圆锥曲线与方程

  椭    圆

  知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F₁，F₂距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF₁|+|PF₂|=2a，2a＞|F₁F₂|=2c}；

这里两个定点F₁，F₂叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（时为线段，无轨迹）。

2．标准方程： 

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0,  ±c）   

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示： 或者  mx²+ny²=1  

二．椭圆的简单几何性质：

  1.范围

  （1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  （2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

   2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

 3.顶点

  （1）椭圆的顶点：A₁（-a，0），A₂（a，0），B₁（0，-b），B₂（0，b）

  （2）线段A₁A₂，B₁B₂ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

  4．离心率

  （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），     

     是圆；

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（）

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），  特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

6.几何性质

（1） 最大角

 （2）最大距离，最小距离

例题讲解：

一.椭圆定义：

１．方程化简的结果是         

2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是         

3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为            

二．利用标准方程确定参数

1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是                     .

（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是                     .

（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是                     .

（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是                     .

2.椭圆的长轴长等于       ，短轴长等于       , 顶点坐标是                            ,焦点的坐标是                   ,焦距是        ，离心率等于       ,

3．椭圆的焦距为，则=                 。

4．椭圆的一个焦点是，那么     。

三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为        。

2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为         

3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为                    

4. 已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。

四．焦点三角形

1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是    。

2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？

3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为         。

变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，

求的面积．

五．离心率的有关问题

1.椭圆的离心率为，则           

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为          

3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为                 

4.设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ．

最值问题：

1.椭圆两焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为_____，最小值为_____

2、椭圆两焦点为F₁、F₂，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF₁|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___

3、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值        最小值        。

4.设F是椭圆＋=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标  最小值           .

同步测试

 1已知F₁(-8，0)，F₂(8，0)，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=16，则点P的轨迹为(    )

A 圆         B 椭圆      C线段        D 直线

 2、椭圆左右焦点为F₁、F₂，CD为过F₁的弦，则CDF₁的周长为______

 3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是(     )

      A -1<k<1          B k>0            C k≥0         D k>1或k<-1

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程

 (1)长轴长为10，短轴长为6            

     (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)              

     (3) 经过点(5，1)，(3，2)              

5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________

6.椭圆的左右焦点分别是F₁、F₂，过点F₁作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为_________

7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______

椭圆方程为 ___________________.

8已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积             

9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F₁，则满足△ABF₁为等边三角形的椭圆的离心率为           

10.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是        

11．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长

            

12.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍

13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程为  。

14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率=___________.

15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.

16.已知P是椭圆上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________.

17．椭圆内有两点，，P为椭圆上一点，若使最小，则最小值为                                                      

   

18、椭圆＋=1与椭圆＋=l(l>0)有               

  (A)相等的焦距      (B)相同的离心率    (C)相同的准线        (D)以上都不对

19、椭圆与（0<k<9）的关系为

 (A)相等的焦距      (B)相同的的焦点    (C)相同的准线        (D)有相等的长轴、短轴

20、椭圆上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为            

21.点为椭圆上的动点,为椭圆的左、右焦点,则的最小值为__________ ,此时点的坐标为________________.   

第二篇：分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章

知识点和典型例习题

知识点回顾

知识点一：分式

形如                     

的式子叫做分式 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点二：分式的值

1.当        时,分式有意义;

2.当        时,分式无意义;

3.当        时,分式的值为0;

4.当        时,分式的值为1;

5.当                     时,

分式的值为正;

6.当                     时,

分式的值为负;

知识点三：分式的基本性质

                             

                              

用式子表示                     

知识点四：分式中的符号法则

                            

                                  

用式子表示                     

知识点五： 分式的约分

约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式

1.最大公因式=               

                 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，                     

知识点六：分式的通分

把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母=               

                。

2.当分式的分子和分母为多项式时，                     

知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）

乘法法则：                  

                             用式子表示                  

除法法则：                  

                            

用式子表示                  

知识点八：回顾因式分解

总步骤：一提二套三分组

1.      提公因式： 

套   平方差公式：

2 . 公   完全平方和：

式   完全平方差：

知识点九：分式的加减法法则

加法法则：               

                           

减法法则：               

                         

