必修一基础要点归纳
第一章.集合与函数的概念
一、集合的概念与运算:
1、集合的特性与表示法:集合中的元素应具有:确定性 互异性 无序性;集合的表示法有:列举法 描述法 文氏图等。
2、集合的分类:①有限集、无限集、空集。
②数集: 点集:
3、子集与真子集:若则 若但ABAB
若,则它的子集个数为个
4、集合的运算:①,若则
②,若则
③
5、映射:对于集合A中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B中都有唯一的元素b与之对应,则称,其中a叫做b的原象,b叫a的象。
二、函数的概念及函数的性质:
1、函数的概念:对于非空的数集A与B,我们称映射为函数,记作,其中,集合A即是函数的定义域,值域是B的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。
2、 函数的性质:
⑴ 定义域: 简单函数的定义域:使函数有意义的x的取值范围,例: 的定义域为:
复合函数的定义域:若的定义域为,则复合函数
的定义域为不等式的解集。
实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
⑵ 值域:利用函数的单调性:
利用换元法:
数形结合法
⑶ 单调性:明确基本初等函数的单调性: ()
定义:对且
若满足,则在D上单调递增
若满足,则在D上单调递减。
⑷ 奇偶性:定义:的定义域关于原点对称,若满足=-――奇函数
若满足=――偶函数。
特点: 奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
若为奇函数且定义域包括0,则
若为偶函数,则有
(5)对称性: 的图像关于直线对称;
若满足,则的图像关于直线对称。
函数的图像关于直线对称。
第二章、基本初等函数
一、指数及指数函数:
1、指数: /=
2、指数函数:①定义:
②图象和性质:a>1时,,在R上递增,过定点(0,1)
0<a<1时,,在R上递减,过定点(0,1)
例如:的图像过定点(2,4)
二、对数及对数函数:
1、对数及运算:
>0(0<a,b<1或a,b>1﹚
<0(0<a<1, b>1,或a>1,0<b<1﹚
2、对数函数:
①定义: 与互为反函数。
②图像和性质: a>1时,,,在递增,过定点(1,0)
0<a<1时,,,在递减,过定点(1,0)。
三、幂函数:①定义:
②图像和性质:n>0时,过定点(0,0)和(1,1),在上单调递增。
n<0时,过定点(1,1),在上单调递减。
第三章、函数的应用
一、函数的零点及性质:
1、定义:对于函数,若使得,则称为的零点。
2、性质:若<0,则函数在上至少存在一个零点。
函数在上存在零点,不一定有<0
在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
二、二分法求方程的近似解
1、原理与步骤:①确定一闭区间,使<0,给定精确度;
②令,并计算;
③若=0则为函数的零点,若<0,则,令b=;
若<0 则,令a=
④直到<时,我们把a或b称为的近似解。
三、函数模型及应用:
常见的函数模型有:①直线上升型:; ②对数增长型:
③指数爆炸型: ,n为基础数值,p为增长率。
训练题
一、选择题
1.已知全集,则等于( )
A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1) D.{4}
2.已知函数在(O,2)内的值域是,则函数的图象是( )
3.下列函数中,有相同图象的一组是( )
A y = x-1, y = B y=·, y=
C y = lgx-2, y = lg D y = 4lgx, y = 2lgx2
4.已知奇函数 f(x)在[a,b]上减函数,偶函数g(x)在[a,b]上是增函数,则在[-b,-a](b>a>0)上,f(x)与g(x)分别是( )
A.f(x)和g(x)都是增函数 B.f(x)和g(x)都是减函数
C.f(x)是增函数,g(x)是减函数 D.f(x)是减函数,g(x)是增函数。
5.方程必有一个根所在的区间是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(e,3) D.(e,+∞)
6.下列关系式中,成立的是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的定义域为在上是减函数,若的一个零点为1,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.设f()=(x>0)则f(3)的值为( )
A.128 B.256 C.512 D.8
9.已知a>0,a≠1则在同一直角坐标系中,函数y=和y=的图象可能是( )
