数学建模课题开题报告

关于GDP增长的数学模型研究

柘城县杨堂中学周明礼

中 国 中 国 中 国 联合国 联合国

来源 统计局 统计局 统计局 统计局 统计司 统计司

GDP (亿元)

3606 4093 4593 5009 5590 6216 7363 9077 10509 12277 15389 17311 19348 22577 27565 36938 50217 63217 74164 81659 86532 91125 98749 108972 120350 136399 160280 188692 221651 263094 306860

人均

(亿美 (亿美

GDP(元) GDP(美元) GDP(美元)

元) 元)

377 422 468 504 554 608 710 864 985 1132 1397 1548 1704 1962 2366 3134 4213 5247 6091 6638 6967 7275 7821 8568 9399 10587 12367 14473 16907 19963 23106

2282 2728 3002 2862 2911 3139 2630 2836 2825 3300 4137 3668 3706 4158 4794 6369 5943 7598 8935 9862 10451 11005 11926 13161 14535 16473 19358 23382 28380 36040 44928

239 281 306 288 289 307 254 270 265 304 376 328 326 361 411 540 499 631 734 802 841 879 945 1035 1135 1279 1494 1793 2165 2735 3383

2142 2632 3065 2939 2954 3146 3174 3091 3043 3299 4134 4598 4045 4241 4999 6411 5827 7570 8920 9850 10452 11008 11928 13166 14540 16479 19365 23027 27799 34603 43270

224 272 312 296 293 309 307 295 286 305 377 413 358 371 432 549 494 635 741 810 852 889 956 1047 1149 1293 1510 1785 2142 2650 3292

人均

GDP

人均

GDP

数据

中 国

年份

1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

根据以上数据判断20xx年中国GDP的数据。

预计20xx年的GDP

尽管影响产值的因数很多，但总的可以用x=x.(1+a)&k

一．根据数据建立函数模型

二．对建立模型进行求解

三．对答案进行验证

四．对未来进行预计。

参考文献

一姜启源。谢金星 数学模型20xx年8月版

二，姜启源。数学模型19xx年版

三．中国统计局20xx年GDP

培养初中学生数学建模化能力的研究

中期研究报告

一、课题简介

课题由来：培养学生实际问题数学化的能力，是数学教育的一个重要目标。培养学生实际问题数学化的能力具有发展学生数学应用意识，改变数学教学与现实世界之间的严重脱节现象，提高学生分析问题和解决问题的能力的重要意义。在国外，从数学课本看起，每一章都是从实际出发，然后解释数学内容，最后总结实际问题的解决。但是，我们的广大基层一线教师的教学与研究思路大都局限于“解题方法”、“一题多解”、“考试题解”等，往往忽视了学生实际问题数学化能力的培养。由此，我们提出了“培养初中学生实际问题数学化能力的研究”这个课题进行研究。

课题界定：我们认为培养学生实际问题数学化的能力是指强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度，与价值观等多方面得到进步与发展。

研究目标：通过研究，构建出实际问题数学化的运行机制，在目标、原则、途径、策略、评价等方面形成一些本土化、特色化的基础性理论。通过研究，提高学生两种能力。一是面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题策略的能力；二是面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景并探索其应用价值的能力。

研究内容：一是调查了解学生当前实际问题数学化的真实水平及存在的问题；二是分析制约学生实际问题数学能力形成的主要因素，提出相应的解决策略；三是探索培养学生实际问题数学化能力的有效途径；四是在研究的过程中，不断提高研究者的自身研究与教育的能力，从而促进自身的专业发展。

二、课题研究情况

1、在理论学习中更新教育观念

我们采用了集体学习和分散学习相结合的方法，通过上网、学习专著、阅读教育教学类刊物，学习有关问题转化的教育教学理论，写好教育随笔，积累教育智慧，用以指导自己的教学行为。我们课题组看过的理论著作有：（略），撰写的教育随笔共14篇，分别是：（略）通过学习，努力从理论层面上引导教师对实验课题产生背景、科学依据、教育思想、实践价值全面把握，实现教育思想、教育观念的转变。

