高等数学实验报告

实验人员：院（系）机械工程学院学号02A13514姓名_XX 成绩_________

实验时间：2014/6/8

实验一

一、实验题目

利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体：

（1），及xOy面；

（2），及。

二、实验目的和意义

利用Mathematics软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间图形的特点，以加强几何的直观性。时更加了解空间曲面是如何围成一个空间的封闭区域。

三、计算公式

（1）

：，，   （0<u<2π，0<v<0.5π）

:，， 

 (0<u<2π，-1<v<2)

xOy面  x=u ，y=v ，z=0                       (-2<u<2  -2<v<2)

（2）

 :  x=u ,y=v ,z=u×v              (-5<u<5  -5<v<5)

: x=u ,y=1-u ,z=v               (-5<u<5  -5<v<10)

 :  x=u ,y=v ,z=0                        (-4<u<8  -4<v<8)

四、程序设计

(1)

s1=ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[v]*Sin[u],Cos[v]},{u,0,2*Pi},{v,0,0.5*Pi},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s2=ParametricPlot3D[{0.5*Sin[u]+0.5,0.5*Cos[u],v},{u,0,2*Pi},{v,-1,2},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-2,2},{v,-2,2},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

Show[s1,s2,s3,DisplayFunction®$DisplayFunction]

(2)

s1=ParametricPlot3D[{u,v,u*v},{u,-8,8},{v,-8,8},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s2=ParametricPlot3D[{u,1-u,v},{u,-8,8},{v,-8,8},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-5,10},{v,-5,10},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

Show[s1,s2,s3,DisplayFunction®$DisplayFunction]

五、程序运行结果

(1)

(2)

六、结果的讨论和分析

第一个图形显而易见是由半圆、圆柱及xOy面所组成的图形。作图比较简单。

第二个图形则较为复杂，选取参数的范围不同，得到的图像也大不相同。

比如：

（1）参数值取的小，就会使图像的变化不能明显表示出来。

s1=ParametricPlot3D[{u,v,u*v},{u,-1,1},{v,-1,1},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s2=ParametricPlot3D[{u,1-u,v},{u,-1,1},{v,-1,1},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-1,1},{v,-1,1},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

Show[s1,s2,s3,DisplayFunction®$DisplayFunction]

（2）参数范围选大了，那么的高度太大，会将中间的面挡住，不利于观察。

s1=ParametricPlot3D[{u,v,u*v},{u,-20,20},{v,-20,20},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s2=ParametricPlot3D[{u,1-u,v},{u,-20,20},{v,-20,20},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

s3=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-20,20},{v,-20,20},AxesLabel®{"X","Y","Z"},DisplayFunction®Identity];

Show[s1,s2,s3,DisplayFunction®$DisplayFunction]

     所以必须准确而适当的选择参数范围才能作出利于观察的图形。

实验二

一、实验题目

观察级数的部分和序列的变化趋势，并求和；

二、实验目的和意义

   学会利用Mathematics显示级数部分和的变化趋势，并且通过实验中得到的部分和图像，对无穷级数收敛的变化趋势有更加直观的认识。

三、计算公式

=++++……++……

四、程序设计

（1）

s[n_]:=Sum[k!/k^k,{k,1,n}];

data=Table[s[n],{n,1,100}];

ListPlot[data]

（2）

//N

NSum[n!/n^n,{n,Infinity}]

五、程序运行结果

（1）

（2）

六、结果的讨论和分析

   由图像可以明显地看出图像上左侧轴上全是1.87985，是因为逼近时分度值不断变小，直至最小精确度，所以说级数的部分和趋近于1.87985。

   后来用求和功能计算级数部分和，更是可以看出其近似为1.8798，与图像所显示的值一致。

    这个实验采取散点图像法和直接的求和两种方法，共通过验证了级数和的变化趋势，收敛级数的部分和趋近于一个常数。

实验三  最小二乘法

一、实验题目

一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据：

已知函数y与x的关系适合模型：，试用最小二乘法确定系数a, b, c，并求出拟合曲线。

二、实验目的和意义

      在科学研究和实际工作中，常常会遇到这样的问题：给定两个变量x, y的m组实验数据，如何从中找出这两个变量间的函数关系的近似解析表达式（也称为经验公式），使得能对x与y之间的除了实验数据外的对应情况作出某种判断。

