切换系统的稳定性调研报告

陈龙 0909122920 自动化1206班

丁志成 0909122921 自动化1206班

摘要：本文通过查找文献的方法来了解切换系统及其应用领域、切换系统稳定性的特点、主要结果、研究方法（使用的主要数学工具）和研究现状；了解研究的难点，还有哪些有待研究的问题。

关键词：切换系统 稳定性 李雅普诺夫函数

一、切换系统的定义及其应用领域

切换系统是一种包含多个连续或离散子系统的混杂系统，并由切换信号来控制它在各个子系统之间切换，它是从系统与控制论角度来研究的一种特殊混杂系统。近年来，切换系统由于其结构形式相对简单，便于理解，分析和实际应用，而被广泛的研究与讨论。在实践应用中，许多自然、社会及工程系统会随环境的变化而展现不同的的模型，如输电系统、飞行器队型、运动机器人、神经网络、交通控制、汽车工业等，而用切换系统可以很好地刻画出这些系统的数学模型。

二、切换系统稳定性的特点

子系统的稳定性不等价于切换系统的稳定性，也就是说，即使它的所有子系统都稳定，整个系统不一定稳定；同样，即使各个子系统都不稳定，也不能说明整个切换系统不稳定。

三、切换系统稳定性的研究方法

1、多李雅普诺夫函数法：

多李雅普诺夫函数法的基本思想是对每个子系统都要寻找一个李雅普诺夫函数进行稳定性分析。该研究方法保守性小，有利于数学推导。

2、公共李雅普诺夫函数法：

公共李雅普诺夫函数法是在多李雅普诺夫函数法之后被提出来的，主要用于判定一个系统对于任意切换是否稳定。利用这一方法证明系统稳定性的关键是研究公共李雅普诺夫函数的存在条件。

3、驻留时间法：

驻留时间法又叫慢变切换，这一思想来源于Desoer关于慢时变系统的著名论断：如果系统所有子系统的矩阵都是Hurwitz矩阵，那么在足够缓慢的切换下可以保持系统稳定。

4、其他方法

四、切换系统稳定性的研究成果

1、任意切换下的稳定性：对切换线性系统，任意切换条件下的几种稳定性是等价的：渐近稳定、全局渐近稳定、(全局)指数稳定。

2、约束切换下的稳定性：。一般分为两类，一类是切换规则受到状态演化的约束，还有一类就是约束切换发生的速率。比较而言，实践中更为重要的一类问题是：给定一族非Hurwitz矩阵，判定是否存在状态相关的切换律，使得系统是全局一致渐近稳定的。对切换线性系统约束切换条件下，对状态轨迹无关(时间相关)的切换信号，一致渐近稳定等价于指数稳定；对状态轨迹相关的切换信号，二者之间并无确定性的等价关系。约束切换又可分为以下三个方面:切换速率的约束：如果所有的子系统矩阵都是Hurwitz的，那么在足够缓慢的切换条

件下，系统可以保持稳定；状态相关的约束：在状态相关的切换信号约束下考察系统稳定性更多的是借助于多Lyapunov函数(MLF)方法；镇定的切换规则：在很多情况下，切换规则是可设计的。我们应当利用这一点，得到期望的系统整体性能。切换镇定就是通过设计合适的切换规则，使得切换系统(渐近)稳定。从这个意义上说，切换镇定更多的是一个设计问题，而不仅仅是分析问题。

3、时滞切换系统的稳定性：时滞与切换是广泛存在的自然现象，二者相互耦合可能导致复杂的系统动力学行为。时滞现象的存在丰富了切换系统稳定性研究问题的理论体系，但是相关方法与结论并不能简单推广至时滞情况。在切换序列己知的情况下，时滞切换系统退化为具有时变系数系统矩阵的一般时变系统，利用泛函微分方程的基本理论可以分析其稳定性。

4、其他相关成果：混合切换策略(Combined Switching Strategy)，即状态反馈和驻留时间方案结合。基于CQLF方法，在状态反馈的切换规则作用下，Lyapunov函数值严格单调减；而在驻留时间切换规则作用下，Lyapunov函数值允许增加，只需保证在切换点处形成递减序列即可。在这样的切换策略下，切换频率可以大大降低。实际上，这是一类周期切换(循环切换)规则的设计问题，或者说周期可镇定问题。

五、切换控制系统稳定性的研究现状

稳定性是系统正常工作的先决条件。一个系统的稳定性如果无法保证，系统将无法正常工作，更谈不上其它的性能指标。切换系统的稳定性问题归结为如下的三个基本问题：

1、对给定的切换系统，在任意切换规则下都稳定的条件是什么?

2、如何辨识出使得给定切换系统稳定的切换规则?

3、如何构造一个切换规则使得给定切换系统是稳定的?