2、编制调查问卷，进行调查研究

编制调查问卷，并选择300个样本进行调查，了解学生当前实际问题数学化的真实水平及存在的问题，并根据调查结果分析制约学生实际问题数学能力形成的主要因素。

3、采用“走出去，请进来”的方法，构建课题交流平台

进一步完善共营互惠的教学研究制度，拓展互惠的内涵，积极主动、坦诚无私地公开自己的教学与思想，在教导处的支持下，积极组织课题组老师参加各种教学观摩、学习、参观活动，也邀请其他学校教师参加我们课题组的观摩活动和研讨活动。迄今为止，课题组老师参加或组织的活动有：（略）

三、课题研究成果

1、理论成果

（1）形成“初中生实际问题数学化能力培养的现状与问题”调查报告。（见附件）

（2）我们认为制约学生实际问题数学能力形成的主要因素有学习兴趣、知识储备量、认知方式、表征方式等。

（3）我们初步提出的解决策略有：①充分利用多媒体的闪烁、移动、变形等功能，强化感知，促进知识由具体到抽象的转化。②以生活原理为载体，提炼出数学思想。③探索数学建模训练，加强学生用数学的意识。

（4）论文：毛利益老师撰写论文《提高学生实际问题数学化能力的几点做法》并积极投稿。许文英老师撰写了论文《利用数学建模思想培养初中学生实际问题数学化的能力》。（见附件）

2、实践成果

（1）促进了学生学习能力的提高。在课堂内外，学生的学习方式得到了较大的转变，学生有了较强的数学运用意识和实践能力，逐渐地学会数学化的方法，并自觉地把所学习的知识与现实中的事物建立起联系。

（2）提升了教师的专业素养，带动了课堂教学的优化。 在研究实践中，教师努力将先进的教育思想内化为自己的教育教学理念，转变为自己的教育行为，升华为自己的教育教学特色。学生在课堂作业时，充分发展自己的特长，积极地走向课外、走向社会进行实践，最大限度地开发、挖掘学生的潜在创造力。在促进学生发展的同时，教师自身的素养也同样得到了发展。其中毛利益老师和许文英老师被评为市教学能手。

四、课题研究的疑难困惑

我们的课题研究取得了一些成果，但也有以下问题需要注意，并在实践中不断完善。

1、课题组个别参研教师在教学中虽然改变了传统的教学模式，但放得不开，担心影响教学质量和升学业绩，课堂上学生主体地位体现得不够充分。

2、课堂教学的情景设计如何走向生活化、课堂练习设计如何走向效率化还有待提高。

3、对课堂中学生评价研究程度不够。

五、课题研究的后段设想

1、继续抓好理论学习,改变教师的教学观念。

2、切实抓好课题研究的管理，对课题研究状况不断进行认真及时的调查诊断。

3、继续深入系统的开展课题研究，优化教学体系。

4、加强集体备课的力度。每两周进行一次集体备课，互相探究课题实施过程中的教学点滴，解决疑惑，交流经验。

5、加强听课、评课，研究教学模式。 每学期课题组教师之间互相听课不少于10节，并互相评课。每位参研人员依照课题研究的教学模式，对每学期每位教师的课题研究课从环节、过程、师生地位角色、学生学习方式、参与达成状态、课堂效果等诸方面进行评课。

6、成果展示要具体：实验报告、论文、教学案例、教学故事、学生作品和经验总结等。

7、随时积累整理课题研究中的过程性资料，以免遗忘。

附件 略

第二篇：课题研究：数学建模

           课题研究之

数学建模

目录

摘要……………………………………………………………………………

Abstract………………………………………………………………………

1.数学建模的定义……………………………………………………………

2.数学建模的建立……………………………………………………………

3. 数学建模的分类……………………………………………………………

4. 数学建模的原则……………………………………………………………

4.1可分析与推推导原则………………………………………………………

4.2简化原则……………………………………………………………………

4.3反映性原则…………………………………………………………………

5.应用模式的框架………………………………………………………………

6.数学建模对大学生素质与能力的培养………………………………………

6.1  问题的提出………………………………………………………………

6.2  问题的讨论………………………………………………………………

6.3  建模的准备………………………………………………………………

6.4  建模………………………………………………………………………

6.5 问题的补充…………………………………………………………………

7.设计总结………………………………………………………………………

8.参考文献………………………………………………………………………

                                                                                                                                                        

