同济六版上册高数总结
微分公式与积分公式
三角函数的有理式积分：
两个重要极限：
公式1
公式2
有关三角函数的常用公式
和差角公式： 和差化积公式：
三倍角公式: 半角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) sin(α/2)=±√(1-cosα)/2
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα Cos(α/2)=±√(1+cosα)/2
降幂公式: 万能公式：
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
正弦定理： 
余弦定理： 
反三角函数性质：
(特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0即可）
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
中值定理与导数应用：
曲率：
定积分的近似计算：
定积分应用相关公式：
微分方程的相关概念：
一阶线性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
二阶常系数非齐次线性微分方程
第二篇：高等数学上册重点,同济六版
时间2.5小时
复习章节第1章第1节映射与函数
复习知识点
函数的概念★
函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性★★
复合函数、反函数、分段函数和隐函数★
初等函数具体概念和形式，函数关系的建立★
习题章节习题1－1
习题
4(1)(3)(7)(9)，5(1)(2)，7(1)，8★，9(2)★，15(1)，15(4)★，18★
重难点题8，9(2)，15(4)，18
大纲要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
2.5小时第1章第2节数列的极限第1章第3节函数的极限
数列极限的定义★
数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)★★
函数极限的概念★
函数的左极限、右极限与极限的存在性★
函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）★★
习题1－2习题1－3
1(1)(4)(8)
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4
1，3，4★
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.
2.5小时
第1章第4节无穷小与无穷大第1章第5节极限运算法则
无穷小与无穷大的定义★无穷小与无穷大之间的关系★极限的运算法则(6个定理以及一些推论)★
习题1－4习题1－5
1，4，5
1(1)(3)(6)(10)，1(11)★，1(11)，2(1)，2(1)★，3(1)★，4(2)(4)★，3(1)，4(2)(4)，5(1)(3)★
5(1)(3)
时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求
2.5小时第1章第6节极限存在准则两个重要极限
函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）★★★★
两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）★
利用函数极限求数列极限
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用★★★★★
一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法
习题1－6
1(1)，1(6)★，2(1)，2(3)★，1(6)，4(2)(3)★
2(3)，4(2)(3)
1．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
2．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
第1章第7节无穷小的比较习题1－7
1，2，3(2)★，4(3)(4)★
3(2)，4(3)(4)
2.5小时
第1章第8节函数的连续性与间断点第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性
函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）★判断函数的连续性和间断点的类型★★连续函数的、和、差、积、商的连续性★反函数与复合函数的连续性★初等函数的连续性★
有界性与最大值最小值定理;零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)★★★
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
习题1－8习题1－9
1，2(1)，3(1)★，4★，5★
3(1)，4，53(6)，4(5)(6)
3．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．4．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
1，3(4)，3(6)★，4(5)(6)★，5，6
2.5小时第1章第10节闭区间上连续函数的性质第1章总复习题
习题1－10总复习题一
1，3★3
1，2，3(2)，9(2)(4)，9(6)★，11★，12★，13★
9(6)，11，12，13
时间2小时2.5小时
复习章节第1章第2章第1节导数概念
复习知识点
总结归纳错题的知识点、题型
导数的定义★★★★；几何意义、力学意义★★；单侧与双侧可导的关系；可导与连续之间的关系★；函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质★★；按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限★★
会求平面曲线的切线方程和法线方程★
习题章节习题2－1
习题
高等数学第一章，错题集。3，6(1)(3)★，7，8★，9(1)(4)(7)，11，13，16(1)★，17
重难点题6(1)(3)，8，16(1)
大纲要求
1.理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平
面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2.5小时
第2章第2节函数的求导法则导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式★复合函数的求导法则★基本初等函数的导数公式★分段函数的求导★
