1、流动的分类与定义

在定常流中，任一点的参数不随时间变化，而在非定长流中，一点的参数可以随着时间发生变化。非定常流必须满足非定常流方程，定常流是非定常流的特例。在均匀流中，在任何瞬间，任何界面的平均速度相同，而在非均匀流中，在任何给定的瞬间，速度沿导管有变化。当流动状态每隔一个称作为振荡周期的固定时间间隔重复出现的时候，叫做定常震荡流动，或者称之为周期流动或者是脉动流动。而所谓管系流体的自由振动，是指在本系统的许多自然周期中的某一个周期上的衰减振动流。涌波是指那些可以将流体当做不可压缩。管壁看成刚体而进行分析的非定常流情况。

管系的共振是一种震荡现象。共振时，非定常震荡的振幅随着时间而增长，一直到发生事故或最后形成一个振幅异常大的定长震荡流为止，共振通常发生在其周期为该系统的自然周期之一或者靠近这个自然周期时，这一自然周期可以是基本周期，也可以是谢振周期。

2、瞬变的起因以及调节阀的作用

由于边界条件的变化（管子劈裂的情况除外），管系中的定常流会发生变化。有很多种可以引起瞬变流动的边界条件，经常要研究的常见的一些条件如下;

（1）阀门调整位置发生偶然或者是预定的变化

（2）泵的启动或是停止

（3）涡轮机所需功率的变化

（4）往复泵的作用

（5）改变水库的水位

（6）水库上的波浪

（7）涡轮机调速器振动

（8）泵、风机或者涡轮机中的叶轮或者是导叶振动

（9）可变形的一些附件的震动

（10）由于旋涡引起的引水管的不稳定

（11）不稳定的泵或者叶片特性

研究水锤通常涉及到分析上面包含一个或者是数个边界条件的管系的问题。

3、液柱分离和气体释放

（1）蒸汽形成

水锤不断损坏装在关系里的设备，还可以使得管子因内部过高的压力而破坏，或者是由于内部压力低于大气压而压瘪。当边界条件使得管子的上游减压时，液柱分离就可以在管系里发生。减小压力将引起一个向管系下游传递的压力脉冲，从而降低流体的速度，而下游的流体在水波到达之前，仍以其定长速度运动。管内这两部分流体速度的差别，势必使得液柱受到拉伸，而工业流体是无法拉伸的。当压力降低到蒸汽压力的时候，管内形成蒸汽穴。在一根不等高的管子里，液柱分离通常在剖面的一些高点之一的附近处形成，此空穴力图停留在此高点的下游一侧，同时有液体在奇穴下流过。

（2）气体释放

如果管内液体含有溶解的空气或者是其他气体，当压力降低到饱和蒸汽压力以下的时候，举例来说，比如压力从2个大气压下降到0.5个大气压时，就会在一般工业液体里通常所具有的许多核上形成气泡。

4、分析方法

所谓的管内非定常流的分析或综合的方法都是从运动方程、连续方程或者是能量方程加上状态方程和其他的物理特性关系式着手，从这些基本方程出发，加上一些不同的限制性假设，可得出不同的方法。

（1）算术法

这个方法忽略摩擦力,对于从B到A的压力脉冲波，其方程可以写成如下形式：

    （4-1）

B点的状况在L/a秒以后在A点出现，如果与已知，再加上另外一个L/a秒以后在A点的情况，也就是边界条件，可以将与确定下来对于从A到B传递的波速为：

                      （4-2）

这里，A点的状况比B的状况早L/a秒出现，多次应用这一方程，加上所要求的边界条件，瞬变解就可以建立并且计算出来，这个方法一直沿用到三十年代初，以后产生了图解法。

（2）图解法

图解法在理论推导过程中忽略了摩擦力但是想办法进行修正而将摩擦力进行考虑，积分形式的数学方程可以适合于图解法，因为他们在H-V图上画出来是直线，从三十年代初到六十年代初，图解法是解决瞬变流的主要方法，现在，逐渐被数字计算机所取代。            

（3）特征线法

特征线法把两个偏微分方程变换成为四个全微分方程，然后将这些方程表示成为有限差分的形式，利用规定时间间隔的方法，通过计算机进行求解。

特征线方法具有很多的优点：

1）稳定性准则可以断然建立

2）边界条件可以很容易的编程程序

3）较小项，如果需要，则可以保留

4）可以处理非常复杂的系统

5）在所有的有限差分法中具有最好的精度

6）因为定常状态满足所有的条件，所以程序很容易调整，而且程序编排的误差可以根据偏离定常状态的变化量显示出来

7）是一个很详尽的方法，可以印出全部表格化的结果

（4）代数法

代数方程基本上是声脉冲波在敷管范围内在“+”和“-”方向的两个代数方程。它们使用这样的办法进行书写，即把时间写成一个下标，第二个下标用时间来表示在管线中的位置。一个特别的优点是这些方程可以适应于几个管段而使用和单管段相同的时间增量，另外一个重要的优点是在时间上的最先几步很容易求解出，这提供了瞬变流综合的基础。

