高中数学《必修2》知识点 版权所有 王子安
第一章 空间几何体
一、常见几何体的定义
能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。
二、常见几何体的面积、体积公式
1.圆柱：侧面积S侧?cl?2?rl （其中c是底面周长，r是底面半径，l是圆柱的母线，也是高）
表面积S表?S侧?S底?2?rl?2??r2?2?r(r?l)
V柱体?sh??r2h
1cl??rl （其中c是底面周长，r是底面半径，l是圆锥的母线） 2
表面积S表?S侧?S底??rl??r2??r(r?l) 11 V椎体?sh??r2h 33
(2?r?2?R)l??(r?R)l （其中r、R是上下底面半径，l是圆台的母线）3.圆台：侧面积S侧? 2
表面积S表?S侧?S底??(r?R)l??r2??R2??(rl?Rl?r2?R2) 1 V台体?(S'?S'S?S)h （其中S'、S是上下底面面积，h是圆台的高） 3
44.球：表面积S表?4?R2，体积V球??R3 3
三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。
画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x轴平行的线段仍然与x轴平行，长度不变；
与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但是长度减半。
四、三视图
1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。
①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。
③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。
2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影；
侧视图：光线从左向右的正投影；
俯视图：光线从上向下的正投影。
三视图的性质：
侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系 2.圆锥：侧面积S侧?
一、立体几何中的公理与基本关系
1.平面公理：
公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。
推论3：两条平行直线确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【本公理也称为平行直线的传递性】 立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 1 页 共 4 页
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2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形。
4.点、线、面之间的位置关系的表示方法：
①点A在直线l上，记作 ，点A不在直线l上，记作 ；
②点A在平面?内，记作 ，点A不在平面?内，记作 ；
③直线l在平面?内，记作 ，直线l不在平面?内，记作 ；
④直线l与平面?相交，记作 ，直线l与平面?平行，记作 ；
⑤平面?与平面?平行，记作 ，平面?与平面?相交，记作 。
二、线面间的位置关系
1.线线间的位置关系：相交、平行、异面。
①异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
②异面直线所成的角：过空间任意点O分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角或直角。异面直线所成的角的取值范围是??(0?,90?]。
2.线面间的位置关系：平行，相交，线在面内。【线在面外是指：平行或相交。】
3.面面间的位置关系：平行、相交。【注：垂直是相交的一种特殊情况。】
三、平行关系
1.线线平行：在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。
2.线面平行
①定义：直线a与平面?没有公共点，叫做直线a与平面?平行，记作：a//?。
②判定定理：若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号语言：若a??,b??,a//b，则a//?。
③性质定理：若一直线与一平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若a//?,a??,????b，则a//b。
3.面面平行
①定义：平面?与平面?没有公共点，则称平面?与平面?平行，记作?//?。
②判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若a??,b??,a?b?p,a//?,b//?，则?//?。
③性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：若?//?,????a,????b，则a//b。
四、垂直关系
1.线线垂直：若两条直线的夹角为90°，则称为两直线垂直。
2.线面垂直
l??。①定义：若直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面?互相垂直；记作：
②判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言：若l?m,l?n,m??,n??,m?n?P，则l??。
③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言：若m??,n??，则m//n。
立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 2 页 共 4 页
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3.面面垂直
①定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。记作：???。 ②判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：若m??,m??，则???。
③性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言：若???,m??,m?l,????l，则m??。
四、空间中的角
1.线线角：线线角的范围??[0?,90?]。
2.线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的角。线面角的范围??[0?,90?]。
3.面面角：
【二面角】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的范围??[0?,180?]。
【二面角的平面角】在二面角??l??的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面?和?内分别作垂直于棱l的垂线OA和OB，则射线OA和OB所成的角?AOB叫做二面角的平面角。注：二面角的大小等于它的平面角的大小。
五、空间的距离（略）
【常见题型与思路】
【一、平行的证明方法】
1.线线平行的证明方法：
①平行线的传递性：若a//b,a//c，则b//c。
②平行四边形：平行四边形的对边平行。
③中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理。
