立体几何的证明

1.如图，矩形中，平面，为上的点，且平面.

（1）求证：平面；（2）求证：∥平面.

2.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为，且，为中点．

（1）证明：//平面；

（2）证明：平面平面；

3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求三棱锥C－BEP的体积．

3.证明：（1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线，  ∴FGCD，

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

∴AECD，   ∴FGAE，

∴四边形AEGF是平行四边形，   ∴AF∥EG，

又EG平面PCE，AF平面PCE，

∴AF∥平面PCE；……………………………… 4分

  （2）∵ PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A，

∴CD⊥平面ADP， 又AF平面ADP，

∴CD⊥AF，…………………………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°，

∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA＝AD=2， ………………………………… 7分

∵F是PD的中点，  

 ∴AF⊥PD，又CDPD=D，

∴AF⊥平面PCD，………………………………………………………………… 8分

∵AF∥EG，  ∴EG⊥平面PCD，……………………………………………… 9分

又EG平面PCE，

平面PCE⊥平面PCD；………………………………………………………… 10分

（3）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE，………………………………… 11分

PA是三棱锥P－BCE的高，

 Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱锥C－BEP的体积

V_{三棱锥C－BEP}=V_{三棱锥P－BCE}=… 14分

4.如图，四边形是等腰梯形，，是矩形.平面,其中分别是的中点，是中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

4.连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，

所以PQ是的中位线，于是PQ//CE.

     平面.……………4分

（Ⅱ）平面平面

等腰梯形中由

可得,

   

又   平面.……………8分

（Ⅲ）解法一：点到平面的距离是到平面的距离的2倍，

       又

    ……………12分

解法二：,

    ……………12分

5.如图1,在直角梯形中,,,, 点 为中点.将沿折起, 使平面平面,得到几何体,如图2所示.

（I）在上找一点,使平面;

（II）求点到平面的距离.

          

(1) 取的中点,连结,  ----2分

在中, ,分别为,的中点

  为的中位线

   

平面 平面                     

  平面                          -----6分

(2)  设点到平面ABD的距离为 

平面 

          而 

          即

        

         三棱锥的高,  

即

   

 ------12分

第二篇：立体几何中的证明问题