《函数的单调性》教学设计

（人教A版高中课标教材数学必修1第一章1.3.1节）

授课教师： 刘  力   天津市第四中学    

指导教师： 刘金英   天津市中小学教育教学研究室

            张  光   天津市河西区教育中心

            刘家征   天津市第四中学

20##年12月

《函数的单调性》教学设计

天津市第四中学     刘力

一、教学内容解析

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的理论依据，在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有重要应用，因而函数单调性概念是中学数学中最重要的概念之一．

在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．

在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

本节课的教学重点：形成增（减）函数形式化定义

二、教学目标设置

（一）学习目标

1. 能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.

2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．

3. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

（二）目标解析

1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数.

2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．

3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的，都有”的数学语言进行刻画.从函数入手归纳函数单调性定义推广到一般函数的单调性定义.培养良好的思维品质，提高思维能力．

三、学生学情分析

学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量的变化而变化的规律和性质.

“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的，都有”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的．

教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“随着的增大而增大”，初步提出单调递增的说法，通过图表观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．

教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性。

四、教学策略分析

为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：

（1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．

（2）探索概念阶段，紧扣主线．在函数图象上“谱好”函数单调性教学的“三步曲”．

①以学生熟悉的函数为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．

②通过观察函数的对应值表格提出猜想，通过几何画板软件加以验证，用数学语言“随着的增大而增大” 来描述 “函数的图象在轴右侧是上升的”，进一步认识函数单调性．

③通过观察、猜想、分析、验证、证明的过程，从而用数学符号语言定描述函数在的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．

（3）注重思想方法的培养．从函数图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．

　　（4）注重数学应用意识的培养．在整个教学过程中，通过温度曲线创设情境，找准切入点，进入新课．在练习1（1）中，利用温度曲线构造反例，帮助学生理解函数单调性中的“任意性”．在归纳反思中，利用温度曲线说明学习函数单调性知识具有实际意义．

五、教学过程

（一）创设情境，引入新知

我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如某日天津24小时的温度曲线．

问题1：观察图形，你能得到什么信息？

师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充．

【设计意图】通过学生熟悉的实际问题引入课题．为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．

（二）观察探究，形成新知

问题2：观察函数，的图象随自变量的增大，是如何变化的？

学生获取函数的图象升降特点后，教师以函数为例，初步认识函数单调性：

函数的图象在轴左侧随着自变量增大而下降，我们说函数在区间上是减函数；在轴右侧随着自变量增大上而升，就说函数在区间上是增函数．

师生活动：教师引导，学生观察图象从左至右的变化情况，并回答问题．

【设计意图】体会函数的图象是上升的，函数的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的．以函数的图象为例，通过函数的图象直观感知函数的单调性，初步认识函数单调性定义．

探究一：用数学符号语言定义增函数．

问题3：

①函数的图象在轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”？

②观察表格，轴右侧自变量值与对应的函数值的变化规律是怎样的？

教师提出问题①后，组织学生填写表格，观察图表

师生活动：学生观察函数图象在轴右侧是上升的，提出函数在区间上随的增大而增大，在教师的帮助下，借助几何画板软件加以验证．

【设计意图】观察函数的图象，用“在 随的增大而增大”描述“图象在轴右侧是上升的”，进一步认识函数的单调性，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到数学语言的表述．

问题4：如何用数学符号语言描述函数在 随的增大而增大？

　　师生活动：学生在教师的引导下，总结：

函数，在区间上任取值，当时，都有．就能说明函数在区间上随的增大而增大；函数是增函数.

引导学生观察图象，进行验证，并通过作差比较，对函数在区间上

当时，都有，给予证明．

经历上述观察、猜想、分析、验证、证明的过程，得到结论：

   函数定义域为R，在上任意的的值，当时，都有．我们就说函数在区间上是增函数.

【设计意图】结合图、表，学生在教师的引导，结合其初中的认知基础，学生在教师的引导下，用数学符号语言“函数，在区间上任取两个，当时，有”来描述“随着的增大而增大”，学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程．

问题5：对于一般的函数定义域为I，在区间D上，我们应当如何给增函数下定义？

引导学生给增函数下定义：

一般地，设函数的定义域为：

如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．

师生活动：学生思考、发言，教师补充、板书．

【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．

问题6：类比增函数的定义，对于一般的函数，我们应当如何给减函数下定义？

教师引导学生通过类比、观察、验证、交流后，得出减函数定义

师生活动：小组讨论，代表发言交流．

【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比能力．

练习1：判断下列说法是否正确，说明理由：

（1）某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温度，则该地0点至5点温度一直在下降.