问题1、2是关于稳定性分析方面，问题3则侧重于综合设计。后来的研究也

大致在此框架内，切换/混杂系统稳定性问题总结为以下几个方面的研究：

1、任意切换，问题集中于如何寻找共同Lyapunov函数。

2、驻留时间切换，即所谓慢变切换，该领域研究的一个关键问题是如何获得驻留 时间的一个紧的下界。

3、镇定切换，在所有的子系统都不稳定的前提下，通过合适的切换使得系统是渐 近稳定的。

4、混沌行为，在给定的子系统之间切换时，判断是否产生混沌行为。

5、与复杂性科学的关系，以及任意切换下的稳定性与周期切换下的稳定性之间的 联系等。

六、待研究问题

1、目前，对于切换系统的研究，我们主要分两类来研究：连续切换系统和离散切换系统，而对于时间尺度上切换系统的研究很少见。时间尺度将离散和连续统一，如何将现有的理论成果推广到时间尺度上，将是一个非常有意义的问题。

2、对于切换系统的研究方法已经有很多，例如李雅普诺夫函数法和平均驻留时间法等，微分包含也可以用来研究切换系统，利用微分包含来研究切换系统的稳定性的结果还少见。因此，利用微分包含深入地研究切换系统，也是十分有意义的。

3、对切换系统的实用稳定性的研究，实用稳定性作为一个分支形成独立的研究方向是最近几年才兴起的。它证明了系统的实用稳定性并不依赖于系统的其它任何性质，如李雅普诺夫稳定性等。对切换系统的实用稳定性的研究成果较少，因此，深入研究切换系统的实用稳定性是十分有意义的。

4、对时滞切换系统的研究，一直以来都是热点问题。在工程实际中，存在各种类型的

时滞切换系统，除了我们研究的时滞类型外，还有中立型时滞、切换信号中含有时滞的现象。对于这些类型的切换系统研究成果较少，今后也值得关注。

参考文献：

1、切换系统的若干稳定性分析 张光荣 2012

2、切换系统进展 程代展 郭宇骞 2005

3、切换系统稳定性及时滞相关问题研究 2008

第二篇：切换线性系统稳定性研究进展

第25卷第10期Vol.25No.10

文章编号:1001-0920(2010)10-1441-10

控制与

and

决策

ControlDecision

20xx年10月

Oct.2010

切换线性系统稳定性研究进展

张

霞1,2,高

岩,3夏尊铨1

(1.大连理工大学数学科学学院，辽宁大连116024；2.浙江财经学院数学与统计学院，杭州310018；3.上海理工大学管理学院，上海200093)

摘

要:切换线性系统的稳定性分析和稳定化设计是近年来研究的热点.为此,对近期关于这一问题研究所得到的

主要成果进行综述.首先给出任意切换以及带约束切换两种情况下系统稳定性分析的主要结论;然后给出切换线性系统稳定化中的主要方法;最后简要概述目前切换系统的实用稳定性和有限时间稳定性问题,并就这一领域今后的发展方向进行了展望.

关键词:混杂系统；切换系统；稳定性；非光滑Lyapunov函数；慢切换；多Lyapunov函数中图分类号:TP13

文献标识码:A

Advancesonstabilityforswitchedlinearsystems

ZHANGXia1,2,GAOYan3,XIAZun-quan1

(1.SchoolofMathematicalSciences，DalianUniversityofTechnology，Dalian116024，China；2.SchoolofMathematicsandStatistics，ZhejiangUniversityofFinanceandEconomics，Hangzhou310018，China；3.SchoolofManagement，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China．Correspondent：ZHANGXia，E-mail：sdzhx2002@163.com)

Abstract：Thestudyofthestabilityanalysisandtheswitchingstabilizationforswitchedlinearsystemsisahottopicinrecentyears.Thelatelymainresultsaboutthisproblemarereviewedinthispaper.Firstly,theprimaryconclusionsofthestabilityanalysisaregivenforswitchedlinearsystemsundertwocasessuchthatthearbitraryswitchingandtherestrictedswitching.Thenthemainmathodsforswitchingstabilizationarepresented.Finally,thecurrentresultsofthepracticalstabilityandthe?nite-timestabilityproblemsforswitchedsystemsareoutlined,andthedevelopmentofthisresearch?eldisforecasted.

Keywords：Hybridsystems；Switchedsystems；Stability；NonsmoothLyapunovfunction；Slowswitching；MultipleLyapunovfunction

1引言

限个子系统以及一个切换策略组成,该策略协调各子系统的运行[2].齿轮变速器所处的档位的变化以及继电器的闭合、断开等都用到切换系统.切换系统已应用于计算机控制系统、飞机的纵向动态控制、高速公路控制、行走机器人控制和电力大系统等多个领域[3,4].另外,在工程上存在许多非线性系统,它们不存在使系统稳定的连续静态状态反馈,但可以通过切换控制方案达到稳定.由此可见,在实际应用中切换系统具有广泛代表性,对其进行研究具有重要意义.

通常按子系统情况对切换系统进行分类,例如连续时间系统和离散时间系统以及线性与非线性系统

随着现代社会的信息化和系统化程度的逐渐提高,人们所面临的控制问题越来越复杂.表现在除了非线性、时变、不确定等特点外,还具有结构复杂、行为复杂以及多子系统集成的特点.因此,在一个系统中往往表现出既有连续变量系统又有离散变量系统的情况,人们将这样的系统称为混杂系统[1].混杂系统具有广泛的应用背景,已在机器人行走控制、飞行器控制、交通管理、化学过程、工业制造、网络控制、嵌入式系统等方面得到了广泛应用.

