函数及其图像
一、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征
在x轴上纵坐标为0 , 在y轴上横坐标为, 原点坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)到x轴的距离等于 (2)到y轴的距离等于 (3)到原点的距离等于
三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数的三种表示法(1)解析法(2)列表法(3)图像法
3、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表(2)描点(3)连线
4、自变量取值范围
四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像:是一条直线
3、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
4、一次函数的性质,,一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
6、 设两条直线分别为,: :
若且。 若
7、平移:上加下减,左加右减。
8、较点坐标求法:联立方程组
五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像是双曲线。
3、反比例函数的性质
(1)当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y随x 的增大而减小。
(2)当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y随x 的增大而增大。
(3) 图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
(4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形
(5)图像上任意一点向坐标轴作垂线,与坐标轴所围成矩形面积等于|k|
4、反比例函数解析式的确定
只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
六、二次函数
1、二次函数的概念:一般地,如果,那么y叫做x 的二次函数。
2、二次函数的图像是一条抛物线。
3、二次函数的性质:
(1)a>0抛物线开口向上,对称轴是x=,顶点坐标是(,);在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大;抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,
(2) a<0抛物线开口向下,对称轴是x=,顶点坐标是(,);在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,;
抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,
4、.二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)两根式:
5、抛物线中,的作用:
表示开口方向:>0时,抛物线开口向上,,, <0时,抛物线开口向下
与对称轴有关:对称轴为x=,a与b左同右异
表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,)
6、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
7、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
8、平移:可以由平移得到。上加下减,左加右减。
第二篇:初中数学函数知识点汇总
函数及其图像
一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限。 二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征 在 x 轴上纵坐标为 0 , 在 y 轴上横坐标为, 原点坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ? x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ? x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ? 横坐标相等,纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ? 纵坐标相等,横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 ? 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)到 x 轴的距离等于 y 三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它 对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数。 2、函数的三种表示法(1)解析法(2)列表法(3)图像法 3、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表(2)描点(3)连线 4、自变量取值范围 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果 y ? kx ? b (k,b 是常数,k ? 0),那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地,当一次函数 y ? kx ? b 中的 b 为 0 时, y ? kx (k 为常数,k ? 0)。这时,y 叫做 x 的正 比例函数。
1
2 2 (2)到 y 轴的距离等于 x (3)到原点的距离等于 x ? y
2、一次函数的图像:是一条直线 3、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数 y ? kx 有下列性质: (1)当 k>0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (2)当 k<0 时,图像经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 4、一次函数的性质,,一般地,一次函数 y ? kx ? b 有下列性质: (1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大 (2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小 5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y ? kx (k ? 0)中的常数 k。确定一个一次 函数,需要确定一次函数定义式 y ? kx ? b (k ? 0)中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待 定系数法。 6、 设两条直线分别为, l1 : y ? k1 x ? b1 若 l1 // l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 。 7、平移:上加下减,左加右减。 8、较点坐标求法:联立方程组 五、反比例函数 1、反比例函数的概念
l2 : y ? k2 x ? b2
若 l ? l ? k ? k ? ?1 1 2 1 2
k (k 是常数, k ? 0) 叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成 y ? kx ?1 x 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x ? 0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
一般地, 函数 y ? 2、反比例函数的图像是双曲线。 3、反比例函数的性质 (1)当 k>0 时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。 (2)当 k<0 时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。 (3) 图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 (4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)图像上任意一点向坐标轴作垂线,与坐标轴所围成矩形面积等于|k| 4、反比例函数解析式的确定 只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 六、二次函数 1、二次函数的概念:一般地,如果 y ? ax ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次
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函数。 2、二次函数的图像是一条抛物线。 3、二次函数的性质: (1)a>0 抛物线开口向上,对称轴是 x= ?
b b 4ac ? b 2 ,顶点坐标是( ? , );在对称轴的左侧, 2a 2a 4a
2
即当 x< ?
b b 时,y 随 x 的增大而减小;在对称轴的右侧,即当 x> ? 时,y 随 x 的增大而增大; 2a 2a b 4ac ? b 2 时,y 有最小值, y 最小值 ? 2a 4a b b 4ac ? b 2 ? ,顶点坐标是( , );在对称轴的左 2a 2a 4a
抛物线有最低点,当 x= ?