（2）对于函数在其定义域内有无穷多个值，满足，则函数在其定义域内是增函数.

（3）对于区间上的任意有，则函数在区间上单调递增．若不正确，请画图说明理由.

师生活动：学生回答练习（1）后教师通过本节课开始的“某日天津24小时的温度曲线”作为反例进行说明，练习（2）（3）学生通过作图展示说明．

【设计意图】通过辨析，学生进一步体验到定义中的两个自变量应该“任意”选取．

（三）巩固提高，应用新知

例1 下图是定义在区间上的函数，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

 

师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：

①单调区间是定义域的子集；

②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义；

③本题中，区端点处有意义，那么区间开闭都可以．

【设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．

例2：物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明之．

师生活动：帮助学生分析例2，引导学生将物理问题转化为数学问题，解题过程由学生思考陈述，教师板书证明过程，师生共同总结用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

【设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；教师引导下，学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

探究二：反比例函数的单调性

问题7：

①画出反比例函数的图象，并说出函数的定义域是什么？

②它在定义域上的单调性是怎样的？

③证明你的结论．

师生活动：学生讨论，代表发言，提出猜想，证明猜想．

【设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．

（四）归纳反思，深化新知

问题8：通过本节课学习，你有哪些收获？

师生活动：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．

【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．

（五）目标检测

1．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．

 

2．证明函数在上是减函数．

（六）布置作业：

（1）基础达标：

　　　　　　　①教材中练习的第1、2题；

　　　　　　　　　②求证：函数在区间上是减函数．

（2）能力提升：研究函数的单调性．

（3）思考探究：函数 定义域内的某个区间D上任意两个自变量 的值，当 时，都有 ，则函数 在区间D上是                ．（填“增函数”或“减函数”）

教学点评

点评人：刘家征（天津市第四中学）

本节课的教学，较好的完成了三个教学目标。课堂教学始终以学生为中心，结合学生认知结构中的“最近生长点”一次函数和二次函数，寻找学生易于接受的思维模式，由感性感知“图象由左向右是上升的，函数是单调递增的”到理性思考 “随着的增大而增大”，再到逻辑推理“任意的，都有”，很自然的突破引入“任意取两个大小不等的”的教学难点，而单调性定义后面给出的三个辨析训练，让学生更加深刻的体会定义中“任意”的含义．教学中增加且板书引导学生证明的单调性，并且在给出定义后明确两个函数的单调性和单调区间，既明确本节课的教学重点，又让学生对本节学习内容有了抓手。

本节课以教学内容为载体，注重培养学生的探究能力和学习能力，让学生通过图表观察、合作探究提出猜想，经过讨论、交流、论证得到数学成果，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程，使学生获得研究数学问题的重要思想方法，积累终身学习的基本素质。

本节课以温度曲线为教学切入点，时刻把抽象的数学问题和实际应用问题相结合，培养学生的应用意识和利用数学解决实际问题的能力，激发学生学数学和用数学的兴趣。

第二篇：第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《三角函数的诱导公式》说课(天津李月英)

《三角函数诱导公式》教学设计说明

天津静海第一中学　　　李月英

一、教学内容解析

《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六．前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上，继续学习这五组公式，经历公式的发现、推导和应用的学习过程，由未知到已知的转化过程，为以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础．

本节共需二课时，本节是第一课时．教学内容为公式二、三、四．

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.

本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们.

二、教学目标分析

在初中学生已经学习过关于原点、x轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在的联系还不甚清楚，或者只有一点模糊的感性认识．数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．”所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个维度的方面确定了教学目标．

为实现本节课的教学目标，教师将引导学生借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导诱导公式．同时，在公式的推导过程中，注意运用数形结合的思想探究问题，用联系的观点发现解决问题（证明诱导公式）. 让学生体会把未知问题化归为已知问题的思维方式，培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，培养学生的综合实践和自主学习的能力；培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．

三、教学问题诊断

在本节的学习过程中学生可能会遇到一些问题：

1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.

