项目八 假设检验、回归分析与方差分析
实验1 假设检验
实验目的掌握用Mathematica作单正态总体均值、方差的假设检验, 双正态总体的均值差、方差比的假设检验方法, 了解用Mathematica作分布拟合函数检验的方法.
基本命令
1.调用假设检验软件包的命令<<Statistics\HypothesisTests.m
输入并执行命令
<<Statistics\HypothesisTests.m
2.检验单正态总体均值的命令MeanTest
命令的基本格式为
MeanTest[样本观察值,
中均值
的值, TwoSided->False(或True),
Known Variance->None (或方差的已知值
),
SignificanceLevel->检验的显著性水平
,FullReport->True]
该命令无论对总体的均值是已知还是未知的情形均适用.
命令MeanTest有几个重要的选项. 选项Twosided->False缺省时作单边检验. 选项Known Variance->None时为方差未知, 所作的检验为t检验. 选项Known Variance->时为方差已知(是已知方差的值), 所作的检验为u检验. 选项Known Variance->None缺省时作方差未知的假设检验. 选项SignificanceLevel->0.05表示选定检验的水平为0.05. 选项FullReport->True表示全面报告检验结果.
3.检验双正态总体均值差的命令MeanDifferenceTest
命令的基本格式为
MeanDifferenceTest[样本1的观察值,样本2的观察值,
中的均值
,选项1,选项2,…]
其中选项TwoSided->False(或True), SignificanceLevel->检验的显著性水平
,
FullReport->True的用法同命令MeanTest中的用法. 选项EqualVariances->False(或True)表示两个正态总体的方差不相等(或相等).
4.检验单正态总体方差的命令VarianceTest
命令的基本格式为
VarianceTest[样本观察值,中的方差的值,选项1,选项2,…]
该命令的选项与命令MeanTest中的选项相同.
5.检验双正态总体方差比的命令VarianceRatioTest
命令的基本格式为
VarianceRatioTest[样本1的观察值,样本2的观察值,
中方差比
的值,选项1,选项2,…]
该命令的选项也与命令MeanTest中的选项相同.
注: 在使用上述几个假设检验命令的输出报告中会遇到像OneSidedPValue->
0.000217593这样的项,它报告了单边检验的P值为0.000217593. P值的定义是: 在原假设成立的条件下, 检验统计量取其观察值及比观察值更极端的值(沿着对立假设方向)的概率. P值也称作“观察”到的显著性水平. P值越小, 反对原假设的证据越强. 通常若P低于5%, 称此结果为统计显著; 若P低于1%,称此结果为高度显著.
6.当数据为概括数据时的假设检验命令
当数据为概括数据时, 要根据假设检验的理论, 计算统计量的观察值, 再查表作出结论. 用以下命令可以代替查表与计算, 直接计算得到检验结果.
(1)统计量服从正态分布时, 求正态分布P值的命令NormalPValue. 其格式为
NormalPValue[统计量观察值,显著性选项,单边或双边检验选项]
(2)统计量服从t分布时, 求t分布P值的命令StudentTPValue. 其格式为
StudentTPValue[统计量观察值,自由度,显著性选项,单边或双边检验选项]
(3)统计量服从
分布时, 求分布P值的命令ChiSquarePValue. 其格式为
ChiSquarePValue[统计量观察值,自由度,显著性选项,单边或双边检验选项]
(4)统计量服从F分布时, 求F分布P值的命令FratioPValue. 其格式为
FratioPValue[统计量观察值,分子自由度,分母自由度,显著性选项,单边或双边检验选项]
(5)报告检验结果的命令ResultOfTest. 其格式为
ResultOfTest[P值,显著性选项,单边或双边检验选项,FullReport->True]
注:上述命令中, 缺省默认的显著性水平都是0.05, 默认的检验都是单边检验.
实验举例
单正态总体均值的假设检验(方差已知情形)
例1.1 (教材 例1.1) 某车间生产钢丝, 用
表示钢丝的折断力, 由经验判断
, 其中
, 今换了一批材料, 从性能上看, 估计折断力的方差
不会有什么变化(即仍有
), 但不知折断力的均值
和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取
试检验折断力均值有无变化?
根据题意, 要对均值作双侧假设检验
输入
<<Statistics\HypothesisTests.m
执行后, 再输入
data1={578,572,570,568,572,570,570,572,596,584};
MeanTest[data1,570,SignificanceLevel->0.05,
KnownVariance->64,TwoSided->True,FullReport->True]
(*检验均值, 显著性水平
, 方差
已知*)
则输出结果
{FullReport->
Mean TestStat Distribution
575.2 2.05548 NormalDistribution[]
TwoSidedPValue->0.0398326,
Reject null hypothesis at significance level ->0.05}
即结果给出检验报告: 样本均值
, 所用的检验统计量为
统计量(正态分布),检验统计量的观测值为2.05548, 双侧检验的
值为0.0398326, 在显著性水平下, 拒绝原假设, 即认为折断力的均值发生了变化.
