高中数学必修5知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,R为???C的外接圆的半径,则有
abc???2R. sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:①a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC; abc②sin??,sin??,sinC?;(正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中) 2R2R2R
③a:b:c?sin?:sin?:sinC; a?b?cabc④. ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC
1113、三角形面积公式:S???C?bcsin??absinC?acsin?. 222
4、余弦定理:在???C中,有a?b?c?2bccos?,b?a?c?2accos?, 222222
c2?a2?b2?2abcosC.
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2
5、余弦定理的推论:cos??,cos??,cosC?. 2bc2ab2ac
6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边,则:①若a?b?c,则C?90为直角三角形;
②若a?b?c,则C?90为锐角三角形;③若a?b?c,则C?90为钝角三角形.
222222??222?
第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
7、常数列:各项相等的数列.
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9、数列的通项公式:表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项an与它的前一项an?1(或前几项)间的关系的公式.
11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个
常数称为等差数列的公差.
12、由三个数a,?,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则?称为a与b的等差中项.若
b?a?c,则称b为a与c的等差中项. 2
13、若等差数列?an?的首项是a1,公差是d,则an?a1??n?1?d.
通项公式的变形:①an?am??n?m?d;②a1?an??n?1?d;③d?⑤d?
an?a1a?a1
;④n?n?1;n?1d
an?am
.
n?m
*
14、若?an?是等差数列,且m?n?p?q(m、n、p、q??),则am?an?ap?aq;若?an?是等差
*
数列,且2n?p?q(n、p、q??),则2an?ap?aq;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连
续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式:①Sn?
n?a1?an?2
;②Sn?na1?
*
n?n?1?2
d.
16、等差数列的前n项和的性质:①若项数为2nn??
??,则S
2n
?n?an?an?1?,且S偶?S奇?nd,
S奇S偶
?
Sann*
.②若项数为2n?1?n???,则S2n?1??2n?1?an,且S奇?S偶?an,奇?(其中an?1S偶n?1
S奇?nan,S偶??n?1?an).
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 18、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项.若G?ab,则
称G为a与b的等比中项.
19、若等比数列?an?的首项是a1,公比是q,则an?a1q20、通项公式的变形:①an?amq
n?m
2
n?1
.
n?1
;②a1?anq
??n?1?
;③q?
anan?m
?n. ;④q
a1am
*
21、若?an?是等比数列,且m?n?p?q(m、n、p、q??),则am?an?ap?aq;若?an?是等比数
*
列,且2n?p?q(n、p、q??),则an?ap?aq;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续m
2
项和构成的数列成等比数列。
?na1?q?1?
?
22、等比数列?an?的前n项和的公式:Sn??a1?1?qn?a?aq.
1n??q?1??
1?q1?q?
q?1时,Sn?
a1a
?1qn,即常数项与qn项系数互为相反数。 1?q1?q
23、等比数列的前n项和的性质:①若项数为2nn??
n
?
*
?,则S
S偶
奇
?q.
②Sn?m?Sn?q?Sm. ③Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列.
24、an与Sn的关系:an??
??Sn?Sn?1?n?2?
?n?1???S1
一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b,列两个方程求解;
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an?bn?c,列三个方程求解;
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aq?b,q为相除后的常数,列两个方程求解; 2、由递推公式求通项公式:
①若化简后为an?1?an?d形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为an?1?an?f(n),形式,可用叠加法求解;
③若化简后为an?1?an?q形式,可用等比数列的通项公式代入求解;
④若化简后为an?1?kan?b形式,则可化为(an?1?x)?k(an?x),从而新数列{an?x}是等比数列,用等比数列求解{an?x}的通项公式,再反过来求原来那个。(其中x是用待定系数法来求得) 3、由求和公式求通项公式:
①a1?S1 ② an?Sn?Sn?1 ③检验a1是否满足an,若满足则为an,不满足用分段函数写。 4、其他
(1)an?an?1?f?n?形式,f?n?便于求和,方法:迭加;
例如:an?an?1?n?1 有:an?an?1?n?1
n2
a2?a1?3a3?a2?4?
an?an?1?n?1
各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1?
?n?4??n?1?
2
(2)an?an?1?anan?1形式,同除以anan?1,构造倒数为等差数列;
?1?an?an?111
?2??,即??为以-2为公差的等差数列。
anan?1an?1an?an?
