第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容
㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数: 
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的；
则它必定存在反函数：
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( )；
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( )；
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )；
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)
奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)
周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数)
2.幂函数： y=xn , (n为实数)
3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)
4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)
5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1. 数列的极限: 
称数列
以常数A为极限;
或称数列
收敛于A.
定理: 若
的极限存在
必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
时，
的极限：
⑵当
时，
的极限：
左极限：
右极限：
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
称在该变化过程中
为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
2． 无穷小量：
称在该变化过程中
为无穷小量。
无穷小量还具有下列性质：
1.有限多个小无穷小量之和仍是无穷小量。
2.有限多个无穷小量之积仍是无穷小量，事实上由极限的性质可得。
3.无穷小量与有界之积仍是无穷小量。
x→0时， (arc)sinx～x， (arc)tanx～x，1－cosx～1/2x2
e^x-1 ~x , ln(1+x)~x, a^x-1~xlna , (1+x)^a-1~ax
3． 无穷大量与无穷小量的关系：
定理：
4． 无穷小量的比较：
⑴若
,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若
（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若
,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
则：
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设：
（n=1、2、3…）
且： 
则： 
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点
（点x0除外）有：
且：
则：
㈣极限的运算规则
若：
则：①
②
③
推论：①
②
③
㈤两个重要极限
1．
或 
2．
§1.3 连续
一、 主要内容
㈠ 函数的连续性
1. 函数在
处连续：
在
的邻域内有定义，
1o
2o
左连续：
右连续：
2. 函数在
处连续的必要条件：
定理：
在
处连续
在处极限存在
函数在处连续的充要条件：
定理：
3. 函数在
上连续：
在
上每一点都连续。
在端点
和
连续是指：
左端点右连续；
右端点左连续。
4. 函数的间断点：
若
在
处不连续，则为
的间断点。
间断点有三种情况：
1of（x）在
处无定义；
2o
不存在；
3of（x）在
处有定义，且
存在，
但
。
两类间断点的判断：
1o第一类间断点：
特点：
和
都存在。
可去间断点：
存在，但
，或f(x)在
处无定义。
2o第二类间断点：
特点：和
至少有一个为∞，
或
振荡不存在。
无穷间断点：
和
至少有一个为∞
㈡函数在处连续的性质
1. 连续函数的四则运算：
设
，
1o
2o
3o
2. 复合函数的连续性：
则：
3. 反函数的连续性：
㈢函数在
上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
在
上连续
在上一定存在最大值与最小值。
2. 有界定理：
在
上连续
在
上一定有界。
3.介值定理：
在上连续
在
内至少存在一点
，使得：
，
推论：
在
上连续，且
与
异号
在
内至少存在一点
，使得：
。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
1．导数：
在
的某个邻域内有定义，
2．左导数：
右导数：
定理：
在
的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
（或：
）
3.函数可导的必要条件：
定理：在
处可导
在
处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
存在
，
且存在。
5.导函数： 
6.导数的几何性质： 
是曲线
上点 
处切线的斜率。 o x0 x
㈡求导法则
1.基本求导公式：
基本初等函数求导公式
函数的和、差、积、商的求导法则
设
，
都可导，则
反函数求导法则
若函数
在某区间
内可导、单调且
，则它的反函数
在对应区间
内也可导，且
或 
2复合函数的导数：
，或 
☆注意
与
的区别：
表示复合函数对自变量
求导；
表示复合函数对中间变量
求导。
3.高阶导数：
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
1．隐函数求导法
设方程
所确定的隐函数为
，求导数 
．
解法：把方程
所确定的隐函数代入原方
程得恒等式
,把这个恒等式的两端对x求导,所得的结果也必然相等,但应注意,左端
是将代入
后所得的结果,所以,当方程的两端对x求导时,要记住y是x的函数,然后用复合函数求导法则去求导,这样,便可得到欲求的导数．下面举例说明这种方法．
例9 求由方程 
所确定的隐函数的导数 ．
解 把方程的两端对x求导,记住y是x的函数,得 
,由上式解出
,便得隐函数的导数为
.
例10 求曲线
在点(2,2)处的切线方程．
解 方程两边对x求导,可得
,于是得 
,所以
,因而所求切线方程为
,
即 
.