[摘要]数学建模与大学生能力的培养密切相关。本文依据现有文稿系统地分析了数学建模的各个方面，数学建模的定义、分类、建立、原则、框架等。同时，通过污染问题的引入和讨论，详细地阐述了建模的思维过程；并从该过程中映射出数学建模对四种重要思维能力的培养和提高，即综合应用分析能力，“双向”翻译能力、联想能力、洞察能力。从而，使数学建模对大学生能力的培养，不言而喻。

[关健词]  数学建模；思维过程；思维能力；环境污染。

[Abstract]Mathematical Modeling and the ability to train college students are closely related.On the basis of the existing draft system to a mathematical analysis of the various aspects of modeling, mathematical modeling of definitions, classifications, establish, in principle, frameworks.Meanwhile, pollution and the introduction of the discussion, described in detail the thinking process modeling;And from the process of mapping out mathematical modeling of four critical thinking ability training and upgrading, comprehensive application of analytical ability, "two-way" translation, association, penetrating ability.Thus, the mathematical modeling of the students abilities, self-evident.

[Key words]  mathematical modeling; Thinking process; Thinking; Environmental pollution.

众所周知，随着科学技术的发展，数学建模的应用也越来越广泛，并涉及多种科学领域。计算机是数学和电子学相结合的产物，它在解决科学计算、模拟方面对数学有重要的作用。数学建模使用计算机使得求解更方便、快捷和精确，进而使得解决问题的领域扩大，从连续、离散确定性领域到随机的非确定性领域，计算机模拟正是处理这类问题的重要方法。同时，数学建模的训练不仅可以提高学生应用数学的意识，而且也是加强数学与实际的联系，实施数学素质教育的一个重要方面。通过数学建模训练，可以培养和提高学生多方面的思维能力。本文拟对数学建模与能力培养加以讨论和分析。

１数学建模的定义

数学建模是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。这里的数学结构，有两方面的具体要求：其一，这种结构是一种纯关系结构，即必须是经过数学抽象地扬弃了一切与关系无本质联系后的系统；其二，这种结构是用数学概念和数学符号来描述的。

２数学模型的建立

把数学方法运用到任一实际问题，都需要把该问题的内在规律用数字、图表或公式、符号表示出来，经过数学的处理，得出供人们分析、预报、决策或控制的定量结果，这个过程就是建立数学模型的过程。这一过程是一个对研究对象进行具体分析和科学抽象的过程，目的在于找到一个能反映问题本质特征的，又是理想化、简单化的数学模型。这就要求我们要善于近似、简化与抽象，即要求我们深刻了解实际问题所属学科领域的基本规律，抓住问题中起关键作用的一些量及其相依关系，灵巧地运用数学概念、符号、式子、规律去刻划其内在的、本质的规律性，这就是从宏观角度构造数模型的方法。从微观方面而言，我们面临的实际问题一般较为复杂，影响某一量变化的因素很多，往往是因素共存的。

３数学建模的分类

根据数学模型的性质和建立数学模型的方法不同，可以对数学建模有各种不同的分类方法：①按模型的来源分：理论模型和经验模型；②按研究对象所在领域分：经济模型、生态模型、人口模型、交通模型等等；③按模型所使用的数学工具可分：函数建模、方程建模、三角建模、概率建模、运筹建模、复数建模、数表建模等等；④按对研究对象的内部结构和性能的了解程度可分：白箱建模、灰箱建模和黑箱建模；⑤按模型的功能分：描述性数学建模和解释性数学建模。

4数学建模的原则

4.1可分析与推导原则

能通过数学模型对研究的问题进行理论分析与逻辑推导，并能得到一些确定的结果。

4.2简化原则

数学模型应比现实原则简单些。现实原则通常都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统。数学模型作为数学抽象的结果，应不同程度以抓住支配现象的最基本的东西，能使人们对原型系统的认识更加容易，能够起到化繁为简、化难为易的作用。此外，数学模型自身也应当是简单的，即建立数学模型时，应尽可能采用简单的数学工具。