例1.2 (教材 例1.2) 有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X服从正态分布
, 根据以往的生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命,他们测试了采用新工艺生产的25只灯管的寿命. 其平均值是1575小时, 尽管样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢?
根据题意, 需对均值的作单侧假设检验
检验的统计量为 
, 输入
p1=NormalPValue[(1575-1500)/200*Sqrt[25]]
ResultOfTest[p1[[2]],SignificanceLevel ->0.05,FullReport ->True]
执行后的输出结果为
OneSidedPValue ->0.0303964
{OneSidedPValue->0.0303964,
Fail to reject null hypothesis at significance level ->0.05}
即输出结果拒绝原假设
单正态总体均值的假设检验(方差未知情形)
例1.3 (教材 例1.3) 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是50kg, 某日开工后随机抽查了9袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2
设每袋重量服从正态分布, 问包装机工作是否正常()?
根据题意, 要对均值作双侧假设检验:
输入
data2={49.6,49.3,50.1,50.0,49.2,49.9,49.8,51.0,50.2};
MeanTest[data2,50.0,SignificanceLevel ->0.05,FullReport ->True]
(*单边检验且未知方差,故选项TwoSided,KnownVariance均采用缺省值*)
执行后的输出结果为
{FullReport->
Mean TestStat Distribution,
49.9 -0.559503 StudentTDistribution[8]
OneSidedPValue ->0.295567,
Fail to reject null hypothesis at significance level ->0.05}
即结果给出检验报告: 样本均值
, 所用的检验统计量为自由度8的
分布(检验),检验统计量的观测值为-0.559503, 双侧检验的值为0.295567, 在显著性水平下, 不拒绝原假设, 即认为包装机工作正常.
例1.4 (教材 例1.4) 从一批零件中任取100件,测其直径,得平均直径为5.2,标准差为1.6.在显著性水平下,判定这批零件的直径是否符合5的标准.
根据题意, 要对均值作假设检验:
检验的统计量为
, 它服从自由度为
的分布. 已知样本容量
样本均值
, 样本标准差
.
输入
StudentTPValue[(5.2-5)/1.6*Sqrt[100],100-1,
TwoSided->True]
则输出
TwoSidedPValue->0.214246
即
值等于0.214246, 大于0.05, 故不拒绝原假设, 认为这批零件的直径符合5的标准.
单正态总体的方差的假设检验
例1.5 (教材 例1.5) 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在64(kg
)与64以下. 最近从一批产品中抽取10根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克) 如下:
578 572 570 568 572 570 572 596 584 570
由上述样本数据算得
.
为此, 厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了. 如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就需对生产流程作一番检验, 以发现生产环节中存在的问题.
根据题意, 要对方差作双边假设检验:
输入
data3={578,572,570,568,572,570,572,596,584,570};
VarianceTest[data3,64,SignificanceLevel->0.05,FullReport->True]
(*方差检验,使用双边检验,*)
则输出
{FullReport->
Variance TestStat Distribution
75.7333 10.65 ChiSquareDistribution[9]
OneSidedPValue->0.300464,
Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05}
即检验报告给出: 样本方差
所用检验统计量为自由度4的分布统计量(
检验), 检验统计量的观测值为10.65, 双边检验的值为0.300464, 在显著性水平
时, 接受原假设, 即认为样本方差的偏大系偶然因素, 生产流程正常, 故不需再作进一步的
检查.
例1.6 (教材 例1.6) 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计) 长期以来服从方差
的正态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变. 现随机取26只电池, 测出其寿命的样本方差
.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取
)?
根据题意, 要对方差作双边假设检验:
所用的检验统计量为
它服从自由度为的分布.已知样本容量
样本方差
输入
ChiSquarePValue[(26-1)*9200/5000, 26-1,TwoSided->True]
则输出
TwoSidedPValue->0.0128357.
即值小于0.05, 故拒绝原假设. 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.
双正态总体均值差的检验(方差未知但相等)
例1.7 (教材 例1.7) 某地某年高考后随机抽得15名男生、12名女生的物理考试成绩如下:
男生: 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40
女生: 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34
从这27名学生的成绩能说明这个地区男女生的物理考试成绩不相上下吗?(显著性水平).
