一次函数知识总结和训练

一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 　　即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， 　　∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 　

　3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 　

　4.在两个一次函数表达式中： 　　

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 　

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 　　

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 　　

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数。

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤： 　　

（1）列表. 　　　　　　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 　　一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 　

　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 　　

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是（与0），（0与b）. 　

　2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0）正比例函数的图像都是过原点。 　　

　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 　

　4．k，b与函数图像所在象限： 　　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 　

y=kx+b时： 　　

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 　　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 　　

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 　　

当b>0时，直线必通过第一、二象限； 　　　　当b<0时，直线必通过第三、四象限。 　　

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 　　这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 　

　５、特殊位置关系： 　　

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 　　

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 　　）

③点斜式　y-y₁=k(x-x₁)（k为直线斜率,(x₁,y₁)为该直线所过的一个点）

④两点式　(y-y₁) / (y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)（已知直线上（x₁,y₁）与（x₂,y₂）两点）

⑤截距式　（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）   ⑥实用型 （由实际问题来做）

公式

1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂) 　　2.求与x轴平行线段的中点：|x₁-x₂|/2 　3.求与y轴平行线段的中点：|y₁-y₂|/2 　

4.求任意线段的长：√(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² （注：根号下（x₁-x₂)与（y₁-y₂)的平方和） 　　

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 　

　两个一次函数 y₁=k₁x+b₁ y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x₀值代回y₁=k₁x+b₁ y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标 　

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]      7.若两条直线y₁=k₁x+b₁∥y₂=k₂x+b₂，那么k₁=k₂，b₁≠b₂ 　　8.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，那么k₁×k₂=-1 　　9. y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位

                                       训　练　题

一、填空题

1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ 　　 ）

    A．y=    B．y=    C．y=    D．y=·

2．下面哪个点在函数y=x+1的图象上（  　　） A．（2，1） B．（-2，1）  C．（2，0）  D．（-2，0）

3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ 　　 ）A．y=2x-1     B．y=      C．y=2x²     D．y=-2x+1

4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ 　　 ）

    A．一、二、三      B．二、三、四　　　　C．一、二、四      D．一、三、四

6．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ 　　 ）

    A．k>3      B．0<k≤3     C．0≤k<3     D．0<k<3

7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ 　　 ）

    A．y=-x-2      B．y=-x-6      C．y=-x+10     D．y=-x-1

8．已知函数y= -x+m与y= mx- 4的图象的交点在x轴的负半轴上那么m的值为                                          （     ）　　　A．±2           B．±4         C．2           D． -2

9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（  ）

10．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为（  ）

    A．y=-2x+3     B．y=-3x+2     C．y=3x-2     D．y=x-3

二、选择题：

11．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_________．

12．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．

13．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，3）和B（-1，-1），则此函数的解析式为_________．

14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．

15．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．

16．若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）

17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．

18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______．

19．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．

20．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．

三、认真解答，一定要细心哟！（共60分）

21．根据下列条件，确定函数关系式：

    （1）y与x+4成正比，且当x=9时，y=16；

（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．

  22．一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？

23．（10分）如图所示的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）     

与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象（1）写出y与t之间的函数关系式．

（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？

24.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答问题：

  (1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x (个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；

  (2 )若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度。

           

25．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．

     ①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

     ②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？

第二篇：初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法

初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。

  初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函

数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

一、一次函数

  1. 定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。

  2. 图象及其性质

    （1）形状、直线

   

   

     

    （4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。

    （5）当b=0时，y＝kx（k≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。

    （6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

  3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。

（二）反比例函数

  1. 定义：

 

  2. 图象及其性质：

  （1）形状：双曲线

 

 

    （4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

 

二、二次函数

  1. 定义：应注意的问题

    （1）在表达式y＝ax²＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）

    （2）二次项指数一定为2

  2. 图象：抛物线

  3. 图象的性质：分五种情况可用表格来说明

  4. 应用：

    （1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它

 平面直角坐标系、函数及其图像

【知识梳理】

一、平面直角坐标系

1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；

2. 各象限点的坐标的符号；

3. 坐标轴上的点的坐标特征．

4. 点P（a，b）关于 对称点的坐标

5.两点之间的距离

 

6.线段AB的中点C，若  则

二、函数的概念

1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数.

2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义  （2）实际问题具有实际意义

3.函数的表示方法； （1）解析法   （2）列表法       （3）图象法

【思想方法】    数形结合

     一次函数图象和性质

【知识梳理】

1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).

2. 一次函数的图象是经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.

3. 一次函数的图象与性质

【思想方法】  数形结合                                                 

   反比例函数图象和性质

【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝          

或         （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

2. 反比例函数的图象和性质

3．的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为      .

【思想方法】数形结合

                 二次函数图象和性质

【知识梳理】

1. 二次函数的图像和性质

锐角三角函数

【思想方法】

1. 常用解题方法——设k法

2. 常用基本图形——双直角

【例题精讲】                                                     

例题1.在△ABC中，∠C=90°．

（1）若cosA=，则tanB=______;（2）若cosA=，则tanB=______．

例题2.（1）已知：cosα=，则锐角α的取值范围是（  ）

        A．0°<α<30°           B．45°<α<60°

        C．30°<α<45°          D．60°<α<90°

   （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（  ）

        A．tanθ>cosθ>sinθ     B．sinθ>cosθ>tanθ

        C．tanθ>sinθ>cosθ     D．sinθ>tanθ> cosθ