4.3反映性原则

数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式。数学模型与现实原型在表述的关系上就应有一定的相似性。

5 应用模式的框架

应用模式一般包括三部分：实物动作转化为数字信号，数据输入的部分；数字信号转化为实物动作，处理后决策信息输出的部分以及数学模型部分。数学模型是应用的核心部分，具有处理信息的功能，三部分构成应用模式统一整体。数学模型的建立一般包括以下几个步骤：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验、模型推广和应用，模型假设与模型建立是最重要的两个步骤，两者构成机理分析。我们认识事物的两大主线为：分割和联系的原则；公有性与灵活性相结合。我们把这两条主线应用到模型假设和模型建立的过程中，列举出常见的具体方法，使人们对数学建模有一个更为细致和全面的认识。

6 数学建模对大学生素质与能力的培养

前面我们不遗余力地分析了数学建模的各个方面，使大家对数学建模的概况有了基本的认识。现在我们开始讨论数学建模的主要体现方式，即：构造实际问题的数学模型，并对模型结果进行分析，检验，应用。其中，构造数学模型的探索过程，不仅可以提高学生应用数学的意识，而且也是加强教学与实际的联系，实施素质教育的一个重要方面。通过数学建模的训练可以培养和提高四个方面的思维能力：综合应用分析能力，“双向”翻译能力，联想能力和洞察能力。接下来，我们将引入一个具体实例，使得四个方面的思维能力在具体的例子中得到具体的体现。

6.1  问题的提出：

湖泊为人们提供了大量的水资源。除了饮用水外，还可以养鱼，运输，也是人们旅游的好处所。但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾以及工厂排放的废气等污染。它们越来越受到工业和生物污水的污染，如洗涤剂中的磷酸盐，杀虫剂中的DDT和各种重金属化学元素等。这些污染会杀死水中的鱼类和各种水生的动植物。过多的磷酸盐将导致水体富营养化而发出难闻的气味。湖水污染的治理工作是困难的，试针对湖泊的特点建模来描述湖水的污染问题。

6.2  问题的讨论：

湖泊的特点之一是湖水覆盖的区域比较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所污染的原因。湖泊污染的治理工作之所以困难是因为产生的污染现象还总是与社会的政治和经济上的因素有着千丝万缕的联系，不考虑这些因素很难得到全面的治理。通常治理水体污染的办法是依靠自然的过程，靠水体本身的自净能力来缓解污染。这对河流的污染治理一般是有效的，因为它一旦被污染通常可以很快地进行自我清洁，对于被污染的湖水来说却是一不是一件容易的事情，因为被污染的水体将相当长的时间留在湖中，仅仅依靠生物的降解作用，一个大的湖泊要花费多久的时间才能使它的污染程度有明显的改善呢？因此，一个湖泊中的水的平均保留时间对于湖水水质清洁的改善是非常重要的。显然，它是我们研究湖泊问题的关键参数。

通过上述的分析讨论，我们可以得到以下的三个结论：

（1）湖泊的污染问题受多方面因素的影响。

（2）湖泊的污染问题不能靠水体的自我清洁得以有效的解决。

（3）湖泊的污染问题与湖泊中的水的平均保留时间密切相关。

6.3  建模的准备：

通过2中的讨论，我们对湖泊的污染问题有了大致的了解，而且也找到了解决问题的方向。在实际问题中，最初的资料可能很多很繁杂。在充分占有资料的基础上，如何迅速地抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题层次，是数学建模的重要要求之一，即“洞察能力”。它是一种直觉地领悟，把握事物内在本质的能力，或简言之，这就是“一眼看穿”的能力。下面我们将通过对问题的进一步讨论和探索，运用“综合应用分析能力”（即用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析），使问题抽象成基本的数学模型。在这一分析过程中，我们将看到数学建模对思维能力的培养是不言而喻的。