切换系统是混杂系统的一种重要情形,它由有

收稿日期:2010-01-02；修回日期:2010-04-09.

作者简介:国家自然科学基金项目(10671126,10971187)；上海市重点学科建设项目(S30501)；安徽省高等学校省级自

然科学研究项目(KJ2010B102).

作者简介:张霞(1978?),女,山东泗水人,讲师,博士生,从事非线性控制、混杂系统等研究；高岩(1962?),男,黑龙江

五常人,教授,博士生导师,从事非光滑优化、混杂系统等研究.

1442

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第25卷

等.连续时间切换系统用微分方程描述如下:

?˙(?)=??(?(?),?(?)),?∈?+,?∈?[1,?].

这里:?∈??,?∈??,?[1,?]=:{1,2,???,?}.离散时间系统可用差分方程描述为

?(?+1)=??(?(?),?(?)),?∈?+

,?∈?[1,?].

切换策略用?表示,由它产生切换信号,通常描述成分片常数映射形式,即

?:?+

→?[1,?](?

+

→?[1,?]).

当?=?(?)时,表示?时刻第?个子系统在运行.当

??(?(?),?(?))和??(?(?),?(?))分别为线性微分方程和

线性差分方程时,所描述的切换系统为切换线性系统.目前这一领域主要研究方向为系统的稳定性、可控性、可达性和可观性等,而关于切换线性系统稳定性方面的研究成果最多、最为集中.

本文主要对切换线性系统的稳定性问题近期的研究成果进行综述,且仅考虑连续时间自治情形,即如下系统:

?˙(?)=???(?),?∈?+,?∈?[1,?].

(1)

由于切换的引入,该系统属于非线性系统,其稳定性具有如下特点:

1)即使所有的子系统都指数稳定,整个系统对于某些切换策略也有可能不稳定.

2)即使所有的子系统都不稳定,也有可能设计出使整个系统(指数)稳定的切换策略.

通常可将切换线性系统的稳定性问题分为两类,一是研究在什么条件下切换系统是稳定的,这是系统稳定性分析问题;二是对给定的系统设计使其稳定的切换策略,即系统稳定化问题.在系统稳定性分析问题中,往往将切换策略分为两种情况,一种是任意的,另一种是带约束的.下面对切换线性系统稳定性这一领域内最新的研究进展进行叙述,关于早期的研究成果可参见文献[5-9].

2任意切换下的系统稳定性分析

在实际应用中会遇到这样的问题,如切换系统运行过程中不可避免的切换失灵,机器人行走过程中遇到各种需要随时进行切换的情况等,这便需要考虑系统对于任意的切换策略是否都能稳定,即任意切换下的系统稳定性分析问题.在这种情况下,一般是针对各子系统都稳定的情况进行研究.这是因为,如果存在某子系统不稳定,则对于切换始终保持在该子系统上的策略,系统是不稳定的,这是一种平凡情况.值得注意的是,即使所有的子系统都稳定,整个系统仍有可能对某些切换信号不稳定.下面考虑任意切换下系统稳定的充分条件.

2.1共同二次Lyapunov函数

由Lyapunov定理可以得到,若各子系统存在共

同的Lyapunov函数,则切换系统对于任意的切换都是稳定的.因为单一线性时不变系统?˙=??的渐近稳定性等价于二次Lyapunov函数?=?T??的存在性,即对于Hurwitz矩阵?,有

???>0,?T?+??T=??,

这里?=

∞

e?T

??e??d?.因此,一个自然的想法是

构造系统(1)的共同二次Lyapunov函数(CQLF).但是,对于由Hurwitz矩阵组成的切换线性系统,CQLF仅是任意切换下系统指数稳定的充分条件而非必要的,而且系统CQLF存在的条件也不易给出.文献[10]给出了系统(1)是否存在CQLF等价于如下线性矩阵不等式(LMIs)问题,即存在正定对称矩阵?∈??×?,使得下式成立:

???+?T??<0,??∈?[1,?].

(2)

通过LMIs技术还可以得到系统(1)不存在CQLF

的判别方法,即若存在矩阵?T

??=??,?∈?[1,?],满足

?>0,∑

?(?T???+????)>0,则系统(1)不存在CQLF.

?=1

通常借助于内点法实现对式(2)的计算,但当子系统数目较多时不是很有效.文献[11]引入了交互梯度下降算法,可在有限步收敛到CQLF.若加入随机方法,其速度还可以提高.另外,有关线性系统的共同二次Lyapunov函数的计算问题,可参见文献[12].