A B C D
10.若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.或a>1
11. 已知上的增函数,那么a值范围是
A. B.
C. D.(1,3)
二、填空题
12.已知函数f (x)在(0,+∞)上为减函数,且在R上满足f (-x)=f (x),则f (-2)、f (-5)、f (π)三个数的按从小到大依次排列为______________________
13.函数y=(x-1)0+log(x-1)(|x|+x)的定义域是
14.设函数若f(x0)=8则x0=
15.若幂函数(mÎZ)的图像与x,y轴无交点,且图像关于原点对称,则m=_______,
三、解答题:(本题共6小题,满分74分)
16.计算求值:
17.已知在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围。
18.已知函数;
(1)求的值;
(2)若函数在上是单调递减函数,求实数的取值范围;
19.已知函数(a>1,且a≠1)
1) 求函数f(x)的解析式及其定义域
2) 判断函数f(x)的奇偶性
第二篇:高一数学上册基础知识点总结
必修一基础要点归纳
第一章.集合与函数的概念
一、集合的概念与运算:
1、集合的特性与表示法:集合中的元素应具有:确定性 互异性 无序性;集合的表示法有:列举法 描述法 文氏图等。
2、集合的分类:①有限集、无限集、空集。
②数集: 点集:
3、子集与真子集:若则 若但ABAB
若,则它的子集个数为个
4、集合的运算:①,若则
②,若则
③
5、映射:对于集合A中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B中都有唯一的元素b与之对应,则称,其中a叫做b的原象,b叫a的象。
二、函数的概念及函数的性质:
1、函数的概念:对于非空的数集A与B,我们称映射为函数,记作,其中,集合A即是函数的定义域,值域是B的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。
2、 函数的性质:
⑴ 定义域: 简单函数的定义域:使函数有意义的x的取值范围,例: 的定义域为:
复合函数的定义域:若的定义域为,则复合函数
的定义域为不等式的解集。
实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
⑵ 值域:利用函数的单调性:
利用换元法:
数形结合法
⑶ 单调性:明确基本初等函数的单调性: ()
定义:对且
若满足,则在D上单调递增
若满足,则在D上单调递减。
⑷ 奇偶性:定义:的定义域关于原点对称,若满足=-――奇函数
若满足=――偶函数。
特点: 奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
若为奇函数且定义域包括0,则
若为偶函数,则有
(5)对称性: 的图像关于直线对称;
若满足,则的图像关于直线对称。
函数的图像关于直线对称。
第二章、基本初等函数
一、指数及指数函数:
1、指数: /=
2、指数函数:①定义:
②图象和性质:a>1时,,在R上递增,过定点(0,1)
0<a<1时,,在R上递减,过定点(0,1)
例如:的图像过定点(2,4)
二、对数及对数函数:
1、对数及运算:
>0(0<a,b<1或a,b>1﹚
<0(0<a<1, b>1,或a>1,0<b<1﹚
2、对数函数:
①定义: 与互为反函数。
②图像和性质: a>1时,,,在递增,过定点(1,0)
0<a<1时,,,在递减,过定点(1,0)。
三、幂函数:①定义:
②图像和性质:n>0时,过定点(0,0)和(1,1),在上单调递增。
n<0时,过定点(1,1),在上单调递减。
第三章、函数的应用
一、函数的零点及性质:
1、定义:对于函数,若使得,则称为的零点。
2、性质:若<0,则函数在上至少存在一个零点。
函数在上存在零点,不一定有<0
在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
二、二分法求方程的近似解
1、原理与步骤:①确定一闭区间,使<0,给定精确度;
②令,并计算;
③若=0则为函数的零点,若<0,则,令b=;
若<0 则,令a=
④直到<时,我们把a或b称为的近似解。
三、函数模型及应用:
常见的函数模型有:①直线上升型:; ②对数增长型:
③指数爆炸型: ,n为基础数值,p为增长率。
训练题
一、选择题
1.已知全集,则等于( )
A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1) D.{4}
2.已知函数在(O,2)内的值域是,则函数的图象是( )
3.下列函数中,有相同图象的一组是( )
A y = x-1, y = B y=·, y=
C y = lgx-2, y = lg D y = 4lgx, y = 2lgx2
4.已知奇函数 f(x)在[a,b]上减函数,偶函数g(x)在[a,b]上是增函数,则在[-b,-a](b>a>0)上,f(x)与g(x)分别是( )
A.f(x)和g(x)都是增函数 B.f(x)和g(x)都是减函数
C.f(x)是增函数,g(x)是减函数 D.f(x)是减函数,g(x)是增函数。
5.方程必有一个根所在的区间是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(e,3) D.(e,+∞)
6.下列关系式中,成立的是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的定义域为在上是减函数,若的一个零点为1,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.设f()=(x>0)则f(3)的值为( )
A.128 B.256 C.512 D.8
9.已知a>0,a≠1则在同一直角坐标系中,函数y=和y=的图象可能是( )
A B C D
10.若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.或a>1
11. 已知上的增函数,那么a值范围是
A. B.
C. D.(1,3)
二、填空题
12.已知函数f (x)在(0,+∞)上为减函数,且在R上满足f (-x)=f (x),则f (-2)、f (-5)、f (π)三个数的按从小到大依次排列为______________________
13.函数y=(x-1)0+log(x-1)(|x|+x)的定义域是
14.设函数若f(x0)=8则x0=
15.若幂函数(mÎZ)的图像与x,y轴无交点,且图像关于原点对称,则m=_______,
三、解答题:(本题共6小题,满分74分)
16.计算求值:
17.已知在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围。
18.已知函数;
(1)求的值;
(2)若函数在上是单调递减函数,求实数的取值范围;
19.已知函数(a>1,且a≠1)
1) 求函数f(x)的解析式及其定义域
2) 判断函数f(x)的奇偶性