习题2－2
2(1)(6)(7)(9)，3(3)，4，7(1)(3)(6)，7(8)★，8(8)★，9★，10(2)★，11(2)(4)(6)(8)，11(10)★
7(8)，8(8)，9，10(2)，11(10)
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．
时间2.5小时
复习章节第2章第3节高阶导数第2章第4节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
高阶导数★
复习知识点
n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）★
隐函数的求导方法，对数求导法★由参数方程确定的函数的求导方法★★
习题章节习题2－3习题2－4
习题
3，4★，10(2)★，11(1)(3)★
2，4(1)(2)★，7(2)，8(3)(4)，9(2)，10
重难点题4，10(2)，11(1)(3)4(1)(2)
大纲要求
1．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．2．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
2.5小时
第2章第5节函数的微分
函数微分的定义★，几何意义基本初等函数的微分公式★
微分运算法则★，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用★
习题2－5
1，2，3(1)(4)，3(7)(10)★，4(1)(3)(5)(7)，5，6★
3(7)(10)，6
3.理解微分的概念，理解导数与微分的关系.4.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
2小时第2章总结归纳错题的知识点、题型高等数学部分第二章错题集
时间2.5小时
复习章节第2章
总复习题二
复习知识点
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
习题章节总复习题二
习题
1★，2，3★，6(1)，7★，8(1)(3)，8(5)★，9(1)，11★，12(2)，13，16
重难点题1，3，7，8(5)，11
大纲要求
2.5小时第3章第1节微分中值定理
费马定理★、罗尔定理★、拉格朗日定理★★★、柯西定理及其几何意义★★构造辅助函数
洛必达法则及其应用★★★
习题3－1
4，5，6，7，8，9★，11★，12，15
9，111．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．
2.5小时第3章第2节洛必达法则
习题3－2
1(1)(3)(5)(6)(12)，1(15)★，2★，4★
1(15)，2，4
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
时间2.5小时2.5小时
复习章节第3章第3节
泰勒公式第3章第4节函数的单调性与曲线的凹凸性
复习知识点
泰勒中值定理★★麦克劳林展开式★
函数的单调区间★★，极值点函数的凹凸区间，拐点渐进线★
习题章节习题3－3习题3－4
习题重难点题大纲要求
1．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
2．会用导数判断函数图形的凹凸性，
2，3，4★，5★，6，7，4，5，10(3)10(1)，10(3)★
3(3)，3(6)★，5(1)(4)，3(6)，5(3)，6，5(3)★，6★，9(2)(4)，9(5)★，10(1)，10(3)★，12，15
9(5)，10(3)
2.5小时第3章第5节函数的极值与最大值最小值
函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件★最大值最小值问题★
函数类的最值问题和应用类的最值问题★
习题3—5
1(1)(5)，1(8)(9)★，4(1)，4(3)★，5，6，10，11★，14
1(8)(9)，4(3)，
11
会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
时间2.5小时
复习章节第3章第6节函数图形的描述
复习知识点
利用导数作函数图形（一般出选择题）：★函数f(x)的间断点、f′(x)和f′′(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f′(x)和f′′(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点★
习题章节习题3－6
1，4★P165例1
习题重难点题4
大纲要求
1．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
2．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
2.5小时第3章第7节曲率
弧微分★
曲率的定义，曲率的计算公式★曲率圆、曲率半径★
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
习题3－7总复习题
三
1，4，5，7★P173例1
1，2(1)，2(2)★，4★，6，9★，10(1)(3)，11(3)，12，17★，19★
7
2.5小时
第3章
总复习题三2(2)，4，9，17，19
时间2小时2.5小时
复习章节第3章第4章第1节不定积分的概念与性质
复习知识点
总结归纳错题的知识点、题型原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）★
基本的积分公式★原函数的存在性、几何意义和力学意义★
习题章节习题重难点题大纲要求
高等数学部分第三章错题集
习题4－1
2(1)(2)(7)(10)(13)(14)(18)(21)(25)，5★
5
1．理解原函数概念，理解不定积分的概念．
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法.
习题4－2
2(1)(3)(6)(9)(12)(15)(18)(24)(26)(30)(33)(36)，2(21)(37)(44)★
2(21)(37)(44)
2.5小时
第4章第2节换元积分法第一类换元积分法（凑微分法）★第二类换元积分法★
时间2.5小时
复习章节第4章第3节分部积分法
复习知识点
分部积分法★★
习题章节习题4－3
习题
1，2，3，4，6★，11，16，17，20★，24★
1，3，6，9，12，14★，17，19，23★
1，2，5，8，10★，15★，16，19，21★，23，25，30，33★，35，38
重难点题6，20，24
大纲要求
1．掌握分部积分法．2．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理