④若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若l//?,l??,????m，则l//m。
⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
符号语言：若?//?,????m,????n，则m//n。
⑥垂直于同一平面的两条直线平行。
符号语言：若m??,n??，则m//n。
2.线面平行的证明方法：
①若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号语言：若l??,m??,l//m，则l//?。
②若两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。
符号语言：若?//?,l??，则l//?。
③若平面外的两条平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行这个平面。
符号语言：若m??,n??,m//n,m//?，则n//?。
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3.面面平行的证明方法：
①若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若m??,n??,m?n?A,m//?,n//?，则?//?。
②若两个平面同时与一条直线垂直，则这两个平面平行。
符号语言：若l??,l??，则?//?。
③若两个平面同时与一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若?//?,?//?，则?//?。
【二、垂直的证明方法】
1.线线垂直的证明方法：
①定义：若两条直线的夹角为90°，则两条直线垂直。
②勾股定理逆定理：在?ABC中，若AB2?AC2?BC2，则?A?90?，即AB?AC。 ③若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面里的所有直线。
符号语言：若l??,m??，则l?m。
④若直线垂直两平行直线中的一条，则也垂直另一条。
符号语言：若m//n,l?m，则l?n。
2.线面垂直的证明方法：
①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：若m??,n??,m?n?A,l?m,l?n，则l??。
②若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面。
符号语言：若m//n,m??，则n??。
③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则该直线也垂直另一个平面。
符号语言：若?//?,l??，则l??。
④若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：若???,????l,m??,m?l，则m??。
3.面面垂直的证明方法：
①定义：若二面角??l??的平面角为90°，则???。
②若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：若l??,l??，则???。
【三、角的求法】
1.线线角：首先把把两条直线平移到相交，其次把夹角放在三角形中。
2.线面角：首先找出线面角（斜线与射影的夹角），然后按照线线角求解。
3.面面角：首先找出二面角的平面角，然后按照线线角求解。
【四、距离的求法（略）】
【注意：以上每句话都有文字、符号、图像三种形式，理解并熟练转化才能学好，加油！】 立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 4 页 共 4 页
第二篇：高中数学《必修2》立体几何知识点及解题思路
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第一章 空间几何体
一、常见几何体的定义
能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。
二、常见几何体的面积、体积公式
1.圆柱：侧面积S侧?cl?2?rl （其中c是底面周长，r是底面半径，l是圆柱的母线，也是高）
表面积S表?S侧?S底?2?rl?2??r2?2?r(r?l)
V柱体?sh??r2h
12.圆锥：侧面积S侧?cl??rl （其中c是底面周长，r是底面半径，l是圆锥的母线） 2
表面积S表?S侧?S底??rl??r2??r(r?l) 11 V椎体?sh??r2h 33
(2?r?2?R)l3.圆台：侧面积S侧? ??(r?R)l （其中r、R是上下底面半径，l是圆台的母线）2
表面积S表?S侧?S底??(r?R)l??r2??R2??(rl?Rl?r2?R2) 1 V台体?(S'?S'S?S)h （其中S'、S是上下底面面积，h是圆台的高） 3
44.球：表面积S表?4?R2，体积V球??R3 3
三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。
画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x轴平行的线段仍然与x轴平行，长度不变；
与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但是长度减半。
四、三视图
1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。
①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。
③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。
2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影；
侧视图：光线从左向右的正投影；
俯视图：光线从上向下的正投影。
三视图的性质：
侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
一、立体几何中的公理与基本关系
1.平面公理：
公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。
推论3：两条平行直线确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【本公理也称为平行直线的传递性】 立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 1 页 共 4 页
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2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形。
4.点、线、面之间的位置关系的表示方法：
①点A在直线l上，记作 ，点A不在直线l上，记作 ；
②点A在平面?内，记作 ，点A不在平面?内，记作 ；
③直线l在平面?内，记作 ，直线l不在平面?内，记作 ；
④直线l与平面?相交，记作 ，直线l与平面?平行，记作 ；
⑤平面?与平面?平行，记作 ，平面?与平面?相交，记作 。
二、线面间的位置关系
1.线线间的位置关系：相交、平行、异面。
①异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
②异面直线所成的角：过空间任意点O分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角或直角。异面直线所成的角的取值范围是??(0?,90?]。