2．对数求导法
对数求导法：适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数），对数求导法过程是先取对数,化乘、除、乘方、开方为乘积,然后利用隐函数求导法求导．
例11 设
,求 
．
解 先在等式两边取绝对值,再取对数,得
,
两边对x求导,得 
,
所以 
=
.
以后解题时,为了方便起见,取绝对值可以略去．
例12 求
的导数．
解 对于两边取对数,得 
,
两边求导,得 
,
所以 
=
.
3．由参数方程所确定的函数求导法
设参数方程
确定y与x之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导,通常也并不需要首先由参数方程消去参数t 化为y与x之间的直接函数关系后再求导．
如果函数x=
,
都可导,且
,又x=具有单调连续的反函数
,则参数方程确定的函数可以看成与
复合而成的函数.
根据复合函数与反函数的求导法则,有
例13 求摆线 
(0≤t≤2 
)
(1) 在任何点的切线斜率;(2) 在 
处的切线方程．
解 (1) 摆线在任意点的切线斜率为
,
(2) 当时,摆线上对应点为
,在此点的切线斜率为 
,
于是,切线方程为
,即 
.
㈢微分的概念
1.微分：
在
的某个邻域内有定义，
其中：
与
无关，
是比
较高
阶的无穷小量，即：
则称
在
处可微，记作：
2.导数与微分的等价关系：
定理：
在
处可微
在处可导，
且：
3.微分形式不变性：
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
微分
都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用
一、主要内容
㈠中值定理
1.罗尔定理: 
满足条件:
2.拉格朗日定理：满足条件:
㈡罗必塔法则：（
型未定式）
定理：
和
满足条件：
1o
；
2o在点a的某个邻域内可导，且
；
3o
则：
☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是
型或
型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母
求导，而不是对整个分式求导。
4o若
和
还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
5o若函数是
型可采用代数变
形，化成
或
型；若是
型可
采用对数或指数变形，化成
或
型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
切线方程：
法线方程：
2． 曲线的单调性：
⑴
⑵
3.函数的极值：
⑴极值的定义：
设在
内有定义，
是内的一点；
若对于
的某个邻域内的任意点
，都有：
则称
是
的一个极大值（或极小值），
称
为
的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
称为
的驻点
⑶极值存在的充分条件：
定理一：
当
渐增通过
时，
由（+）变（-）；
则
为极大值；
当
渐增通过
时，
由（-）变（+）；则
为极小值。
定理二：
若
，则
为极大值；
若
，则为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
；则在
内是上凹的（或凹的），（∪）；
⑵若
；则在内是下凹的（或凸的），（∩）；
⑶
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
⑵铅直渐近线：
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：
若：
则称
是
的一个原函数，
并称
是
的所有原函数,
其中C是任意常数。
2．不定积分：
函数
的所有原函数的全体，
称为函数
的不定积分；记作：
其中：称为被积函数；
称为被积表达式；
称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴ 
或：
⑵ 
或：
⑶ 
—分项积分法
⑷ 
(k为非零常数)
4.基本积分公式：
㈡换元积分法：
⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
常用的凑微元函数有：
1o 
2o 
3o 
4o 
5o
6o
2.第二换元法：
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换：
1o
(当被积函数中有
时)
2o
(当被积函数中有
时)
3o
(当被积函数中有
时)
4o
(当被积函数中有
时)
㈢分部积分法：
1. 分部积分公式：
2.分部积分法主要针对的类型：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
其中：
（多项式）
3.选u规律：
⑴在三角函数乘多项式中，令
，
其余记作dv;简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中，令，
其余记作dv;简称“指多选多”。
⑶在多项式乘对数函数中，令
，
其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数
为u，其余记作dv;简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数
为u，其余记作dv;简称“指三任选”。
㈣简单有理函数积分：
1. 有理函数：
其中
是多项式。
2. 简单有理函数：
⑴
⑵
⑶
§3.2定积分 f(x)
一． 主要内容
（一）.重要概念与性质
1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x
定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。
定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),
直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。
x轴上方的面积取正号， y
x 轴下方的面积取负号。 + +
a 0 - b x
2. 定积分存在定理：
若：f(x)满足下列条件之一:
若积分存在，则积分值与以下因素无关：
3. 牛顿——莱布尼兹公式：
*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。
4. 原函数存在定理：
5. 定积分的性质：
（二）定积分的计算：
1. 换元积分
2. 分部积分
3. 广义积分
4. 定积分的导数公式
(三)定积分的应用
1. 平面图形的面积:
③
④
⑤