(2) a<0 抛物线开口向下,对称轴是 x= ? 侧,即当 x< ? 减小,; 抛物线有最高点,当 x= ?
b b 时,y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当 x> ? 时,y 随 x 的增大而 2a 2a b 4ac ? b 2 时,y 有最大值, y 最大值 ? 2a 4a
4、.二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) (2)顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k (a, h, k是常数, a ? 0) (3)两根式: y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 5、抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 中, a , b, c 的作用:
a 表示开口方向: a >0 时,抛物线开口向上,,, a <0 时,抛物线开口向下 b b 与对称轴有关:对称轴为 x= ? ,a 与 b 左同右异 2a c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标:(0, c )
6、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ? ? b ? 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。
2
当 ? >0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当 ? =0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当 ? <0 时,图像与 x 轴没有交点。 7、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(? (1)公式法:顶点是
b b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴是直线 x ? ? . 2a 2a 4a
2
( 2 )配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y ? a?x ? h? ? k 的形式,得到顶点为 ( h , k ),对称轴是直线 x ? h . 8、平移: y ? a?x ? h? ? k 可以由 y ? ax 平移得到。上加下减,左加右减。
2
2
3
1、若关于 x 的方程 x^2+2mx+m^2+3m-2=0 有两个实数根 x1、x2,则 x1(x2+x1)+x2^2 的最小值为 2、(20xx 郴州)(10 分)已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点. (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图一,点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面 积最大?求出此时点 P 的坐标; (3)如图二,设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E,垂足为 D,M 为抛物线的顶点,那么在直线 DE 上 是否存在一点 G,使△CMG 的周长最小?若存在,请求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.
3、(20xx 雅安)(12 分)如图,直线 y=﹣3x﹣3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、C,经过点 C 且对称 轴为 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点. (1)试求点 A、C 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 A 运动,同时,点 N 在线段 OC 上以相 同的速度由点 O 向点 C 运动(当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动),又 PN∥x 轴,交 AC 于 P,问在运动过程中,线段 PM 的长度是否存在最小值?若有,试求出最小值;若无,请说明理由.
4、一次函数 y=kx+b,当 1≤x≤4 时,3≤y≤6,求 k/b 的值,
如图所示, 在平面直角坐标系中, 矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴上, 边 OC 在 y 轴的正半轴上, 且 AB=1, OB= 3 ,矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转 60°后得到矩形 EFOD.点 A 的对应点为点 E,点 B 的对应点 为点 F,点 C 的对应点为点 D,抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A,E,D.
4
(1)判断点 E 是否在 y 轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式; (3)在 x 轴的上方是否存在点 P,点 Q,使以点 O,B,P,Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面 积的 2 倍,且点 P 在抛物线上?若存在,请求出点 P,点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
5、20xx?宁波)已知点 A(a-2b,2-4ab)在抛物线 y=x2+4x+10 上,则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐 标为( )
6. 如图 , 抛物线 y=1/2x 2 +bx-2 与 x 轴交于 A,B 两点 , 于 y 轴交于点 C, 且 A(-1,0). 求 抛 物 线 的 解 析 式 及 顶 点 D 坐 标 判 断 △ ABC 的 形 状 , 并 证 明 点 M(m,0)是 x 轴上一个动点,当 MC+MD 的值最小,求 m
7、 如图,抛物线的顶点为 P(-2,2),与 y 轴交于点 A(0,3).若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动 到点 P′(2,-2),点 A 的对应点为 A′,则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______.
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8、已知二次函数 y=x2-3x-4 的图象,将其函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其
余部分保持不变,得到一个新的图象,结合图象写出当直线 y=x+n 与这个新图象有两个公共点 时,n 的取值范围为 9、如图 点 A 在双曲线 y= k x 的第一象限的那一支上 AB 垂直于 y 轴于点 B,点 C 在 x 轴正 半 轴 上 且
且 AE=3EC,点 D 为 OB 的中点,若△ADE 的面积为 3,则 k 的值为
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第三篇:初中数学函数知识点汇总
函数及其图像
一、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征
在x轴上纵坐标为0 , 在y轴上横坐标为, 原点坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)到x轴的距离等于 (2)到y轴的距离等于 (3)到原点的距离等于
三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数的三种表示法(1)解析法(2)列表法(3)图像法
3、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表(2)描点(3)连线
4、自变量取值范围
四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像:是一条直线
3、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
4、一次函数的性质,,一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
6、 设两条直线分别为,: :
若且。 若
7、平移:上加下减,左加右减。
8、较点坐标求法:联立方程组
五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像是双曲线。
3、反比例函数的性质
(1)当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y随x 的增大而减小。
(2)当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y随x 的增大而增大。
(3) 图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
(4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形
(5)图像上任意一点向坐标轴作垂线,与坐标轴所围成矩形面积等于|k|
4、反比例函数解析式的确定
只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
六、二次函数
1、二次函数的概念:一般地,如果,那么y叫做x 的二次函数。
2、二次函数的图像是一条抛物线。
3、二次函数的性质:
(1)a>0抛物线开口向上,对称轴是x=,顶点坐标是(,);在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大;抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,
(2) a<0抛物线开口向下,对称轴是x=,顶点坐标是(,);在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,;
抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,
4、.二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)两根式:
5、抛物线中,的作用:
表示开口方向:>0时,抛物线开口向上,,, <0时,抛物线开口向下
与对称轴有关:对称轴为x=,a与b左同右异
表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,)
6、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
7、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
8、平移:可以由平移得到。上加下减,左加右减。