2.线面间的位置关系：平行，相交，线在面内。【线在面外是指：平行或相交。】
3.面面间的位置关系：平行、相交。【注：垂直是相交的一种特殊情况。】
三、平行关系
1.线线平行：在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。
2.线面平行
①定义：直线a与平面?没有公共点，叫做直线a与平面?平行，记作：a//?。
②判定定理：若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号语言：若a??,b??,a//b，则a//?。
③性质定理：若一直线与一平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若a//?,a??,????b，则a//b。
3.面面平行
①定义：平面?与平面?没有公共点，则称平面?与平面?平行，记作?//?。
②判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若a??,b??,a?b?p,a//?,b//?，则?//?。
③性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：若?//?,????a,????b，则a//b。
四、垂直关系
1.线线垂直：若两条直线的夹角为90°，则称为两直线垂直。
2.线面垂直
①定义：若直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面?互相垂直；记作： l??。②判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言：若l?m,l?n,m??,n??,m?n?P，则l??。
③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言：若m??,n??，则m//n。
立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 2 页 共 4 页
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3.面面垂直
①定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。记作：???。 ②判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：若m??,m??，则???。
③性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言：若???,m??,m?l,????l，则m??。
四、空间中的角
1.线线角：线线角的范围??[0?,90?]。
2.线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的角。线面角的范围??[0?,90?]。
3.面面角：
【二面角】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的范围??[0?,180?]。
【二面角的平面角】在二面角??l??的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面?和?内分别作垂直于棱l的垂线OA和OB，则射线OA和OB所成的角?AOB叫做二面角的平面角。注：二面角的大小等于它的平面角的大小。
五、空间的距离（略）
【常见题型与思路】
【一、平行的证明方法】
1.线线平行的证明方法：
①平行线的传递性：若a//b,a//c，则b//c。
②平行四边形：平行四边形的对边平行。
③中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理。
④若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若l//?,l??,????m，则l//m。
⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
符号语言：若?//?,????m,????n，则m//n。
⑥垂直于同一平面的两条直线平行。
符号语言：若m??,n??，则m//n。
2.线面平行的证明方法：
①若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号语言：若l??,m??,l//m，则l//?。
②若两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。
符号语言：若?//?,l??，则l//?。
③若平面外的两条平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行这个平面。
符号语言：若m??,n??,m//n,m//?，则n//?。
立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 3 页 共 4 页
高中数学《必修2》知识点 版权所有 王子安
3.面面平行的证明方法：
①若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若m??,n??,m?n?A,m//?,n//?，则?//?。
②若两个平面同时与一条直线垂直，则这两个平面平行。
符号语言：若l??,l??，则?//?。
③若两个平面同时与一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若?//?,?//?，则?//?。
【二、垂直的证明方法】
1.线线垂直的证明方法：
①定义：若两条直线的夹角为90°，则两条直线垂直。
②勾股定理逆定理：在?ABC中，若AB2?AC2?BC2，则?A?90?，即AB?AC。 ③若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面里的所有直线。
符号语言：若l??,m??，则l?m。
④若直线垂直两平行直线中的一条，则也垂直另一条。
符号语言：若m//n,l?m，则l?n。
2.线面垂直的证明方法：
①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：若m??,n??,m?n?A,l?m,l?n，则l??。
②若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面。
符号语言：若m//n,m??，则n??。
③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则该直线也垂直另一个平面。
符号语言：若?//?,l??，则l??。
④若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：若???,????l,m??,m?l，则m??。
3.面面垂直的证明方法：
①定义：若二面角??l??的平面角为90°，则???。
②若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：若l??,l??，则???。
【三、角的求法】
1.线线角：首先把把两条直线平移到相交，其次把夹角放在三角形中。
2.线面角：首先找出线面角（斜线与射影的夹角），然后按照线线角求解。
3.面面角：首先找出二面角的平面角，然后按照线线角求解。
【四、距离的求法（略）】
【注意：以上每句话都有文字、符号、图像三种形式，理解并熟练转化才能学好，加油！】 立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 4 页 共 4 页