对于CQLF存在性问题,还可以通过将其转化为系统矩阵是否满足代数条件得以解决.例如文献[13,14]对二阶系统且具有两个子系统的情况给出了充要条件,即如下定理:

定理1若?1,?2为Hurwitz矩阵,则下列条件

等价:

1)以?1和?2为子系统矩阵的切换系统,存在CQLF;

2)??(?1,?2)和??(?1,??21

)是Hurwitz的,这里

??(?1,?2)=??1+(1??)?2,?∈[0,1];

3)?1?2,?1??21不具有负特征值.

对于包含两个以上子系统的切换系统,这些结论很难推广.文献[15]对一种特殊情况,即两个秩相差1的Hurwitz矩阵?1和?2为子系统矩阵的切换线性系统,存在CQLF的充分必要条件是?1?2不能有任何负实特征值,或?1+??2对?∈[0,+∞)是非奇异的.文献[16,17]得到这样的结论,对于具有两个连续稳定子系统的二阶正切换线性系统,CQLF的存在性等价于任意切换下系统的指数稳定性.Liberzon等人运用Lie代数理论,将系统在任意切换策略下共

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张霞等:切换线性系统稳定性研究进展

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同二次Lyapunov函数的存在性问题转化为由系统矩阵产生的Lie代数可解问题[18].对于包含有限个?阶线性时不变(LTI)子系统的切换系统情况,近期的文献[19]给出的张量条件是CQLF存在的必要条件,而且对于含有两个子系统的情况是充分的;但对于一般系统而言,充分必要条件仍是没有解决的问题.2.2分片线性Lyapunov函数

如果系统稳定,则该系统是否存在Lyapunov函数便是逆Lyapunov定理所研究的问题.文献[20]给出如下结论:若切换系统全局一致渐近稳定,则系统具有共同Lyapunov函数.文献[21]将逆Lyapunov定理推广到切换非线性系统情况,但这种共同Lyapunov函数不一定是二次的[20],为此人们特别考虑了非二次的Lyapunov函数.由逆Lyapunov定理可知,对于任意切换下渐近稳定的切换系统,一个共同分片二次或一个共同分片线性的Lyapunov函数总是存在的.

分片线性Lyapunov函数(PLLF)具有如下形式:

?(?)=1max????

{?T

??},??∈??.

(3)

式(3)可由如下多面体集合产生:

Ω={?∈??:?T

????,?∈?[1,?],?∈?+}.

若上述集合有界且中心对称,则

?(?)=∥??∥∞=1max????

{∣???∣},

这里?为列满秩矩阵.

关于PLLF存在性问题的研究,早在20世纪60年代便开始了,它的一个重要应用是对线性微分包含(LDIs)的稳定性分析,主要成果是建立系统鲁棒稳定的代数条件[22-24].虽然PLLF在理论分析上是强有力的工具,但实际计算较为困难,例如求解时往往需要的参数较多,导致该技术只适用于维数较低的系统,因此利用PLLF分析方法的成果并不多.近期,Yfoulis与Shorten在算法方面有所突破,将一种称为ray-gridding的算法[25]引入切换线性系统稳定性分析中,并能有效地求解任意切换系统的共同Lyapunov函数.近年来,一些学者对正线性系统使用了共同线性CopositiveLyapunov函数,并将其推广到了三阶系统[26].

2.3复合二次Lyapunov函数

对离散时间系统而言,分片线性以及分片仿射Lyapunov函数是稳定性分析的较好选择[27,28].但对于连续时间系统往往借助于二次函数,如文献[29]建立了分片二次Lyapunov函数,它不一定是连续可微的,而且它的水平集也不一定是凸的.Hu等[30]最初在研究带饱和制动器以及带状态约束的控制系统时,遇到了估计吸引域以及扩大吸引域的控制器设

计等问题,提出了复合二次Lyapunov函数;随后在文献[31]中给出了复合二次Lyapunov函数及其水平集的更多性质,特别研究了相应优化问题中参数的连续性问题,从而促进了系统连续反馈的建立.实践表明,复合二次Lyapunov函数是处理更广泛的非线性系统的一个强有力工具.下面简要说明一下这种函数.

设?为一正整数,记

Γ?={?∈??:∑

??}?=1,???0.

?=1

设??=??T>0,?∈?[1,?],??=???1.通过??可以建立以下三类复合二次Lyapunov函数[30]:

?min(?)=min{?T???:?∈?[1,?]},?max(?)=max{?T???:?∈?[1,?]},?∑?(?)=T(??min∈Γ?

?

???)?1

?

?.

?=1

这三类函数中只有??(?)是连续可微的,而且它的水平集为一系列椭圆的凸包,由此可以建立系统的连续反馈策略.

