课题：基本初等函数(Ⅰ)小结（1）

课时：013

课型:复习课

教学目标:理解指数，对数的含义；能利用指对图像解题；

教学重点：指对图象的应用

教学难点：对数计算及数形结合解题

教学过程：

一、知识回顾

1、指数幂的运算性质：

（1）若，则；（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.

（7）；（8）；

（9）.

2、对数函数的运算性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）.

3、基本初等函数的性质：

（1）指数函数性质：

①定义域为； ②值域为；③过定点；

④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数.

 ⑤指数函数的图象不经过第四象限，在第一象限内，当时，图象离轴越近的指数越大。

（2）对数函数的性质：

①定义域为；②值域为；③过定点；

④单调性：当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数.

⑤对数函数的图象 在第一象限内，图象离轴越近的底数越大。

（3）幂函数的性质：

①所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；

②如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数；

③如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴；

④当是奇数时，幂函数是奇函数，当是偶数时，幂函数是偶函数.

（4）指数函数、对数函数的不等式和方程

（5）同底的指数函数和对数函数互为反函数

二、典型题训练：

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．若a<，则化简的结果是________．

2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是________．

3．函数y＝2＋log₂(x²＋3)(x≥1)的值域为__________________________________．

4．已知2^x＝7^2y＝A，且＋＝2，则A的值是________________________________．

5．已知函数f(x)＝ax²＋(a³－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是________．

6．设f(x)＝，则f(5)的值是________．

7．函数y＝1＋的零点是________．

8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．

9．某企业20##年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业20##年度产值的月平均增长率为________．

10．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．

11．函数f(x)＝－x²＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．

12．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.

13．函数f(x)＝x²－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．

14．设偶函数f(x)＝log_a|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)(1)设log_a2＝m，log_a3＝n，求a^2m＋n的值；

(2)计算：log₄9－log₂12＋.

16．(14分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.

(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

(2)求当x<0时，函数的解析式．

17．(14分)已知函数f(x)＝log_a(a>0且a≠1)，

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数的奇偶性和单调性．

18．(16分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.

(1)试判定该函数的奇偶性；

(2)试判断该函数在R上的单调性；

(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．

19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注：利润与投资量单位：万元)

(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．

(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

20．(16分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(a^x－b^x)．

(1)求y＝f(x)的定义域；

(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；

(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．

参考解析：

1.

解析　∵a<，∴2a－1<0.

于是，原式＝＝.

2．[1，)

解析　由函数的解析式得：即

所以1≤x<.

3．[4，＋∞)

解析　∵x≥1，∴x²＋3≥4，∴log₂(x²＋3)≥2，则有y≥4.

4．7

解析　由2^x＝7^2y＝A得x＝log₂A，y＝log₇A，

则＋＝＋＝log_A2＋2log_A7＝log_A98＝2，

A²＝98.又A>0，故A＝＝7.

5．[－，0)

解析　由题意知a<0，－≥－1，－＋≥－1，即a²≤3.

∴－≤a<0.

6．24

解析　f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.

7．－1

解析　由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.

8．2

解析　设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，

即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，

∴矩形窗框围成的面积S＝x(3－2x)＝－2x²＋3x(0<x<)，

当x＝－＝＝0.75时，S有最大值．

∴h＝3－2x＝1.5，∴高与宽之比为2.

9.－1

解析　设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)¹¹，∴x＝－1.

10．m≤2

解析　由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，故m≤2.

11．－1

解析　f(x)＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，∵1∈[－2,3]，

∴f(x)_max＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，

f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)_min＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.

12．－1

解析　由题意知，f(－x)＝－f(x)，

即＝－，

∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，

∴a＋1＝0，a＝－1.

13．(0,1]

解析　设x₁，x₂是函数f(x)的零点，则x₁，x₂为方程x²－2x＋b＝0的两正根，

则有，即.解得0<b≤1.

14．f(b－2)<f(a＋1)

解析　∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝log_a|x|.

当a>1时，函数f(x)＝log_a|x|在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；

当0<a<1时，函数f(x)＝log_a|x|在(0，＋∞)上是减函数，

∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．

综上可知f(b－2)<f(a＋1)．

15．解　(1)∵log_a2＝m，log_a3＝n，∴a^m＝2，aⁿ＝3.

∴a^2m＋n＝a^2m·aⁿ＝(a^m)²·aⁿ＝2²·3＝12.

(2)原式＝log₂3－(log₂3＋log₂4)＋

＝log₂3－log₂3－2＋＝－.