2．角的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突破了难点.

3．公式的记忆也是个难点.编制口诀帮助记忆，特别是十字口诀的含义需要正确的理解. 教师对于幻灯片中的公式，对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，指导学生联系角的终边的对称性与三角函数值之间的关系，也有利于公式的记忆.

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

为了实现既定的教学目标，本节课教法的设计原则是贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革．主要体现在从三方面：

1．计算机辅助教学

借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的角的终边的对称关系，角的终边变化和三角函数值的关系使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示变化的过程，使问题形象、直观，易于得出一般结论．

2．探究式教学

本节课安排先由特殊的角的三角函数值，得到猜想，再使用课件直观演示一般问题的变化中的相等、相反关系，然后通过论证，形成一般的任意角的结论，最后通过例题总结出解题的一般规律．这样的安排符合学生的认知规律，不仅使学生获得诱导公式，而且也有利于培养学生从特殊到一般的归纳和抽象能力，有利于提高数学的数学素养．

3．小组合作式教学

小组学生三层组合，对于问题的解决提出不同意见，分别给学生展示的机会，使他们充满信心，而且小组学习起到了相互交流、督促的作用．

我在进行《三角函数诱导公式》教学设计过程中力图在如下两方面作文章，以期能有所突破和创新．

（一）问题的引入

问题的引入是我着实下力的地方．设想了几个方案：

【方案一】

求30°、150°、210°、－30°、390°的三角函数值？并分类填好表格．

针对以上表格，回答以下问题：

①各角间有什么关系，终边分别在第几象限？

②它们的三角函数值有什么关系？

【方案二】

（1）提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征．

（2）学生练习：试求下列三角函数值sin1110°，sin1290°．

【方案三】

1．复习：

(1)利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：

(2)由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．即有：

2．问题：

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？

这三种方案比较各有侧重点．

方案一通过表格形式既复习了锐角函数值，又让学生看到了不能解决的新问题，本想采用做成表格每人一张，之后学生回答，或做成幻灯片师生活动，但是感觉略复杂，而且目的不明确，放弃．

方案二通过提问的方式使学生温故，而且在新知识的推导过程中还要有应用，所以很有必要，而计算的那两个值似乎值太大，如果学生公式一还用的不熟练，反而耽误时间了，放弃．

方案三和方案二有异曲同工之妙．直接开门见山提了问题，很好，但是问题显得有点唐突，不知道为什么和对称联系到了一起，放弃．

最终权衡利弊，采取了教学设计中的“问题引导，创设情境”方案．

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．教师应努力改变教学观念，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．所以我采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——探索开发新结论——总结概括新结论——巩固应用结论——课堂小结”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，充分尊重学生作为学习主体的情感、认知水平和发展需求，使数学自主建构生成．

（二）诱导公式的推导

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动”思维永远是从问题开始的．所以本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”的方法，使学生始终处在兴趣盎然的状态，课堂气氛活跃．

所以，我首先研究了课程标准和教材的特点，决定以三角函数的定义为切入点，利用单位圆这一在图形，直观演示，使学生先形成感性认识，进而启发学生挖掘对称点的坐标之间的内在联系，充分渗透数形结合的思想，在不知不觉中完成：问题链引导——〉大胆猜测——〉图形观察——〉总结结论，形成一套完整的探究合作式教学过程．

特别是对公式中任意角的理解，是正确理解和使用诱导公式的关键．

对公式中的角是任意角而并非第一象限的角的结论，我采用了几何画板课件展示：首先，作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，再做出的终边，分析对称关系，之后拖动其终边上任意点，让学生观察每一象限内的变化，从而验证了猜想，总结出三角函数的诱导公式．

由于本节课的教学重点在公式的推导，揭示公式所蕴含的的数学思想，理解数学意义，而且在教学过程中尽可能地使学生参与到教与学的活动之中，课堂学习气氛将是比较活跃的，效果也会比较显著．

本节课应用了单位圆，并以对称为载体，从整体上把握教学内容，教学过程一气呵成．但由于教学内容公式很多，形式相近，易混，需要完成记忆公式、理解公式和应用应用等诸多问题，要在45分钟内完成这些教学内容，时间是比较紧，对教师和学生都具有一定的挑战性．