当考虑任意切换情况下的切换系统时,常用微分(差分)包含形式描述.考察如下微分包含及相应的对偶系统:

?˙(?)∈co{??}??=1?(?),(4)?˙(?)∈co{???}??=1

?(?).(5)

文献[22]指出,若微分包含(4)指数稳定,则一定存在一个凸的二阶齐次Lyapuonv函数,而且这种Lyapuonv函数总可以取作除原点外处处连续可微的函数[20].如何选择合适的Lyapuonv函数是稳定性分析的重要问题,一些学者[32,33]考虑了齐次多项式Lyapuonv函数,并给出了系统指数稳定的线性矩阵不等式条件.也有学者引入了若干个二次函数的最大值函数作为Lyapunov函数[10,34],这是非二次Lyapunov函数的一种重要情形.文献[35]通过非光滑工具得到一个凸函数是LDI(4)的Lyapuonv函数当且仅当它是对偶LDI(5)的Lyapuonv函数.同时,式(4)的指数稳定性等价于式(5)的指数稳定性.这样,便可以由一个微分包含系统的稳定性得到另一个微分包含系统的稳定性,并借助这种等价关系在稳定性分析时从两个系统稳定性结论中选择一个较好的估计.文献[35]还基于Lyapunov函数的对偶关系得到了式(4)稳定的一个充分条件.随后又有学者研究了分片线性函数与复合二次函数之间的关系[36],以及由这两类函数得到的系统的稳定性条件之间的关系,得到了线性差分包含系统的稳定性条件.

下面简要说明有关切换线性系统稳定性分析

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的切换二次Lyapunov函数方法.一般而言,由于每个子系统稳定,一定存在正定对称矩阵??对每个子系统满足Lyapunov方程,这些矩阵按切换策略?(?)共同构成一个全局的Lyapunov函数?(?,?(?))=

?(?)T??(?)?(?),称为切换二次Lyapunov函数.因此,对

于任意切换下的切换线性系统的稳定性判别问题,都可以转化为求解一些线性矩阵不等式问题,详见文献[37].

如果系统对于任意的切换策略都能稳定,则在系统设计时不必担心由切换而引起系统不稳定.由于实际系统的物理限制,系统的切换信号也将产生约束,例如汽车离合器切换有一定的次序,不是任意的.另外,人们可能会事先知道关于切换的信息,例如知道状态空间的可能划分,从而知道可能的切换策略等.这些切换信号知识,有助于得到比任意切换情况下的稳定性分析更好的结果.下面对切换带约束情况下的系统稳定性分析问题进行阐述.

3带约束切换的系统稳定性分析

切换信号的限制可分为时间域限制和状态空间限制.前者主要研究为保证系统稳定而施加在连续子系统间切换发生速度的限制;后者主要研究由状态向量的演化而产生的切换行为的约束.二者在系统的稳定性分析上有很大不同[38].例如,当切换信号受时间控制时,与轨线无关,切换线性系统的一致渐近稳定性等价于指数稳定系统;但对于切换信号依赖于轨线的切换系统则不成立.3.1慢切换

从物理直观角度考虑,系统不稳定的原因是切换发生时所产生的能量没有被吸收而造成的.另外,当有一个不稳定的子系统发生(如控制器失灵或传感器失灵)时,停留在这个子系统的时间过长,或者切换到这个子系统过于频繁,也会导致整个系统不稳定.因此,一个自然的想法是将切换信号限制在一个特定的范围.例如,在稳定的子系统上运行足够长的时间,切换不要太频繁等(即慢切换[39,40]),则可以使切换时产生的能量充分下降,从而保证系统稳定.

可以证明,当所有子系统是稳定的,且切换足够慢时,能保持系统稳定[41].事实上,即使偶然有“快”的切换,只要不太频繁便可保证系统稳定,即只要平均逗留时间(averagedwelltime)充分大,便能保证系统指数稳定[39].将上述结果推广到系统中同时具有稳定与不稳定的子系统时,除考虑慢切换外,还应保证切换系统在不稳定的子系统上不能停留过长时间[40,42,43].慢切换思想还可以推广到依赖于状态控制的切换系统以及一般的混杂系统[44].另外,文

献[45]给出了临界逗留时间与切换线性系统稳定性之间的关系.文献[46]使用多Lyapunov函数方法给出了切换线性系统的最小逗留时间的一个估计,并得到了系统指数稳定化的条件.

系统的逗留时间是切换系统的一个基本问题,但近期有关这方面的研究成果并不多.3.2

多Lyapunov函数

当考虑带约束信号的切换线性系统稳定性分析时,往往找不到关于系统的传统Lyapunov函数.为此,人们更多地关注多Lyapunov函数(MLF).MLF由对应于各个子系统的类Lyapunov函数组成,这样MLF便有可能不连续或者分片可微,而且各类Lyapunov函数只需要对状态空间中特定区域的子系统具有非正李导数即可.下面简要说明MLF的理论,具体请参见文献[9,47-49].

早在19xx年,Peleties和Decarlo在文献[47]中便提出了多Lyapunov函数的思想.19xx年MichaelBranicky在其发表的重要文献[48]中明确指出,系统的指数稳定性分析可使用多个Lyapunov函数,而不是单一Lyapunov函数,并将其应用于非线性系统分析.但所给出的结果较为保守,即当某个子系统运行时,需减小相应的类Lyapunov函数,而且当该子系统不运行时,这个类Lyapunov函数也不能增加.后来,Branicky在文献[49]中指出,只要每个子系统都满足在切换进入该子系统时对应的类Lyapunov函数值形成的序列是单调递减的,则切换系统是渐近稳定的.另外,文献[50]也指出,类Lyapunov函数的值在一个时间间隔内也可以增加,只要这种增加以某种连续函数为界即可[50].对于离散时间系统的情况可参见文献[51].3.3

分片二次Lyapunov函数

基于多Lyapunov函数理论,一个自然的应用问题是如何建立系统的一组类Lyapunov函数.为处理方便,人们通常会考虑二次函数形式,这样往往会将问题转化为求解线性矩阵不等式,下面简要说明之.