（5）隐式法

中心格式隐式法是一种有限差分法，可以成功地用来求解某一类非定常流问题。这类方法最广泛的应用是在非定常表面流的计算方面。然而，其他的场合也已经使用它。这个方法特别适用于惯性力和蓄漕或流容效应比起来，并不重要的场合。当涉及到复杂系统时，这个特性童工了比其它方法有更大适应性的方案。然而，对于系统每一个时间步长的所有未知数需要联立求解。当应用到水锤问题时，在时间步长与距离间隔关系中，为了维持满意的精度，需要遵守库朗条件，这种情况下，此方法就失掉了优越性。

（6）线性分析方法

将摩擦项线性化，略去运动方程中其他的非线性项，对于正弦波震荡性运动，可以得到方程的解析解。这些分析可以分两类进行研究：由强迫函数（即容积式排液泵）所建立的定长震荡性脉动以及管子的自由振动。研究管系的自由振动，并不要求知道强迫函数的特性，而是决定系统的自然频率，提供当强迫力停止后震荡的阻尼速率。对于定长震荡的研究也称之为阻抗法。用谐和分析法，复杂的强迫函数可以分解成为一簇正弦波移动，每一个正弦波的移动可以利用方程组来求解，把这些解叠加起来，就得到完全的解。

（7）其他方法

其他的瞬变流动方法也有所应用。伍德、道奇和拉托那有一个波面分析法，这个方法是跟踪波面上的反射。对于气体的瞬变流动，抛物型的偏微分方程，运动型方程和连续性方程已经变为程序，并利用了一些特殊的限定条件，以便于保持解的稳定性。拉区夫曾经利用伽辽金方法建立了隐式法。

5、瞬变流的基本微分方程

（1）运动方程

                        （5-1）

这个式子也只是限于液体流动。方程的水力坡度线形式要来的简单一些，因为其中没有管线的斜度。此方程对于定常流必然成立（定常流是非定常流的一种特例），若令，，方程变化为：

                          （5-2）

这就是达西-威斯巴哈公式。

（2）连续性方程

                       （5-3）

后两项代表对于质点运动的倒数，因此可以写成：

                        （5-4）

其中：

                           （5-5）

这个方程对于收缩管或者是扩张管都是成立的，因为没有做什么简化设定，所以对于十分柔软的管子或者是对于气体流动也是使用的

6、水锤计算的特征线法

泵站水锤的计算是对整个水泵抽水装置进行计算分析，包括管道内点及与管道连接的泵装置中的各部分（边界点）。在水锤计算中，对于管道系统内点的计算是求解水锤基本方程，即由运动方程和连续性方程组成的双曲型偏微分方程组。为了实现计算机的编程计算，需采用特征线方法将该偏微分方程组离散化，为此，先沿特征线方向将它转换为水锤全微分方程：

                       （6-1）

由上式进行有限差分近似，可以得到对应于图2的水锤离散特征线方程

             （6-2）

解上述方程可得：

               （6-3）

式中：

； ；；     （6-4）

7、泵站水锤的计算模型

（1）水泵端边界条件

事故停泵水锤计算的水泵端边界条件是由水泵的压头平衡方程及机组惯性方程所组成的非线性方程组。在求解水泵边界条件的过程中，需要运用水泵全特性曲线，即包含水泵各种可能的正常与反常运行工况的四象限性能曲线。

（2）水泵的全特性曲线

泵在各种不同运行工况的特性，可用水泵的无量纲扬程、无量纲流量、无量纲转速和无量纲转矩等4个特性参量表示。由于水泵的四象限全特性曲线在计算机求解过程中十分不方便，为此，本计算采用瑞士学者Suter根据泵的相似准则提出的适用于水锤计算的泵全特性曲线表示方法，即用作横座标，用和作纵座标表示的全特性曲线。

由Suter全特性曲线，水泵的瞬态扬程可表示为：

           （7-1）

由于WH曲线是以89组数据形式输入计算机储存的，因此可采用线性插值的方法计算任意时刻的瞬态扬程：

                   （7-2）

设任意点的WH值位于其离散数据第与点之间，则有如下线性插值系数的表达式：

（3）水泵端的水头平衡方程

水泵边界如图2-2-1所示，管线中泵的压力水头应满足如下条件：即在忽略进水短管损失的条件下，任意瞬时泵的工作扬程H应等于阀出口压力水头加上阀门的瞬态阻力损失与进水池水位El之差，即：

                             （7-4）

式中，可由出水管道的相容性方程表示：

                    （7-5）

水泵的瞬态流量为泵的无量纲流量v与额定流量之积：

                          （7-6）

（4）水泵机组的惯性方程

停泵后，水泵机组转子由于惯性作用而减速旋转，其减速的快慢取决于机组转动部分的惯性矩及作用于泵的瞬态力矩。描述泵机组转矩与转速变化特性的方程是机组的惯性方程，它是水泵端边界条件的另一特性方程。可表示为：