知识点十：分式的混合运算

先      再     最后再      。

知识点十一：整数指数幂七大公式

1.同底数幂的乘法                      

2.同底数幂的乘法                        

3.幂的乘方                        

4.积的乘方                  

5.分式的乘方法则                         

6.0指数幂                        

7.负整数指数幂                        

知识点十二：科学计数法

1.绝对值大于1数都可表示成

           

2.      绝对值小于1数都可表示成

             

其中。

知识点十三：分式方程

1. 概念

2. 解法:①去分母:

②

③

知识点十四：分式方程解应用题的步骤

    、    、   、   、    、   、

经典例题透析   

一．分式

【例题】下列有理式中是分式的有                        (1)－3x；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)； (8)；

【练习】1、在下列各式中，是分式的有    个

2.找出下列有理式中是分式的代号                                

 (1)－3x；(2)；(3)；(4)－；(5) ； (6)；

 (7) ； (8).

二．分式的值

【例题】

1.当a      时，分式有意义；

2.当_____时,分式无意义；

3.若分式的值为零，则    ；

4.当_______时,分式的值为1；

5.当______时,分式的值为正；

6.当______时分式的值为负.

【练习】1．①分式有意义，则      ；②当x_____时，分式  有意义；③当x ____时分式有意义；④当x_____时,分式有意义；⑤使分式有意义的x的取值范围是        ；

2.当x = 3时，分式无意义，则b ______

3.①若分式的值为零，则x的值为     ；②若分式，则x的值为_________________；

③分式当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式的值为0；⑤当a=______时,分式 的值为零；

4.当 __  时，分式的值为正.

5.当x=_____时,分式的值为1.

6.若分式的值为负数，则x的取值范围是__________。

7.x______时,分式的值等于.

8当分式=-1时,则x______；

9.要使的值相等，则x=__________。

三．分式的基本性质

1．把分式的x系数化为整数，那么=

2．化简=

3.不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是(   )

A.    B.    C.    D.

四．约分

1．

2. =

3. =

4. =

5. =

 6.

7.

8. =

9. =

10. =

11. =

五．通分

1.与

2.

3． ,,

4.，，

5．

6. 

7.

          

8.

9.

10.      

11.  

12.  

13.

六．分式的乘除法

1.2ab÷ 

2.·=

3.÷=

4. =

5. =

               6. =

7． =  

           8. =

七.分式的乘方

1．计算= 

2. 

八.分式的混合运算

1. =   

                 2. 

九.科学计数法

用科学计数法表示的-3.6×10^-4写成小数是（    ）

A 0.00036  B  -0.0036 C  -0.00036      D  -36000

十.分式方程

1.  

        

2.

3．

4.  

                

5. 

               

6.

十一.灵活应用

【例题】1.已知，则分式=________；

2.已知x-y=4xy，则=      .

3.已知，则　　　．

4．已知=0，则_________.

5.若则    。

6．若ab=2,a+b=-1,则 的值为 

7．已知，则的值是（）A． B.   C.1      D.

【练习】1.已知，则分式的值为　　　；

2.若=_______.

3．若_　　_。

4.______。

5.已知a²-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子()÷(a+b)的值为____.

6．如果分式 ，那么的值为（    ）.

7．已知实数a，b满足ab-a-2b+2=0，那么的值等于（    ）.

十二．増根（分式方程无解）

【例题】1.如果是分式方程的增根，则＝　　　．

2.当m=_____时,方程会产生增根.

3.若分式方程无解，则的值一定为     。

【练习】1．关于x的方程=3有增根，则m的值为     ．

2.．关于x 的方程会产生增根，则m为____________

3．若分式方程有增根，则的值为____________；

十三．对比求值

【例题】1已知:则A=      、B=      .

【练习】1.，则M=　　．

 2．，则A=________,B=_____________.

十四．化简、求知

1.计算(x+y)· =

2． =

3.有一道题：

“先化简，再求值： 其中，x=—3”．小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

4． 先化简，再求值：，其中a=-1

5. 当时，代数式值为多少？

6．先化简，再求值：

    ，其中a 满足：

十五.分式应用题

1、工程问题（1）某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？

（2）现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.

2、路程问题；（1）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？

（2）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.

3、水流问题：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度.

4.数字问题：一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.