考虑LTI系统(1),限定一个区域Ω????,使得在此区域内第?个子系统的能量沿状态轨线是递减的,但在其他区域内不一定减少.若这些Ω?构成整个状态空间,则可以得到一族类Lyapuonv函数.

设Ω1∪Ω2∪???∪Ω?=??,则系统存在二次类

Lyapunov函数的LMIs?条件如下[52]

:

1)???∈Ω?T(??????)??0,

?,

??T(??????)??0.

其中:?????>0,?∈?[1,?].

2)???(??=??T),??∈Ω?,?T(?T???+????)?<0.

第10期

张霞等:切换线性系统稳定性研究进展

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为保证保证稳定,还需满足切换发生时函数值不增,即?T?????T???,?∈Ω?,??Ω?∩Ω?.

由于上述矩阵不等式都限定在特定区域内,应用?-Procedure技术可以将带约束的矩阵不等式转化为不带约束的情况.首先需将区域Ω?,Ω?,?转化成下面的形式[10,53]:

Ω?={?∣?T????0},Ω?,?={?∣?T??,???0}.

这样便得到了无约束的矩阵不等式条件[54].

定理2

若存在矩阵??(??=??T)和参数?>

0,?>0,???0,???0,???0,??,??0,使得如下

不等式成立?

:

?????+???????????????,???

?T???+????+???????,??+??,???,????.则系统(1)是(指数)稳定的.

定理2给出的结论仅是系统稳定的充分条件,鉴于分片二次Lyapunov函数的保守性,文献[55]给出了多项式的Lyapunov?函数,它可表示成二次和(SOS)

形式?(?)=∑

??2?.适当选取半正定矩阵?和向量

?(?),还可表示成?=1

?(?)=?T(?)??(?).由此可见,二

次Lyapunov函数是它的特殊情形.

要验证一个多项式是否正定是NP难问题,而SOS技术可直接保证多项式函数的正定性,不需要检验,这正是SOS技术的一大优点.基于SOS技术的凸优化方法可以分析切换系统的稳定性

[56]

.这种

技术还可以与?-Procedure技术结合建立分片多项式Lyapunov函数,这种高阶的Lyapunov函数打破了分片二次情形的局限性,但同时也增加了计算的复杂性

[57]

,如何优化这种选择也是值得探讨的问题.另

外,如果系统的Lyapunov函数存在,是否一定存在多项式或分片多项式函数,以及是否可以进一步估计它的最高次数等都是有待于解决的问题.

作为多Lyapunov函数的一个有效补充,文献[58]通过分析系统轨线在切换面间的迁移动态来讨论系统的稳定性.它通过定义切换面上的所谓穿越映射,并寻找定义在切换面上的Lyapunov函数,使得从一个切换面到另一个切换面内的所有映射都沿这个能量函数压缩.这时如果任意分割区域内都没有不稳定的状态轨线,则系统是全局渐近稳定的.该方法只需在切换面上而不是整个状态空间上寻找Lyapunov函数,从而降低了搜索的复杂性以及对系统维数的敏感性,这是它的一大优点.[59]给出的实例也说明了将该方法应用于饱和系统的稳定性分析时效果较好.另

外,[60]通过转移有向图的方法分析了分段线性系统的稳定性,[61]用多Storage函数给出了关于切换系统的耗散性研究,而耗散性与稳定性有着密切的联系.

无论是任意切换还是带约束切换,都是在给定切换信号下系统的稳定性分析问题.下面讨论切换线性系统稳定化问题,即设计切换策略使系统稳定.

4切换线性系统的稳定化

4.1

二次切换稳定化问题

若存在正定函数?(?)=?T??,正数?以及依赖于?的切换策略?(?,?),使得对系统(1)的所有轨线满足

d

d?

?(?)<???T?,则系统(1)称为通过状态反馈二次稳定.

文献[62,63]指出,对于具有两个子系统的切换线性时不变系统,二次稳定的充分必要条件是这两个子系统矩阵的凸组合中包含稳定的矩阵.对于子系统超过两个的情况,有如下定理:

定理3

若存在常数

?,1],∑

?∈[0??=1,∑

?∈?[1,?]

使得??=????是稳定的,则系统(1)在如下切

?∈?[1,?]

换策略下是二次稳定的:

?(?)=arg?∈min?[1,?]

?(?)T????(?).

(6)

策略(6)称为最小投影策略.

值得注意的是,定理3的条件不是必要的,其充分必要条件可借助检验矩阵集合的严格完备性给出[64],而检验矩阵集合的严格完备性条件是NP难的.