           

（5）水泵端边界条件的求解

分别对水头平衡方程和机组惯性方程进行整理，可得求解事故停泵水锤的水泵端边界条件：

式中 ：。

F₁和F₂是一组包括两个未知量的非线性代数方程组，可采用Newton-Raphson迭代方法求解。

（6）泵出口阀门的表示

阀门的压力水头损失可表示为

式中：为阀全开、流量为时的压力水头损失；为阀的无量纲开度；为泵的无量纲流量。在计算中，阀在任意瞬时的行程开度可根据关阀程序线性插值确定，进而计算其相应的无量纲开度。

8、特殊导管内的波速

（1）厚壁弹性管

对于和管径相比管壁比较厚的那些管子，管壁内的应力并不是到处都是均匀分布的。在这种情况下，例如当直径和厚度比大约小于25时，应当采用下列修正系数：

情况a    管子只在上游固定

情况b    管子全线固定，不允许纵向运动

情况c 全线有膨胀接头

在厚壁管子里，约束的形式对于波速影响不大，可以看到，当厚度e变得很小的时候，上述的每个系数趋近于相应的薄壁管。

（2）圆隧道

当厚壁管方程中的厚度e变得越来越大，就趋向于，把这个值带到方程中，可以得到：

这个方程可以用来计算通过坚硬的岩石或者混凝土管道内的波速，与分别是隧道材料的刚度模量与泊松比。

（3）带衬圆隧道

隧道里加一个和隧道材料接触的钢衬，其中的波速比无衬的隧道要增加一些。如果钢以及隧道的泊松比影响都略去不计，那么方程中的系数可以采用一个简单的表达式：

（4）钢筋混凝土管

钢筋混凝土管中的压力脉冲速度可以这样来估算：用一个当量钢管来代表实际的管子，这个当量钢管的厚度以管内混凝土厚度以及所加的钢筋为依据，将混凝土对钢的模量比乘以混凝土厚度得出当量钢管的厚度，考虑到混凝土管可能有裂缝，可以留一些余地。

对于加衬隧道可以建立包括泊松比影响的方程组，但是，大多数的情况下，这个因素的附加精度是不保证的，因为，另外一些不确定的因素似乎也是同等重要的。其他一些可能是相当重要而尚未研究的因素有：流体体积模数的非线性特性、截面不圆、某些管子材料的非线性特性、摩擦损失、弹性损失以及滞后损失。

（5）塑料管

如果采用适当的体积模数以及泊松比，则为金属管所建立的公式在计算塑料管内的波速时也是比较准确的。

（6）矩形和其他非圆形截面管

对于非圆截面，如果这一项可以估算出来，那么理论波速就可以从方程中计算得到。詹克娜曾经计算过正方形和矩形两种情况。

对于边长为B厚度为e的正方形管道有：

右边第一项是边的拉伸边长所引起的，第二项是由于各边的弯曲引起的，一般来说，第一项是可以忽略不计。

对于宽为B高为D的矩形截面，忽略由于伸长增加的面积得到：

其中，R是矩形系数，由下式确定：

这里

索利和过茂曾经研究过带剪切变形以及拉伸变形与弯曲的矩形厚壁管。在宽度与厚度比为15时，剪切与拉伸占面积变化的10-12%，对于大的宽厚比，剪切与拉伸项可以略去不计。

第二篇：两相流理论读书报告

两相流理论读书报告

摘  要：通过文献调研，本文阐述了两相流研究的重要意义，较为详细的概括了两相流的分类及研究方法，重点分析了三种数值模拟方法的理论基础以及数值模拟在湍流燃烧中的应用。

关键词：文献调研，两相流，数值模拟，燃烧

两相流是以工程热物理学为基础，为满足能源、动力、化工、石油、航空、电子、医药等工业进步的要求，而与数学、力学、信息、生物、环境、材料、计算机等学科相互融合交叉而逐步形成和发展起来的一门新兴交叉学科。两相流早日形成统一的学术理论和成熟的应用技术，对21世纪全球所面临的生态环境和能源资源两个焦点问题的解决将有很大的推动作用，是人类在21世纪可持续发展中面临的重大技术问题之一。该工程领域的突破能促进全球能源与环境经济的进步。

在瓦特(Watt)发明蒸汽机以后，随着工业技术的发展,两相流的研究开始得到重视。两相流的术语在20世纪30年代首先出现于美国的一些研究生论文中；1943年,苏联首先将这一术语应用于正式出版的学术刊物上；其后1949年在J.Ap-pl.Phys杂志上也出现了两相流(two-phase flow)这一名词。中国对于两相流的研究起步于20世纪60年代。20世纪80年代以来,除相关论文以外，陆续出版了一些关于两相流的教材和专著，如陈之航(1983)、陈学俊、林宗虎、张远君等(1987)、方丁酉(1988)、周强泰(1990)、周力行、李海青(1991)、吕砚山(1992)、刘大猷(1993)、郭烈锦(2002)、林建忠(2003)等。