首先，考虑2中的结论（1），由于污染源较多，我们不可能对各种物质（污染物）都进行分析，但介于它们对湖水都有影响，所以我们可以抽象出最本质的部分，即湖水中污染物的浓度，并以此来界定湖泊的污染状况。另外，由于污染物的流入与流出的渠道不同，且污染物的浓度导致与湖水的混合速度也不同，为了能够得到统一的处理方法，我们可以考虑将所有的“流入”合并成唯一的进入渠道，将所有的“流出”合并成唯一的输出渠道。同时，假设所有的污染物都是“速溶”的，不造成各个局部污染浓度的差异。

其次，2中的（2）使我们可以从宏观上忽略生物学因素，即忽略水体自净过程的作用，亦即，除流出外，污染物的腐烂沉积，蒸发等因素可忽略不计。

最后，2中的（3）提供了研究问题的重要参数，即湖水的保留时间。从另一个角度思考，即为排尽湖水所需要的时间。据自然常识，我们知道，湖水的含水量在不同的季节，受降雨量的影响。此外，由于天气的温度状况，还会引起蒸发较快的现象，并且将会影响流入物。

综上所述，我们可以建立一个理想的数学模型，该模型可以抽象为一个简单的“物理模型”：池水含盐问题。下面我们来引入这一问题：

（背景）池中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度的盐水。混合的盐水将从池的另一端流出。

以下，为了便于解决“污染问题”，我们现在用建模描述池中盐水浓度的动态：

（1）假设：

[1] 假设注入池中盐水迅速地与池中原有的盐水均匀混合，从而改变了池中盐水的浓度。

[2] 参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑。

（2）建模:

[分析]①由假设可知，池中盐水的体积和浓度将仅仅依赖于盐水注入的速度和流出的盐水

的速度和浓度。我们可以用数学符号把它们翻译过来：令r1(t),p1(t)分别表示盐水注入的速度和浓度，r0(t),p0(t)为盐水流出的速度和浓度，V(t)为池内盐水的体积，p(t)为池中盐水的浓度。显然，这些量都是关于时间t的函数，可以假设它们是充分光滑的（连续可导）

②由于(1)中的量都随时间连续变化，我们可以在较小的时间段内考虑这些量之间的变化关系。

③按照物质平衡原理，在时间段[t,t+*t]内，池中纯盐的改变量应等于在这段时间内流入的纯盐量与流出的纯盐量之差；池中的盐水体积的改变量应等于在这段时内流出的盐水体积与流入的盐水体积之差。

[求解]据分析易得，在较小的时间段[t,t+△t]内，

槽中纯盐水的改变量为：P(t+△t)V(t+△t)-P(t)V(t)

槽中纯盐水的流入量为：P₁(z)r₁(z)dz

槽中纯盐水的流出量为：P₀(z)r₀(z)dz

从而，有P(t+△t)V(t+△t)-P(t)V(t)= [ P ₁(z)r ₁(z)- P ₀(z)r ₀(z)] dz========= [P ₁ (t+µ△t)r ₁(t+µ△t)- P ₀ (t+µ△t)r ₀(t+µ△t)] △t

上式两端同除以△t，并令△t→0，取极限，得

[p(t)v(t)]=p₁(t)r₁(t)- p₀(t)r₀(t)

由假设知，P₀(t)=P(t)，则有

[p(t)v(t)]=p₁(t)r₁(t)- p (t)r₀(t)…………………………（1）

再讨论池中盐水的体积V(t)的变化。类假上面的讨论，利用在[t,t+△t]池中盐水体积变化的平衡关系，有

V(t+△t)-V(t)=[r₁(t+µ△t)- r₀(t+µ△t)] △t

等式两端同除以△t，并令△t→0，取极限，得

=r₁(t)- r₀(t) 即V(t)= [r₁(z)-r₀(z)]dz………………（2）

将（2）式代入（1）式，有

V(t) = r₁(t)[p₁(t)- p (t)]………………………………（3）

因此，已知r1(t),r0(t),p1(t)可由该方程描述池中盐水的体积V(t)和盐水的浓度P(t)的变化过程。

6.4建模（针对湖泊的特点建模来描述湖水的污染问题）

（1）假设：

①不区分不同污染物所造成的污染，以湖泊中污染物的浓度来标志湖泊污染的状况；

②不考虑从不同的渠道流入与流出湖泊的污染物之间的区别。把湖泊看成是一个单流入单流出的系统。（仅考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊中的水流出对湖水污染程度的影响）