根据题意, 要对均值差作单边假设检验:
输入
data4={49.0,48,47,53,51,43,39,57,56,46,42,44,55,44,40};
data5={46,40,47,51,43,36,43,38,48,54,48,34};
MeanDifferenceTest[data4,data5,0,SignificanceLevel->0.05,
TwoSided->True,FullReport->True,EqualVariances->True,FullReport->True]
(*指定显著性水平,且方差相等*)
则输出
{FullReport->
MeanDiff TestStat Distribution
3.6 1.56528 tudentTDistribution[25],
OneSidedPValue->0.13009,
Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05}
即检验报告给出: 两个正态总体的均值差为3.6, 检验统计量为自由度25的分布(检验),检验统计量的观察值为1.56528, 单边检验的值为0.13009, 从而没有充分理由否认原假
设, 即认为这一地区男女生的物理考试成绩不相上下.
双正态总体方差比的假设检验
例1.8 (教材 例1.8) 为比较甲、乙两种安眠药的疗效, 将20名患者分成两组, 每组10人, 如服药后延长的睡眠时间分别服从正态分布, 其数据为(单位:小时):
甲: 5.5 4.6 4.4 3.4 1.9 1.6 1.1 0.8 0.1 -0.1
乙: 3.7 3.4 2.0 2.0 0.8 0.7 0 -0.1 -0.2 -1.6
问在显著性水平下两重要的疗效又无显著差别.
根据题意, 先在
未知的条件下检验假设:
输入
list1={5.5,4.6,4.4,3.4,1.9,1.6,1.1,0.8,0.1,-0.1};
list2={3.7,3.4,2.0,2.0,0.8,0.7,0,-0.1,-0.2,-1.6};
VarianceRatioTest[list1,list2,1,SignificanceLevel->0.05,
TwoSided->True,FullReport->True]
(*方差比检验,使用双边检验,*)
则输出
{FullReport->
Ratio TestStat Distribution
1.41267 1.41267 FratioDistribution[9,9],
TwoSidedPValue->0.615073,
Fail to reject null hypothesis at significancelevel->0.05}
即检验报告给出: 两个正态总体的样本方差之比
为1.41267, 检验统计量的分布为
分布(F检验), 检验统计量的观察值为1.41267, 双侧检验的值为0.615073. 由检验报告知两总体方差相等的假设成立.
其次, 要在方差相等的条件下作均值是否相等的假设检验:
输入
MeanDifferenceTest[list1,list2,0,EqualVariances->True,
SignificanceLevel->0.05,TwoSided->True,FullReport->True]
(*均值差是否为零的检验,已知方差相等,,双边检验*)
则输出
{FullReport->
MeanDiff TestStat Distribution
1.26 1.52273 StudentTDistribution[18],
TwoSidedPValue->0.1452,
Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05}
根据输出的检验报告, 应接受原假设
因此, 在显著性水平下可认为
.
综合上述讨论结果, 可以认为两种安眠药疗效无显著差异.
例1.9 (教材 例1.9) 甲、乙两厂生产同一种电阻, 现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取12个和10个样品, 测得它们的电阻值后, 计算出样本方差分别为
假设电阻值服从正态分布, 在显著性水平
下, 我们是否可以认为两厂生产的电阻值的方差相等.
根据题意, 检验统计量为
它服从自由度(
)的
分布.已知样本容量
, 样本方差
该问题即检验假设:
输入
FRatioPValue[1.40/4.38,12-1,10-1,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.1]
则输出
TwoSidedPValue->0.0785523,
Reject null hypothesis at significance level->0.1}
所以, 我们拒绝原假设, 即认为两厂生产的电阻阻值的方差不同
分布拟合检验——检验法
例1.10 (教材 例1.10) 下面列出84个伊特拉斯坎男子头颅的最大宽度(单位:mm):
141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144
150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140
145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143
140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146
150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134
144 146 147 140 142 140 137 152 145
试检验上述头颅的最大宽度数据是否来自正态总体(
)?