虽然有如此多的文献和著作，但两相流的研究历史还不是很长，对于两相流的理论研究尚处于发展阶段，大量的问题还是靠试验和经验来解决，严格地从数学角度建立数学模型来解决问题，是两相流成为系统的科学还需要一个过程。

1 两相流的分类

   相是具有相同成分和相同物理、化学性质的均匀物质部分,即相是物质的单一状态，如固态、液态和气态。在两相流动的研究中通常称为固相、液相和气相。一般来说，各相有明显的分界面。两相流就是指物质两相同时并存且具有明显相界面的混合流动。相的概念在不同学科中界定有所不同。

在物理学中：物质分固、液、气和等离子体四相或四态。单相物质及两相混合均匀的气体或液体的流动都属于单相流；同时存在两种或两种以上相态的物质混合体的流动称为两相或多相流。

在多相流体力学中：从力学的观点来看,不同速度、不同温度和不同尺寸的颗粒、液滴或气泡具有不同的力学特性,因此可以是不同的相。对于颗粒相大小很分散的两相流，可以按颗粒大小相近的原则分组而使其动力学性质相似,不同的组用不同的动力学方程来描述,这样的两相流也称为多相流。从物态的角度来看,不同物态、不同化学组成、不同尺寸和形状的物质也可能属于不同的相。

两相流动中,把物质分为连续介质和离散介质。气体和液体属于连续介质,称为连续相或流体相;固体颗粒、液滴和气泡属于离散介质,称为分散相或颗粒相。流体相和颗粒相组成的流动称为两相流。这里颗粒相可以是不同物态、不同化学组成和不同尺寸的颗粒,从而使复杂的多相流动简化。两相及多相流广泛存在于自然界和工程中,常见的分为气液两相流、气固两相流、液固两相流、液液两相流及多相流。

2 两相流研究方法

两相流的研究方法同单相流体力学的研究方法一样,也分为理论研究、实验研究和数值计算三种方法。对于两相流体力学而言,由于许多两相流动现象、机理和过程目前还不甚清楚,许多工程问题大多依靠大量的观察和测量建立起来的经验关系式,因此实验研究与测量在两相流领域目前仍占有十分重要的位置。数值计算方法在两相流领域近年来得到了快速的发展,在两相流方面起到了越来越重要的作用。本读书报告仅对数值模拟方法做简要概括。

3 湍流流动模拟

自然环境和工程装置中的流动常常是湍流，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。对于某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统计理论来分析，但实际上的湍流往往是不均匀的，给理论分析带来了极大困难。

湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，表现出非常复杂的流动状态，主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计性。传统计算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。

直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场脉动的细节信息。大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到比雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。

3.1直接数值模拟 (DNS)

湍流直接数值模拟(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N - S 方程组，计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维流场中的时间演变。

（1）控制方程

用非定常的N - S 方程对湍流进行直接计算， 控制方程以张量形式给出:

（2）常用数值方法

由于最小尺度的涡在时间与空间上都变化很快，为能模拟湍流中的小尺度结构，具有非常高精度的数值方法是必不可少的。

（3）谱方法或伪谱方法

谱方法或伪谱方法是目前直接数值模拟用得最多的方法，其主要思路为，将所有未知函数在空间上用特征函数展开，成为以下形式：

                       

其中，与，都是已知的正交完备的特征函数族。在具有周期性或统计均匀性的空间方向一般都采用Fourier级数展开，这是精度与效率最高的特征函数族。在其它情形，较多选用Chebyshev多项式展开，它实质上是在非均匀网格上的Fourier展开。此外，也有用Legendre， Jacobi， Hermite或Laguerre等函数展开，但它们无快速变换算法可用。如将上述展开式代入N-S方程组，就得到一组所满足的常微分方程组，对时间的微分可用通常的有限差分法求解。

在用谱方法计算非线性项例如的Fourier系数时，常用伪谱法代替直接求卷积。伪谱法实质上是谱方法与配置法的结合，具体做法是先将两量用Fourier反变换回到物理空间，再在物理空间离散的配置点上计算两量的乘积，最后又通过离散Fourier变换回到谱空间。在有了快速Fourier变换(FFT)算法以后，伪谱法的计算速度高于直接求两Fourier级数的卷积。但出现的新间题是存在“混淆误差”，即在做两个量的卷积计算时会将本应落在截断范围以外的高波数分量混进来，引起数值误差。严重时可使整个计算不正确甚至不稳定，但在多数情形下并不严重，且有一些标准的办法可用来减少混淆误差，但这将使计算工作量增加。

