1 周期场是能带形成的必要条件吗？
解答：不是。能带论虽然是从周期场中推导出来的，但周期场并不是能带形成的必要条件，在非晶体中固体中,电子同样具有能带结构,周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
6.2 禁带是否一定出线？出现晶带与哪些因素有关？
解答：禁带不一定出现。在一维情况下，禁带一定出现，在三维情况下，在 k 空间的不同方向，不连续的能量范围不一定相同，从而不连续不一定导致禁带的发生，这就是说，不同能带的禁带不一定存在，可能发生能量交叠。在布里渊区界面是否出现禁带与下列因素有关：一是与周期势场的具体形式有关，若在某个布里渊区界面上，V r 的展开式系数 V G 时,则此布里渊区界面上将不出现能隙，两个能带联为一体；二是与结构因子有关，如结构因子 S G = 0 时，在相应布里渊区界面上的能隙为零。 1能带理论基础 产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射.
6.3为什么引入正交平面波法？这种方法有何优点？
解答：同内层电子态正交的平面波称为正交化平面波，电子的布洛赫波函数只有在两个离子实的中间区域是变化平缓的，在离子实区域（简称芯区），晶体势很强，波函数不像平面波，而具有类似于孤立原子中电子波函数的急剧震荡特性。因为平面波展开收敛很慢,使其难以成为能带计算的实用方法，而价电 子波函数的振荡部分出现离子实区域，此波函数又必须与内层电子的波函数正交，正交平面波正好在离子 实区域引进振荡成分，恰好能描述价电子的特征。 这种方法的优点是减少了计算工作量，只需取几个正交的平面波就会得到很好的结果。
计算题部分
6.1 一维周期场中电子的波函数
应满足布洛赫定理，若晶格常数为
，电子的波函数为（1）
（2）
（3）
（f是某个确定的函数）试求电子在这些状态的波矢
解：布洛赫函数为
（1）
，
，
（2）
同理， ， ，
（3）
此处
，
，
，
6.2已知一维晶格中电子的能带可写成
，式中是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，
（3） 在带顶和带底的电子的有效质量
解：能带宽度为 
， 由极值条件 
， 得
上式的唯一解是
的解，此式在第一布里渊区内的解为
当k＝0时，
取极小值
，且有
当
时，取极大值
，且有
由以上的可得能带宽度为
（2）电子的平均速度为
（3）带顶和带底电子的有效质量分别为
6.2 一维周期势场为
，
其中
，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度
解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为
，
其中
是周期势场
傅立叶级数的系数，该系数为：
求得，第一禁带宽度为
第二禁带宽度为
6.3 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出，
与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。
解： 根据紧束缚近似，
对一维，最近邻
则 
为余弦函数 （图省） 有效质量 
的图也省， 在原点附近，
很小，
在布里渊区边界，
，，
6.4 某晶体电子的等能面是椭球面 
，坐标轴1，2，3互相垂直。求能态密度。
解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为
将上式与椭球公式
比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积
比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积
由上式可得
能量区间
内电子的状态数目
是晶体体积，电子的能态密度
6.5 已知能带为：
其中
，
，为晶格常数，试求
（1） 能带宽度
（2） 电子在波矢
状态下的速度
（3） 能带底附近电子的能态密度
解：（1） 
，
，
，
可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值
故，能带宽度
（2）
其中
在
时
（3） 能带底n为偶数，可取为零，故
，
，
均很小
据
有
用和6.5题相同的方法，其中
，
，
，
则：
6.6 用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。
解：
对二维正三角晶格（如图），
6个最近邻的坐标为
，
，
，
，
，
代入上式并化简得：
电子速度：
，其中
由于
6.7 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带
（1） 证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。
（2） 画出[100]与[111]方向的
曲线。
（3） 画出
平面内能量的等值线。
解：（1）
面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在
将这些Rs代入上式并简化可得：
在k＝0附近，
，
，
，均很小，利用，（x<<1, 则得
故 
由于
其余
（2） 在[100]方向，
，则
即可按此函数作图（图省）
在[111]方向，
可据上函数作图（图省）
（4） 在平面内，
等值线即 
（C为常数）
6.8 对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。
解：s态电子能带可表示为
对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：
，，
化简后即得：
故 
由于
，可看出
时，
为极大值，即
而
，。即
时，
为极小值，即
故带宽
在带底附近，由于
，用
，则
这显然是一个球形
有效质量
，
所以 
在带顶附近，可写为
，
很小
则
这显然也是个球形
而
，
总结结束，谢谢！