关于二次稳定化问题在不确定系统的情况,可参见文献[65],它给出了多胞型不确定切换线性系统基于LMI方法的鲁棒二次稳定性设计方法,这里仅看其连续时间情形.

考虑系统

?˙(?)=??(?,?)?(?),

(7)

这里?(?,?):??×?+→{1,2}.系统(7)为包含如下两个子系统的切换系统:

CS1:?˙(?)=?1?(?),CS2:?˙(?)=?2?(?),

其中CS1,CS2均为多胞型不确定系统,即

?∑

???=

??????,?=1,2.?=1

这里:?∑??

???0,

???=1.

?=1

关于系统(7)的二次稳定性问题,有如下充分条

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控制与决策

第25卷

件[65]:

定理4如果存在矩阵?>0及常数???,0????

?1,使得

[????1?+(1????)?2?]T?+?[????1?+(1????)?2?]<0

对所有的?=1,2,?=1,2,???,??成立,则系统(7)二次稳定.

以上系统稳定化的讨论都是基于共同二次Lyapunov函数方法,但系统的渐近稳定甚至指数稳定都可以不通过共同二次Lyapunov函数方法获得

[66]

,

例如借助于多Lyapunov函数方法得到的一些构造性的设计方法[6]

.文献[67]考虑了系统指数稳定化问题,并将系统稳定化问题转化为双线性矩阵不等式(BMI)问题.下面详细说明之.4.2分片二次切换稳定化

与系统稳定性分析不同,系统稳定化问题中状态空间划分是一个有待确定的问题.由多Lyapunov函数定理可知,区域的划分应考虑有利于类Lyapunov函数的构造.为计算方便,通常选取二次类Lyapunov函数,为此将每个区域(近似)表达成如下二次形式:

Ω?={?∈??∣?T????0},

这里??∈??×?为对称矩阵,?∈?[1,?].

由MLF定理Ω∪,为使全局稳定Ω∪?∪,需满足如下条件:

12??Ω?=??.这可由文献[67]给出的一个充分条件加以保证.为使系统指数稳定,还需确保以下两点:

1)只有当?(?)∈Ω?时,第?个子系统发生;2)切换发生时,确保多Lyapuonv函数的值不增加.

对于1),可选取如下切换策略:

?(?,?)=arg?∈max?[1,?]

?(?)T???(?).(8)

对于2),文献[67]约定在切换面Ω∩

?Ω?上?T???

=?T?∩

??,并将Ω∩Ω?Ω?表示成下面的形式:

?Ω?={?T(?????)?=0}.

这样,应用?-Procedure技术,并引入未知参数??,?,便可得到如下切换条件:

?????+??,?(?????)=0.

由以上分析,可得到切换线性系统指数稳定化的充分条件如下:

定理5

若存在实矩阵??(??=??T)和参数?>

0,?>0,???0,???0,???0,???0,??,?,使得对

于所有的?,?∈?[1,?],满足下面的优化问题:

min??

;

???????+???????????????,s.t.

??T??+???+???????,

??????

??=??+??,?(?????),?1?1+?2?2+???+?????0.

则切换线性系统(1)在切换策略(8)下指数稳定.

上述优化问题为BMI问题,是NP难的,但实际处理时可将其转化为一系列LMI问题求解[68].4.3

复合二次Lyapunov函数稳定化

文献[69,70]将复合二次Lyapunov函数用于切换线性系统稳定化问题,给出了基于方向导数的切换策略的设计方法.该方法由于使用了非光滑分析手段,使其与传统方法有很大的区别.下面给出较为详细的讨论.首先给出方向导数的概念.

给定向量?∈??,定义函数?min(?)与?max(?)沿

?的单侧方向导数为

?

˙min(?;?):=lim?min(?+??)??min(?)?↓0,?

˙max(?;?):=lim?max(?+??)??max(?)?↓0,这里?min(?),?max(?)参见2.3节复合二次Lyapunov

函数的定义.

考虑系统(1),文献[70]指出,当使用最小值的复合二次Lyapunov函数时,利用它沿各子系统轨线的方向导数便可以进行切换线性系统(1)的稳定性设计,给出的切换策略为

?(?)=arg?∈min?[1,?]

?

˙min(?;???).(9)

具体见下面的指数稳定化定理:

定理6

对于切换策略(9)下的切换系统?˙(?)

=??(?)?(?),若存在实数?,使得对于所有的?∈???

{0},?(?)=?∈min?[1,?]

?

˙min(?;???)???min(?)成立,则对于任意解?(?),都有

?min(?(?))??min(?(0))e??.

关于稳定化的矩阵条件,文献[70]同样得到了BMI问题,即下面的定理:

定理7

假设存在实矩阵??=??T>0,?∈?[1,

?],以及实数?,??,?∈[0,1]?,????0,?∈?[1,?],?,?∈

?[1,?],使得对于每个?,∑

???=1,且

?=1

(∑??)T

(∑?????

??+??

????)

??

?=1?=1

∑??(??????)

?+???.