（4）高阶有限差分法

高阶有限差分法的基本思想是利用离散点上函数值 的线性组合来逼近离散点上的导数值。设 为函数的差分逼近式，则

  

式中系数 由差分逼近式的精度确定，将导数的逼近式代入控制流动的N - S 方程，就得到流动数值模拟的差分方程。差分离散方程必须满足相容性和稳定性。

（5）直接数值模拟的特点

①直接数值求解N-S方程组，不需要任何湍流模型，因此不包含任何人为假设或经验常数。

②由于直接对N - S方程模拟，故不存在封闭性问题，原则上可以求解所有湍流问题。

③能提供每一瞬时三维流场内任何物理量（如速度和压力）的时间和空间演变过程，其中包括许多迄今还无法用实验测量的量。

④采用数量巨大的计算网格和高精度流体力学计算方法，完全模拟湍流流场中从最大尺度到最小尺度的流动结构，描写湍流中各种尺度的涡结构的时间演变，辅以计算机图形显示，可获得湍流结构的清晰与生动的流动显示。

DNS的主要不足之处在于：要求用非常大的计算机内存容量与机时耗费。据Kim ，Moin &Moser 研究，即使模拟Re仅为3300 的槽流，所用的网点数N 就约达到了 ，在向量计算机上进行了250 h。

3.2雷诺平均方法(RANS)

雷诺平均模拟（RANS）即应用湍流统计理论， 将非定常的N - S方程对时间作平均，求解工程中需要的时均量。利用湍流模式理论，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。

（1）控制方程

对非定常的N - S 方程作时间演算， 并采用Boussinesp 假设，得到Reynolds 方程

式中，附加应力可记为，称为雷诺应力。

这种方法只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，体现到雷诺应力中。由于雷诺应力在控制方程中的出现，造成了方程不封闭，为使方程组封闭，必须建立湍流模型。

（2）湍流模型

目前工程计算中常用的湍流模型从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封闭模型，或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq 的涡粘性假设的涡粘性封闭模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。

雷诺应力模型

雷诺应力模型(RSM)从Reynolds应力满足的方程出发，直接建立以为因变量的偏微分方程， 将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来，并通过模化封闭。封闭目标是雷诺应力输运方程:

    

式中 是雷诺应力再分配项， 是雷诺应力扩散项， 是雷诺应力耗散项。

典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论，由于保留了Reynolds应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，极大地限制了二阶矩模式的应用。

涡粘性模型

涡粘性模型在工程湍流问题中得到广泛应用。这是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds应力为，

                     

这里是湍动能，称为涡粘性系数，这是最早提出的基准涡粘性模式，即假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确定后，六个雷诺应力只需要通过确定一个涡粘性系数就可完全确定，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k，耗散率，比耗散率w以及其它湍流量，，，根据引入的湍流量的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常见的，k-w模式，以及后来不断得到发展的，q-w，k-l等模式，涡粘性系数可以分别表示为

雷诺平均方法的优点为

① 对计算机的要求较低，同时可以得到符合工程要求的计算结果。

②一旦给定合理的Reynolds应力模型，可以很容易地从RANS方程解出湍流的统计量，所需要的计算资源小。

③几乎能对所有雷诺数范围的工程问题求解，并得出一些有用的结果。

其不足之处在于：

① 对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds应力模型，甚至对于同一类型的问题，对应于不同的边界条件需要修改模型的常数。

②由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不足，不能用来对流体流动的机理进行描述。

③对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模型条件的限制，很难得到满意的计算结果。

④严重依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算很大程度上依赖于经验。

常用的湍流模型有：

零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型，由Baldwin-Lomax给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e模型，以及k-omega模型。

1、零方程模型

   上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl的混合长度理论、Taylor的涡量输运理论、von Karman的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。零方程模型直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，由于不涉及代数关系故称为零方程模型： 

其中称为涡粘系数，与分子的运动粘性系数有相同的量级。对于一般的三维的情况，上式可写为：

K为单位质量的湍流脉动动能。为了发展上述方法，需要建立与平均速度之间的关系。1925年，普朗特提出混合长度理论，认为存在这样的长度，在此长度内流体质点运动是自由的，称为混合长度。由于湍流漩涡的作用，到达新位置后他会低于当地周围的平均速度，此即流向脉动速度，显然，此速度差取决于当地的平均速度梯度与微团沿向跳动的距离，即：

此表示在此距离内微团沿向脉动时基本不丧失其原有速度。实际测量表明，虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级，因此有：

所以有：

由此可算出涡粘性系数为：

由此可见，若假设不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例，这与实验结果是一致的。

   混合长度理论已成功用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流剪切流。

目前应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax模型，该模型对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较好。但是实际上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。

2，、一方程模型

   一方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性也比较好，B-B模型和S-A模型是典型的单方程模型。特别是S-A模型，从经验和量纲分析出发得出了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型系数，具有良好的鲁棒性和计算准确性，目前已经被集成在各种商业软件和科学计算的代码中，在航空航天领域的空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。