16．(1)证明　设0<x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝(－1)－(－1)＝，

∵0<x₁<x₂，∴x₁x₂>0，x₂－x₁>0，

∴f(x₁)－f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(2)解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，

又f(x)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．

17．解　(1)要使此函数有意义，则有或，

解得x>1或x<－1，此函数的定义域为

(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．

(2)f(－x)＝log_a＝log_a＝－log_a＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

f(x)＝log_a＝log_a(1＋)，

函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．

所以当a>1时，f(x)＝log_a在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；

当0<a<1时，f(x)＝log_a在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．

18．解　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)

＝2f(0)，∴f(0)＝0.

令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(2)任取x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0，

∴f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂－x₁)<0，

即f(x₂)<f(x₁)

∴f(x)在R上是减函数．

(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，

∴f(12)最小，f(－12)最大．

又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)

＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，

∴f(－12)＝－f(12)＝8.

∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.

19．解　(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．

由题意，得f(x)＝k₁x，g(x)＝k₂.

由题图可知f(1)＝，∴k₁＝.

又g(4)＝1.6，∴k₂＝.

从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，该企业利润为y万元．

y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，

令＝t，则x＝10－t²，

于是y＝＋t＝－(t－2)²＋(0≤t≤)．

当t＝2时，y_max＝＝2.8，

此时x＝10－4＝6，

即当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．

20．(1)解　∵a^x－b^x>0，∴a^x>b^x，∴()^x>1.

∵a>1>b>0，∴>1.

∴y＝()^x在R上递增．

∵()^x>()⁰，∴x>0.

∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)证明　设x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，

∴ax₁>ax₂>1,0<bx₁<bx₂<1.

∴－bx₁>－bx₂>－1.∴ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0.

又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，

∴lg(ax₁－bx₁)>lg(ax₂－bx₂)，即f(x₁)>f(x₂)．

∴f(x)在定义域内是增函数．

(3)解　由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，

又恰在(1，＋∞)内取正值，

∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，

∴∴解得

第二篇：吉林省东北师范大学附属中学20xx-20xx学年高中数学 1.1.4集合复习小结训练试题(1)新人教A版必修1

吉林省东北师范大学附属中学20##-20##学年高中数学 1.1.4集合复习小结训练试题（1）新人教A版必修1

一．知识点：

1.集合

一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

2.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象）因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）   集合相等：构成两个集合的元素完全一样

3.元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA

4.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N^*或N₊；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

5.集合的表示方法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

6.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集

7.交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集

 

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

8全集、补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，

说明：补集的概念必须要有全集的限制

9.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

10.集合基本运算的一些结论：

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

（C_UA）∪A=U，（C_UA）∩A= 

若A∩B=A，则AB，反之也成立

若A∪B=B，则AB，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

二．典型题训练：

1．若方程x²－5x＋6＝0和方程x²－x－2＝0的所有解构成的集合为M，则M中元素的个数为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　)

A．锐角三角形                B．直角三角形

C．钝角三角形                D．等腰三角形

3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,5}，x∈A，且x?B，则x等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．5

4．已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，设d＝a－b＋c，则(　　)

A．d∈M                     B．d∈N

C．d∈P                      D．d∈M且d∈N

5．设直线y＝2x＋3上的点集为P，则P＝__________；点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__________P.

6．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}．定义P?Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P?Q的所有元素之和为________．

7．下面三个集合：

①{x|y＝x²＋1}；②{y|y＝x²＋1}；③{(x，y)|y＝x²＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们各自的含义是什么？

三、课后检测：

1．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有(　　)

A．－1∈A                  B．0∈A

C.∈A                    D．2∈A

2．已知集合M＝{x∈N|(8－x)∈N}，则M中元素的个数是(　　)

A．10                       B．9

C．8                        D．无数个

3．(2008江西高考，2)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为(　　)

A．0  B．2  C．3  D．6

4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于(　　)

A．1  B．－1  C．2  D．－2

5．集合{3，，，，…}可表示为(　　)

A．{x|x＝，n∈N^*}

B．{x|x＝，n∈N^*}

C．{x|x＝，n∈N^*}

D．{x|x＝，n∈N^*}

6．填空题：

(1)用列举法表示集合{x∈R|(x－1)²(x＋1)＝0}为__________；

(2)用列举法表示集合{x∈N|∈N}为__________；

(3)用描述法表示集合{2,4,6,8}为__________；

(4)用描述法表示集合{1，，，}为__________．

7．已知x∈{1,2，x²}，则x＝__________.

8．设a，b是非零实数，则y＝＋＋的所有值组成的集合为________．

9．已知集合A＝{x|ax²＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素．

10．数集M满足条件，若a∈M，则∈M(a≠±1且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的集合M的元素全部求出来．

11．已知f(x)＝x²－ax＋b(a、b∈R)，A＝{x∈R|f(x)－x＝0}，B＝{x∈R|f(x)－ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.