③流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就是说湖泊的污染状况与任何局部水体在湖泊中的位置无关。

④参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑。

⑤不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用。污染物除流出外不因腐烂沉积或其他任何方式从湖中消失。

⑥湖中水体的体积保持常数，也就是说，假设由降水等引起的流入物的增量与被蒸发渗漏所造成的损失量互相抵消。不考虑湖水的体积在季节上的差别，并认为流入湖泊的水和从湖泊中流出的水的流速是常定的，而且是相等的。

（2）建模：

首先，用数学符号表示参与模型的变量：

    R1(t)为时刻t流入湖泊的水的流速；

    R0(t)为时刻t从湖泊中流出的水的流速；

P1(t)为时刻t流入湖泊中的污染物的浓度；

P(t)为时刻t湖水中污染物的浓度;

V(t)为时刻t湖水的体积。

这样，实际问题中的条件就被我们“翻译”成了数学语言。把实际问题经过一定抽象和简化，用数学语言表达出来，即是“双向翻译”能力之一。

    同时，由假设①--⑤可知，模型与准备中所讨论的模型一致。不少实际问题，看似完全不同，但在一定简化层次下，它们的数学模型是相同或相似的。这就是数学建模所能够

    培养的另一种能力——“联想能力”。它也是建模应用广泛性的体现，需要有广泛的兴趣，多思考，通过熟能生巧达到触类旁通的境界。

    其次，由假设⑥有r₁(t)= r₀(t)=r₁(常数)。从而，湖水体积V(t)=V也是常数，结合“建模的准备”中的（3）式有：

V=r₁(p₁(t)- p(t))

令z=v/r₁不难看出，参数z给出了排尽湖水所需要的时间，即湖水的保留时间。它是分析湖水污染问题的一个重要参数。这一点在前面也是提到。于是，湖水污染的模型就是

z= p₁(t)- p(t)

6.5 问题的补充：

由于模型的分析和模型的检验较为复杂且涉及到相关部门的保密数据，而我们主要讨论的数学建模与能力培养在这一过程中已基本得以体现，故在此不做赘述。需要补充的是，不同污染物对湖水的影响的行为特征其实是不同的。深入建模描述污染物现象时必须考虑到这些特征。至此，我们已基本完成了环境污染问题的讨论。

综合上述各点，数学建模的过程就是创造性思维的过程。数学建模训练对培养大学生创造性思维有独特作用。数学建模进入大学课堂，既符合教育改革的需要，又顺应时代发展的潮流。此外，数学建模不但包含了较广泛的数学基础知识和各种数学方法技巧，而且联系到各种各样实际问题的背景，如生物、物理、医学、化学、生态、经济、管理等等。这些对激发当代大学生扩大知识面以及开拓创新的精神，具有相当深远的影响。借由科学的知识体系和数学建模中科学的思维方法，当代大学生将更能够理智地立足社会，解决难题，推动社会事业不断向前发展。

7设计总结

    在这一次的毕业设计中，令我感触颇深的是数学建模的应用，已广泛深入到生活的各个领域。而在这一应用过程中，计算机技术显得至关重要。计算机技术的广泛前景和巨大的发展空间，为数学建模提供了宽广的未来，也为当代大学生提供了宽广的未来。毕竟，能力的培养是大学生立足社会的坚实基础。

数学建模对大学生思维能力的培养，绝不局限于文中涉及的几点。如同所有的学科领域，它拥有未知世界的无限魅力。在我们努力学习它的同时，必将潜移默化地收获更多的能力。

8 参考文献

[1] 叶其孝。大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，2000.

[2] 姜启源、谢金星、叶俊。数学建模（第二版），高等教育出版社，2003.

[3] 姜启源，等。数学实验。高等教育出版社，2001.

[4] 杨启帆，边馥萍。数学模型。浙江大学出版社，1990.

[5] 李尚志，等。数学建模竞争教程。江苏教育出版社，1996.

[6] (美)WILLIAMF.LUCAS。离散与系统模型。国防科技大学出版社，1996.