?=1

令?min=min{?T???:?∈?[1,?]},则在切换策略(9)

第10期

张霞等:切换线性系统稳定性研究进展

1447

下,对系统的任意解?(?),都有

?min(?(?))??min(?(0))e??.

以上方法均为目前切换线性系统稳定化设计中常用的方法.若在切换信号给定情况下设计状态反馈或输出反馈,则是切换系统的反馈稳定化问题.常见的给定信号类型有任意切换[37,71,72]、慢切换[73-74]、带约束切换[75-77]等,可参考相关文献,这里不再赘述.4.4稳定化充分必要条件

以上所讨论的问题都是系统存在稳定切换信号的充分条件,人们自然会想到必要条件,以及充分必要条件问题.对此,文献[78]给出了一个很容易检验的必要条件,即下面的定理:

定理8

若LTI系统(1)存在渐近稳定的切换信

号,则一定存在一个子系统,其系数矩阵不妨设为

??(?∈?[1,?]),使得??+?T?的特征值中至少有一

个为负实数.

定理8给出了一个很容易验证的必要条件,但它不是充分的.文献[79]利用向量场分析得到了二阶切换LTI系统渐近稳定化的一个充要条件,但无法推广到更高阶的系统或参数不确定的系统.最近Lin及其合作者们给出了连续时间切换线性系统渐近稳定的充要条件,且切换策略是以状态反馈形式给出的[80],文中引入了子系统的辅助系统形式,并就系统含有滑模面和无滑模面两种情况进行了讨论.

5实用稳定性及有限时间稳定性

前面几节讨论的切换线性系统稳定性分析及稳定化问题都是针对渐近稳定性情况,而且假设对所有子系统存在一个共同的均衡点.实际上,若系统有不同的均衡点或者没有均衡点,它仍可能在合适的切换策略下具有与存在共同均衡点情形相似的行为,这便是实用稳定性问题[81].下面对这方面关于切换系统的近期成果进行简单叙述.

文献[81,82]给出了特殊的线性时不变切换系统的稳定性及稳定化条件.随后,[83]推广了[81,82]的结果,引入了?-实用稳定性稳定化以及?-实用类Lyapunov函数等概念,给出了混杂系统?-实用稳定性的条件以及实用稳定化的充分条件.[84]给出了新的实用稳定性条件,该条件较[83]更易检验.更详细的结果也可参见[85],它概括了近年来实用稳定性的主要结果,阐述了实用稳定性及传统的渐近稳定性之间的联系和区别,明确指出实用稳定性的研究将稳定性问题推广到了更广泛的切换系统,同时给出了实用渐近稳定性的条件.需要指出的是,上述结果都是针对切换系统,而不仅仅是切换线性系统.

渐近稳定以及实用稳定等概念都是针对无限时间而言的,但在许多系统,例如导弹系统、航空调遣、网络通信等系统中,通常需要考虑一时间段内的情形,这便是有限时间稳定问题[86].例如文献[87]得到了切换线性系统(1)有限时间稳定性的一个充要条件,但该条件较难检验,且无法应用它进行控制设计,故该文又基于多Lyapunov函数方法以及平均逗留时间技术得到了一个容易应用的充分条件.目前关于切换系统的有限时间稳定性问题的研究成果还比较少.

6结论及展望

本文对切换线性系统的稳定性分析与稳定化设计这一问题的近期研究进展进行了简要综述.重点从任意切换下的稳定性分析、带约束切换下的稳定性分析以及切换线性系统的稳定化设计三方面展开讨论.由于非光滑Lyapunov函数是目前研究的主要方法,本文主要对分片线性Lyapunov函数、复合二次Lyapunov函数、分片二次Lyapunov函数以及它们在切换线性系统的分析及综合研究方面的主要方法和结论进行了较为详细的叙述.最后简要说明了实用稳定性以及有限时间稳定性问题.下面就这一领域未来研究的主要问题以及主要发展方向进行说明.

1)系统稳定性分析中,目前已有的结果给出了系统存在CQLF的充分条件,但较难检验,所以对于一些特殊的系统,使其得到较易检验的CQLF存在的充分条件是一个尚待解决的问题.

2)对于带约束切换的逗留时间问题,给出非保守的估计是需要研究的一个课题.

3)在一般系统的稳定化问题中,二次切换稳定策略存在的充要条件是什么仍是尚待解决的问题.

4)对于实用稳定性的研究,目前的结果都是针对一般切换系统而言的.对于切换线性系统,应该有特殊的稳定性及稳定化条件,这将是一个重要的研究课题.另外,给出实用稳定性和稳定化的更便于检验的条件也需要得以解决.

5)关于切换线性系统的有限时间稳定性问题,目前的成果不多,这也将是一个有待于深入研究的领域.

6)将已经得到的切换线性系统的许多结果应用于更广泛的混杂系统,例如带Markovian跳变的情形等,都是值得进一步探讨的问题.

7)近年来,在切换线性系统稳定性研究中产生了较难处理的优化问题以及矩阵不等式问题,如双线性矩阵不等式等,因此研究这些问题的有效算法也是一个重要的发展方向.

1448

控制与决策

第25卷

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