这样的问题一般可以分为两类：一类是对要对x与y之间所存在的对应规律一无所知，这时要从实验数据中找出切合实际的近似解析表达式是相当困难的，俗称这类问题为黑箱问题；另一类是依据对问题所作的分析，通过数学建模或者通过整理归纳实验数据，能够判定出x与y之间满足或大体上满足某种类型的函数关系式，其中是n个待定的参数，这些参数的值可以通过m组实验数据来确定（一般要求），这类问题称为灰箱问题。解决灰箱问题的原则通常是使拟合函数在处的值与实验数值的偏差平方和最小，即取得最小值。这种在方差意义下对实验数据实现最佳拟合的方法称为“最小二乘法”，称为最小二乘解，称为拟合函数。

利用Mathematica 求解线性拟合问题，求最小二乘解。

三、计算公式

使拟合函数在处的值与实验数值的偏差平方和最小，即取得最小值。

四、程序设计

(1) 输入以下语句，求解参数a , b , c

x={10.0,15.0,20.0,25.0,30.0};

y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};

xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];

q[a_,b_,c_]:=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]

Solve[{D[q[a,b,c],a]==0,D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]

(2)将a, b, c带入方程.

(3)为了比较拟合函数和已知的数据点，再在同一坐标下绘出数据点的散点图及拟合函数的图形，输入语句为：

data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];

t1=ListPlot[data,PlotStyle®PlotSize[0.02],DisplayFunction®Identity];

f[x_]:=27.56-0.0574286*x+0.000285714*x^2;

t2=Plot[f[x],{x,10,35},AxesOrigin®{10,0},DisplayFunction®Identity];

Show[t1,t2,DisplayFunction®$DisplayFunction]

五、程序运行结果

(1) 求解a ,b ,c，运行后的结果：

{{a®27.56,b®-0.0574286,c®0.000285714}}

(2) 拟合曲线方程为

(3) 为了比较拟合函数和已知的数据点，再在同一坐标下绘出数据点的散点图及拟合函数的图形

六、结果的讨论和分析

  a=27.56, b=-0.0574286, c=0.000285714

所以，拟合曲线为，从同一坐标下绘出数据点的散点图及拟合函数的图形可以看出数据点与拟合直线的拟合程度较高。

第二篇：东南大学高等数学A(上册)数学实验报告

高等数学数学实验报告

实验人员：院（系）：计算机    学号：   姓名：   成绩_________

实验时间：20##年12月25日   9：00-11:30

实验一：观察数列的极限

一、实验题目一

根据上面的实验步骤，通过作图，观察重要极限：

二、实验目的和意义

从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。

三、计算公式

四、程序设计

五、程序运行结果

六、结果的讨论和分析

  从点图可以看出，该数列是收敛的，并且收敛值在2.7左右，所以可以估计出e的近似值为2.7

实验二：一元函数图形及其性态

一、实验题目二

制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响

二、实验目的和意义

通过作图形动画，观察参数c对函数性态（周期，最值，奇偶，凹凸）的影响，从而对函数的理解形象化、具体化。

三、计算公式

sin(-x)=sin(x)

sin(x+2)=sin(x)

sin(x+)=-sin(x)

四、程序设计

五、程序运行结果

六、结果的讨论和分析

当参数|c|越大，函数的周期越小，并且符合T=2/|c|;

参数c的变化并不影响函数的最值，奇偶性（当p=0时，函数是既奇又偶函数），和凹凸性。

参数c的正负决定函数是在某一确定周期内的正负值

实验三：泰勒公式和函数逼近

一、实验题目三

作出函数 函数图形和泰勒展开式（选取不同的和n值）图形，并将图形进行比较.

二、实验目的和意义

下面我们利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。

三、计算公式

四、程序设计

=0时

=2时

=4时

=6时

五、程序运行结果

六、结果的讨论和分析

通过上面六幅图，从图中可以观察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况，显然在范围内，当阶数为4-6时两个函数的图形已经基本上吻合了，