S-A模型常被认为介于B-L代数模型和两方程模型之间。由于其容错功能好，处理复杂流动的能力强，已得到广泛应用。与B-L模型相比，其湍流涡粘场是连续的。且容错性好，计算量少。该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。S-A模型不同于其他一些单方程模型，是直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型计算量小和稳定性好，同时又有较高的精度。由于模型方程的因变量函数在对数律区内与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。另外，模型是非当地型的，方程中没有诸如y+这类当地型的项在内，所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。

3、两方程模型

上世纪70年代，Launder发展的k-模型被称为标准k-模型，它求解湍流动能k及湍流动能耗散率的输运方程，能够反映一定的湍流物理量的输运特性，是两方程湍流模型的先驱性工作。之后研究人员又发展了重整化群k- (RNG k-)模型、可实现性k-模型等，进一步强化了k-系列模型的计算性能。另外一个系列的两方程模型为模型系列，其中比较有代表性的有标准模型和SST模型。一般来说，k-模型对高Re数充分发展的湍流模拟结果较好，而模型改进了k-模型对受壁面影响湍流模拟的缺陷，对壁面附近的湍流模拟精度较高。

（1）k-模型

k-模型是分别引入关于湍动能k和耗散率的方程：

       

其中：

 

模型中各通用常数据计算经验可取为：

标准K-ε模型的特点：

可用于边界层型流动和分离流；近壁需修正或在计算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件；属于涡粘模型；ε方程模化不确定因素多，可靠性差；模型常数通用性差；不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）；不能计入涡量的影响。

除此之外还有各种改进的模型，比较著名的是RNG模型和带旋流修正的模型。

（2）k-ω模型

    标准模型是基于Wilcox模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。Wilcox模型预测了自由剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。标准模型的一个变形是SST模型。

SST模型由Menter发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于模型，使得在近壁自由流中模型有广泛的应用范围和精度。为了达到此目的，模型变成了公式。SST模型和标准模型相似，但有以下改进：（1）SST模型是由标准的模型和变形的模型分别乘上一个混合函数相加得到的，在近壁面混合函数将为1，此时启用标准模型，在远壁面，混合函数将为0，此时启用变形的模型。（2）SST模型合并了来源于方程中的交叉扩散。（3）湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。（4）模型常量不同。这些改进使得SST模型比标准模型在在广泛的流动中有更高的精度和可信性。

 SST模型的方程为：

式中：——由层流速度梯度而产生的湍流动能；

——K和的扩散率；

——K和的扩散率；

—— K和的发散项；

——正交发散项。

4、其他模型

其他形式的湍流模型涡粘系数输运（SA）模型(3方程)，雷诺应力模型（2阶矩模型）、雷诺应力模型方程（7方程模型）。

一阶矩模型在工程湍流计算中获得了很大的成功，但它们存在一些本质上的缺陷，即这些模型均是基于Boussinesq线性各向同性的假设，导致雷诺正应力在三个方向上的分量相等，这与很多实际的湍流流动矛盾。因此，一阶矩模型对强逆压梯度下的流动、强分离流动、二次流、存在旋转和曲率效应的复杂湍流等预测精度较差，需要进行相应的修正。

二阶矩模型，即雷诺应力输运模型，通过求解雷诺应力各个分量的输运方程来封闭雷诺应力项，可以考虑湍流的各向异性及历史效应，理论上具有一阶矩所不能及的模拟复杂流动的能力。我国周培源教授首次建立了雷诺应力的输运方程组，1951年Rotta在这个基础上发展了完整的雷诺应力模型。他们的工作是最早的奠基性工作。Launder、Reece和Rodi对二阶矩模型进行了标定，建立了著名的LRR二阶矩封闭模型。后来很多研究者又提出了多种形式的二阶矩模型。不同二阶矩模型之间的区别在于扩散性、压力．应变率关联项和耗散项的具体模化形式，其中最关键的是压力。应变率关联项的模化，但到目前为止对这一项的模化还是不成熟。尽管二阶矩模型模拟复杂湍流流动理论上具有较大的优势，但它需要求解6个雷诺应力的强非线性方程及附加的湍流动能耗散率的方程，鲁棒性较差，计算量较大，而且实际流场中的计算精度并不不尽如意，因此在很大程度上限制了二阶矩模型在工程中的应用。后来Rodi提出把雷诺应力输运方程简化为代数应力模型(Algebraic Stress Model，ASM)的思想。假设雷诺应力的输运正比于湍流动能k的输运，带入压力．应变率关联项和湍流动能耗散率的模型，从而得到代数应力模型。ASM模型不考虑雷诺应力的时间和空间导数，比较合理地对二阶矩模型进行了简化。介于一般意义上的一阶矩和二阶矩模型之间，另外重要的一类湍流模型即为非线性涡粘性湍流模型。尽管它的推导过程与代数应力模型不同，但在表达形式上完全相同。Pope指出虽然非线性涡粘性模型和代数应力模型在推导时所基于的出发点不同，但他们在数学上是等价的。非线性涡粘湍流模型的基本思想是改进Bousincsq假设的线性应力．应变本构关系，采用非线性的多阶表达式。早在20世纪70年代，Lumley和Pope就已经给出雷诺应力的通用非线性表达形式。非线性模型的二阶项可以反映雷诺应力的各向异性，三阶项可以反映流线弯曲及旋转效应等。