2.5小时第4章第4节有理函数积分
有理函数积分法，可化为有理函数的积分★
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
习题4－4总复习题
四
14，23
2.5小时第4章总复习题四
10，15，21，33
函数的积分．
时间2小时2.5小时
复习章节第4章第5章第1节定积分的概念与性质
复习知识点
总结归纳错题的知识点、题型定积分的定义与性质(7个性质)函数可积的两个充分条件★★
习题章节习题
高等数学部分第四章错题集
重难点题大纲要求
习题5—1总复习题五
3(3)(4)，11★，12(2)★，13(5)11，12(2)1．理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值
3(1)，14
定理．
2．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布
4(2)
尼茨公式．
3.掌握定积分的换元积分法
第5章第2节微积分的基本公式
积分上限函数及其导数
牛顿－莱布尼兹公式★★★★★
习题5—2总复习题五
2，3，4，5(3)★，6(6)(12)，7(4)，8(1)，10★，12★4(2)★，8(1)，11
5(3)，10，12
2.5小时第5章第3节定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法★定积分的分部积分法★★
习题5—3
1(9)(12)(15)(24)，
1(18)(21)★，2，5★，6★，7(7)，7(10)(13)★
1(18)(21)，5，6，7(10)(13)
与分部积分法．
4.了解反常积分的概念，会
总复习题五
5(1)★，6，10(1)(4)5(1)计算反常积分．
第5章第4节反常积分
无穷限的反常积分★无界函数的反常积分★
习题5—4总复习题五
1(4)(10)，2★2
1(1)(2)(4)，2(2)(4)，10(8)★
10(8)
时间2小时
复习章节第5章
复习知识点
总结归纳错题的知识点、题型
习题章节习题
高等数学部分第五章错题集
重难点题大纲要求
2.5小时第6章第1节定积分的元素法
第6章第2节定积分在几何学上的应用
元素法1.掌握用定积分表达和计算一些几何量：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及
求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）★旋转体的体积及侧面积★平行截面面积为已知的立体的体积★
平面曲线的弧长★
习题6—2
1(1)(4)，2(1)，3，5(1)，7，6★，8(2)★，11，14，15(1)，15(3)★，17★，19★，21，24，25，28
6，8(2)，15(3)，17，19
侧面积、平行截面面积为已知的立体体积.
2.掌握用定积分表达和计算函数的平均值.
3.掌握用定积分表达和计算一
2.5小时第6章第3节定积分在物理学上的应用第6章总复习题
用定积分求功、水压力、引力★
习题6—3
1，2，3★，6，8★，9，3，8，1111★
些物理量：功、引力、压力、质心、形心等．
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题
六
1，2，3★，7★，93，7
时间2小时
复习章节第6章
复习知识点
总结归纳错题的知识点、题型
习题章节习题
高等数学部分第六章错题集
重难点题大纲要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2.5小时第7章第1节微分方程的基本概念第7章第2节可分离变量的微分方程第7章第3节齐次方程
微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解★
可分离变量的微分方程的概念及其解法★★
习题7—1
1(1)(4)，2(3)(4)，4(2)，5(1)，6
2．掌握变量可分离的微分方程的解法．
习题7—2
1(1)(3)(5)(8)，3，4，6★6
4．会解齐次微分方程、伯努利方程
一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程★
一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法★
习题
7—3习题7—4
1(1)(4)，2(1)，3，4(1)(4)★
1(1)(4)，1(10)★，2(1)★，7(1)(3)，8(1)，8(5)★
1(1)(4)(7)，1(10)★，2(1)，2(4)★，3
4(1)(4)
和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．
2.5小时第7章第4节一阶线性微分方程
第7章第5节可降阶的高阶微分方程
1(10)，2(1)，8(5)
5．会用降阶法解下列形式的微分方程：y
1(10)，2(4)
(n)
=f(x),y′′=f(x,y′)
用降阶法解下列微分方程：
y
(n)
=f(x)，y′′=f(x,y′)和
习题
7—5
和y′′=f(y,y′).
y′′=f(y,y′)★
时间2.5小时
复习章节第7章第6节高阶线性微分方程
复习知识点
n阶线性微分方程的形式
线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质★★
习题章节习题7—6
习题
1(1)(3)(6)(9)，4(2)(4)
重难点题大纲要求
1．理解线性微分方程解的性质及解的结构．
2．掌握二阶常系数线性微分
第7章第7节常系数齐次线性微分方程
特征方程★
特征方程的根与微分方程通解中的对应项★
微分方程的通解★
习题7—7
1(1)(5)(7)(8)，2(1)(4)
方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
3.会解自由项为多项式、指
第7章第8节常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积★★
习题7—8
1(1)(5)(7)，1(3)(9)★，2(2)，2(1)(4)★，6★
1(3)(9),2(1)(4),6
数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
2.5小时
第7章第9节欧拉方程第7章总复习题
欧拉方程的形式和通解习题7—9
1，6★，7★6，7
4．会解欧拉方程．
5．会用微分方程解决一些简单的应用问题．
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题七
1，2，3(1)(2)(4)(7)，3(3)(8)(9)★，4(3)(4)★，7，10(1)
3(3)(8)(9),4(3)(4)
2小时第7章总结归纳错题的知识点、题型高等数学部分第七章错题集