(3)an?qan?1?m形式,q?1,方法:构造:an?x?q?an?1?x?为等比数列;
例如:an?an?1?2anan?1,则
例如:an?2an?1?2,通过待定系数法求得:an?2?2?an?1?2?,即?an?2?等比,公比为2。 (4)an?qan?1?pn?r形式:构造:an?xn?y?qan?1?x?n?1??y为等比数列;
n
(5)an?qan?1?p形式,同除p,转化为上面的几种情况进行构造;
??
n
因为an?qan?1?pn,则anqan?1q,若??1?1转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)的方nn?1pppp
法
二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
?ak?0?a1?0①若?,则Sn有最大值,当n=k时取到的最大值k满足? a?0d?0?k?1?
?ak?0?a1?0②若?,则Sn有最小值,当n=k时取到的最大值k满足? a?0d?0?k?1?
三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:an??2n?1??3; n
③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:an?11111?11??????,an??等; 2n?12n?122n?12n?1nn?1nn?1??
④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:an?2n?n?1等;
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a?d和a?d类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和a类型,这样可以相乘约掉。 q
第三章:不等式
1、a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.
比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。
2、不等式的性质: ①a?b?b?a;②a?b,b?c?a?c;③a?b?a?c?b?c;
④a?b,c?0?ac?bc,a?b,c?0?ac?bc;⑤a?b,c?d?a?c?b?d;
⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd;⑦a?b?0?a?b
⑧a?b?0?nn?n??,n?1?;
?n??,n?1?.
3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式??b2?4ac ??0 ??0 ??0
二次函数y?ax2?bx?c
?a?0?的图象
有两个相异实数根
一元二次方程ax2 有两个相等实数根 ?bx?c?0
?a?0?的根
ax2?bx?c?0
?a?0?
ax2?bx?c?0
?a?0? ?b?x1,2?2a?x1?x2? 1 x1?x2??b 2a没有实数根 ?xx?x或x?x?2一元二次不等式的解集 ?b??xx??? 2a??R ? ?xx1?x?x2? ?
5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.
6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?,所有这样的有序数对?x,y?构成的集合.
8、在平面直角坐标系中,已知直线?x??y?C?0,坐标平面内的点??x0,y0?.
①若??0,?x0??y0?C?0,则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方.
②若??0,?x0??y0?C?0,则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方.
9、在平面直角坐标系中,已知直线?x??y?C?0.
①若??0,则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域;?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域.
②若??0,则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域;?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域.
10、线性约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是x,y的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式.
线性目标函数:目标函数为x,y的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解?x,y?.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
a?b称为正数a、b
a、b的几何平均数. 11、设a、b是两个正数,则2
12、均值不等式定理: 若a?0,b?
0,则a?b?
,即a?b
2?.
13、常用的基本不等式:
①a2?b2?2ab?a,b?R?; a2
ab??b2
②2?a,b?R?; ?a?b2a2?b2?a?b?2
③ab???
?2???a?0,b?0?;④2???2???a,b?R?.
14、极值定理:设x、y都为正数,则有
⑴若x?y?s(和为定值),则当x?y时,积xy取得最大值s2
4.
⑵若xy?p(积为定值),则当x?y时,和x?
y取得最小值
第二篇:高中高一数学必修1各章知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{?}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类:
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集. 记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作:CSA即CSA={x|x?S且x?A}
S
CsA
A
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:必须注明函数的定义域;3图象法:描点法作图要注
意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数(参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g的复合函数。 例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)。
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
1任取x1,x2∈D,且x1<x2;2作差f(x1)-f(x2);3变形(通常是因式分解和配方);4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数
单调性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈*. 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用
符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,,当是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(1)?;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象特征
函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
(4)当时,若,则;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)
说明:1注意底数的限制,且;
2;
3注意对数的书写格式.
两个重要对数:
1常用对数:以10为底的对数;
2自然对数:以无理数为底的对数的对数.
对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←→幂底数
对数←→指数
真数←→幂
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
1?+;
2-;
3.
注意:换底公式
(,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论(1);(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2对数函数对底数的限制:,且.
2、对数函数的性质:
a>1
0<a<1
图象特征
函数性质
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
求函数的零点:
1(代数法)求方程的实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.