3.3 大涡模拟（LES）

湍流大涡数值模拟（LES）是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值模拟手段。利用次网格尺度模型模拟小尺度湍流运动对大尺度湍流运动的影响即直接数值模拟大尺度湍流运动， 将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。

（1）基本思想

湍流运动是由许多尺度不同的旋涡组成的。那些大旋涡对于平均流动有比较明显的影响，而那些小旋涡通过非线性作用对大尺度运动产生影响。大量的质量、热量、动量、能量交换是通过大涡实现的，而小涡的作用表现为耗散。流场的形状，阻碍物的存在，对大旋涡有比较大的影响，使它具有更明显的各向异性。小旋涡则不然，它们有更多的共性，更接近各向同性，因而较易于建立有普遍意义的模型。基于上述物理基础，LES把包括脉动运动在内的湍流瞬时运动量通过滤波分解成大尺度运动和小尺度运动两部分。大尺度通过数值求解运动微分方程直接计算出来，小尺度运动对大尺度运动的影响在运动方程中表现为类似于雷诺应力一样的应力项，该应力称为亚格子雷诺应力，通过建立模型来模拟。即实现大涡数值模拟，首先要把小尺度脉动过滤掉，然后再导出大尺度运动的控制方程和小尺度运动的封闭方程。

（2）滤波函数

大涡模拟首先要流动变量划分成大尺度量和小尺度量，这一过程称之为滤波。滤波运算相当于在一定区间内按一定条件对函数进行加权平均，其目的是滤掉高波数而只保留低波数，截断波数的最大波长由滤波函数的特征尺度决定。目前较为常用的滤波函数主要有以下三种：Deardorff 的盒式(BOX)滤波函数、富氏截断滤波函数和高斯(Gauss)滤波函数。

不可压常粘性系数的湍流运动控制方程为N-S 方程:

   

式中：S 拉伸率张量，表达式为：；分子粘性系数；流体密度。设将变量分解为方程(11)中和次网格变量(模化变量)，即，可以采用Leonard提出的算式表示为:

（11）

式中称为过滤函数，显然G(x)满足

 

                                          

（3）控制方程

将过滤函数作用与N-S方程的各项，得到过滤后的湍流控制方程组：

               

       

由于无法同时求解出变量和，所以将分解成，即称为次网格剪切应力张量(亦称为亚格子应力)。

由此动量方程又可写成：

式中代表了小涡对大涡的影响。

（3）常用的亚格子模型

目前，在大涡模拟中经常广泛采用的亚格子模型有标准的Smagorinsky模型、动态涡粘性模型、动态混合模型、尺度相似模型、梯度模型、选择函数模型等。其中Smagorinsky模型被广泛应用。

（4）大涡模拟的特点

①能够描述小尺度湍流流动，但是计算量远小于DNS，在科学研究和工程应用上都显示出良好的发展前景。

②用非均匀网格能够使网格数达到最少，节省计算资源，同时又能够保证足够的计算精度。

③网格尺度比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节。

④相较于RANS方法，LES可以模拟更多的湍流大尺度运动，LES所用的湍流亚网格应力模型受边界的几何形状和流动类别的影响小，比 RANS方法所用的Reynolds应力更具普适性。

其不足之处在于：

①小涡模型网格节点的划分极密集，需要庞大的计算机存储能力;

② 大量数据处理和非线性偏微分方程的求解需要高速数值处理能力;

③仅用于比较简单的剪切流运动及管流。

④ 由于实际湍流极其复杂， 数值模拟仍需要非常可观的计算时间和实验经费。

4 湍流燃烧与数值模拟

（1）湍流燃烧基本概念

当流动雷诺数数较小时，由于流体粘性的作用，流体呈层流流态。当流动的特征雷诺数超过相应的临界值，流动从层流转捩到湍流。湍流燃烧是指湍流流动中可燃气的燃烧，在能源、动力、航空和航天等工程领域,经常遇到的实际燃烧过程几乎全部都是湍流燃烧过程。湍流燃烧实质是湍流，化学反应和传热传质等过程相耦合的结果。湍流对燃烧的影响与湍流强度和湍流涡旋尺度有关。小尺度湍流通过湍流扩散使火焰区内的输运效应增加，从而使化学反应速率增加。但气流脉动不会火焰面产生皱褶，只能把火焰变成波纹状。大尺度湍流对火焰内部结构没有影响，但使火焰阵面出现皱褶，增加其燃烧面积，造成火焰表现传播速度增加。当湍流强度及湍流尺度均较大时，火焰前沿不再连续而分裂成四分五裂。