输入数据
data2={141,148,132,138,154,142,150,146,155,158,150,140, 147,148,
144,150,149,145,149,158,143,141,144,144,126,140, 144,142,141,140,
145,135,147,146,141,136,140,146,142,137, 148,154,137,139,143,140,
131,143,141,149,148,135,148,152, 143,144,141,143,147,146,150,132,
142,142,143,153,149,146, 149,138,142,149,142,137,134,144,146,147,
140,142,140,137,152,145};
输入
Min[data2]|Max[data2]
则输出
126|158
即头颅宽度数据的最小值为126, 最大值为158. 考虑区间[124.5,159.5], 它包括了所有的数据. 以5为间隔, 划分小区间. 计算落入每个小区间的频数, 输入
pshu=BinCounts[data2,{124.5,159.5,5}]
则输出
{1,4,10,33,24,9,3}
因为出现了两个区间内的频数小于5, 所以要合并小区间. 现在把频数为1, 4的两个区间合并, 再把频数为9, 3的两个区间合并. 这样只有5个小区间. 这些区间为
(
),
为了计算分布函数在端点的值, 输入
zu=Table[129.5+j*5,{j,1,4}]
则输出
{134.5,139.5,144.5,149.5}
以这4个数为分点,把
分成5个区间后,落入5个小区间的频数分别为5, 10, 33, 24, 12.它们除以数据的总个数就得到频率. 输入
plv={5,10,33,24,12}/Length[data2]
则输出
下面计算在成立条件下, 数据落入5个小区间的概率. 输入
nor=NormalDistribution[Mean[data2],StandardDeviationMLE[data2]];
(*Mean[data2]是总体均值的极大似然估计,
StandardDeviationMLE[data2]是总体标准差的极大似然估计,
NormalDistribution是正态分布,
因此nor是由极大似然估计得到的正态分布*)
Fhat=CDF[nor,zu] (*CDF是分布函数的值*)
则输出
{0.0590736,0.235726,0.548693,0.832687}
此即成立条件下分布函数在分点的值. 再求相邻两个端点的分布函数值之差, 输入
Fhat2=Join[{0},Fhat,{1}];
glv=Table[Fhat2[[j]]-Fhat2[[j-1]],{j,2,Length[Fhat2]}]
则输出
{0.0590736,0.176652,0.312967,0.283994,0.167313}
输入计算检验统计量值的命令
chi=Apply[Plus,(plv-glv)^2/glv*Length[data2]]
则输出
3.59235
再输入求分布的值命令
ChiSquarePValue[chi,2] (*5-2-1=2为分布的自由度*)
则输出
OneSidedPValue->0.165932
这个结果表明成立条件下, 统计量取3.59235及比它更大的概率为0.165932, 因此不拒绝, 即头颅的最大宽度数据服从正态分布.
实验习题
1.设某种电子元件的寿命(单位:h)服从正态分布
均未知. 现测得16只元件的寿命如下:
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命225h?是否有理由认为这种元件寿命的方差
852?
2.某化肥厂采用自动流水生产线,装袋记录表明,实际包重
,打包机必须定期进行检查,确定机器是否需要调整,以确保所打的包不至过轻或过重,现随机抽取9包, 测得数据(单位:kg)如下
102 100 105 103 98 99 100 97 105
若要求完好率为95%,问机器是否需要调整?
3.某炼铁厂的铁水的含碳量在正常情况下服从正态分布.现对操作工艺进行了某些改进,从中抽取5炉铁水测得含碳量百分比的数据如下
4.421 4.052 4.357 4.287 4.683
据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为
4.机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋标准重量为500g,标准差不能超过0.02.某天开工后,为检验机械工作是否正常,从装好的食盐中随机地抽取9袋,则其净重(单位:500g)为
0.994 1.014 1.02 0.95 0.968 0.968 1.048 0.982 1.03
问这天包装机工作是否正常()?
5.(1)某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm.今从一批产品中随机地抽取15段,测得其长度(单位:cm)如下
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
设金属棒长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常()?
(2)上题中假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化()?
(3)如果只假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化()?
6. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一平炉进行的, 每炼一炉钢时除操作方法外, 其他方法都尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为
(1) 标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
(2) 新 方 法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体
和
,和均未知.问建议的新操作方法能否提高得率().
7.某自动机床加工同一种类型的零件.现从甲、乙两班加工的零件中各抽验了5各,测得它们的直径(单位:cm)分别为
甲: 2.066 2.063 2.068 2.060 2.067
乙: 2.058 2.057 2.063 2.059 2.060
已知甲、乙二车床加工的零件其直径分别为
,试根据抽样结果来说明两车床加工的零件的平均直径有无显著性差异()?
8.设某产品的使用寿命近似服从正态分布,要求平均使用寿命不低于1000h.现从一批产品中任取25只, 测得平均使用寿命为950h,样本方差为100, 在
下,检验这批产品是否合格.
9. 两台机器生产某种部件的重量近似服从正态分布.分别抽取60与30个部件进行检测,样本方差分别为
试在下检验假设
10.设某电子元件的可靠性指标服从正态分布,合格标准之一为标准差
现检测15次,测得指标的平均值
,指标的标准差
试在下检验假设
11.对两种香烟中尼古丁含量进行6次测试,得到样本均值与样本方差分别为
设尼古丁含量都近似服从正态分布,且方差相等.取显著性水平检验香烟中尼古丁含量的方差有无显著差异.