燃烧对湍流的影响主要表现在燃烧释放的热流流团膨胀，影响气体的密度和运动速度，从而影响当地的涡旋，湍流强度和湍流结构。

（2）湍流燃烧分类

湍流燃烧按其燃料和氧化剂的初始混合状态可以分类为：湍流非预混燃烧、预混燃烧和部分预混燃烧。在湍流非预混燃烧燃料和氧化剂事先是分离的，燃料和氧化剂一边混合一边燃烧，燃烧速率主要受湍流混合过程控制，而在湍流预混燃烧中，燃料和氧化剂在进入核心燃烧区以前已经充分混合，化学反应的速率由火焰前缘从炽热的燃烧区向冷态无反应区的传播所控制。上面两种燃烧方式是湍流燃烧的两个极限情形，很多情况下两种燃烧模式是并存的，称为部分预混燃烧。部分预混燃烧可出现在下列情形中叫： ①在一个完全以非预混燃烧为配置的燃烧装置发牛了局部熄火；②当预混火焰前缘穿过非均匀的混气时； ③射流非预混火焰发生抬举，其根部是一个典型的部分预混火焰。这三种部分预混燃烧情形涉及了经常受到关注的燃烧研究话题如局部熄火、火焰稳定等，它们对研究湍流燃烧过程的机理有很大意义。

在湍流燃烧中,湍流流动过程和化学反应过程有强烈的相互关联和相互影响.湍流通过强化混合而影响着时平均化学反应速率,同时化学反应放热过程又影响着湍流,如何定量地来描述和确定这种相互作用是湍流燃烧研究的一个重要内容.

湍流是非常复杂的，它包括湍流问题，湍流与燃烧的相互作用，流动参数与化学动力参数之间的耦合机理等问题。因此湍流燃烧是工程科学中最复杂的领域之一。

湍流燃烧的研究已进行多年，研究的方法有试验研究，理论分析和数值模拟等。计算流体力学和计算机技术的发展，数值模拟由于于它的廉价性和可操作性在国际上受到越来越多的重视，得到了广泛的应用。

湍流燃烧的模拟方法有前面提到的的三种方法：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。

（3）湍流燃烧的简化PDF模型

湍流燃烧概率分布函数（PDF，Probability Density Distribution Function）模型是基于统计力学和概率论的分析方法。PDF的概念一开始提出的是设定或者假定PDF的方法，也叫做简化PDF方法，并且用于扩散控制的湍流燃烧中。后又提出了简化PDF—局部瞬时平衡模型和简化PDF—有限反应率模型。20世纪80年代，Pope发展了更为系统的PDF模型，即PDF输运方程模型。

简化PDF概念

假设有一个随机函数f在0~1之间随时间作随机变化。该函数出现在“”到“+”区间的概率为，就成为概率分布函数（PDF）。显然应当有：

知道了PDF，则f的统计平均值和脉动均方值可以由下列公式确定

湍流燃烧的简化PDF模型中引入守恒量混合分数f，由于f是随机量，可采用一个合适的概率分布函数来描述f的脉动性质。如果已知，各标量的平均值都可求出。如果事先给定一个概率分布函数通过求解混合分数时均及脉动量均方值方程，用得到的和来确定概率分布函数中的常数。它把反应速率时均值的计算问题变成了和微分方程的求解。湍流燃烧的简化或设定PDF模型既用于快速反应的燃烧系统,也用于有限反应率。

应该说PDF方法是解决有限反应速率和污染物生成等诸类湍流燃烧问题的最合适和最理想的方法,但联合概率密度函数求解的复杂性和计算量之大给其在工程中的广泛应用带来了很大的困难.。

湍流燃烧数值模拟经过多年的发展，已经取得了长足的进步，并获得了可喜成绩。现在湍流燃烧数值模拟主要研究热点在以下几个方面：

①通过湍流燃烧实验，深入了解湍流燃烧的机理，建立更准确的模型。

②引入新概念和新理论，建立湍流燃烧模型。（分形模型、相关火焰模型等）

③一些高级模型开始进入工程实用领域。

④目前湍流燃烧模型的研究热点集中在Flamelet模型以及PDF输运方程模型的进一步发展与完善上。

⑤详细化学反应模型已开始得到应用。

参考书籍

[1]周力行.湍流两相流动与燃烧的数值模拟.北京：清华大学出版社，1991.

[2]唐学林.固-液两相流体动力学极其在水力机械中的应用.黄河水利出版社，2006.

[3]（美）大卫.阿兹贝尔.化学工程中的两相流.化学工业出版社,1987