惯性秤实验

【实验目的】

1.       了解惯性秤的构造并掌握用它测量惯性质量的方法。

2.       研究物体的惯性质量与引力质量之间的关系。

3.       研究重力对惯性秤的影响。

【仪器用具】

惯性秤，砝码（5）及砝码夹（其惯性质量等于一个砝码），铁架台，数字毫秒计。

【实验原理】

    惯性质量和引力质量是两个不同的物理概念。万有引力方程中的质量称为引力质量，它是一

物体与其它物体相互吸引性质的量度，用天平称衡的物体就是物体的引力质量；牛顿第二定律的

质量称为惯性质量，它是物体的惯性度量，用惯性秤称衡的物体质量就是物体的惯性质量。

    当惯性秤沿水平固定后，将秤台沿水平方向推开约1cm，手松开后，秤台及其上面的负载将

左右振动。它们虽同时受重力及秤臂的弹性恢复力的作用，但重力垂直于运动方向，对物体运动

的加速度无关，而决定物体加速度的只有秤臂的弹性恢复力。在秤台上负载不大且秤台的位移较

小的情况下，实验证明可以近似地认为弹性恢复力和秤台的位移成比例，即秤台是在水平方向作

简谐振动。设弹性恢复力（为秤臂的弹性系数，为秤台质心偏离平衡位置的距离）。

根据牛顿第二定律，可得

                    （1）

式中为秤台的惯性质量，为砝码或待测物的惯性质量。用除上式两侧，得出

                                               （2）

此微分方程的解为（设初相位为零），式中为振幅，为圆频率，将其代入（2），可得

                            .

因为，所以

.                   （3）

设惯性秤空载时周期为，加负载时周期为，加负载时周期为，则从式（3）可得

，      ，

               （4）

从上式中消去和，得

                （5）

此式表示，当已知时,则在测得、和之后，便可求出。实际上不必用上式去计算，可以用图解法从图线上求出未知的惯性质量。

先测出空秤（=0）的周期，其次，将具有相同惯性质量的砝码依次增加放在秤台上，测出相应的周期为、……。用这些数据作图线（图1）。测某物体的惯性质量时，可将其置于砝码所在位置（砝码已取下）处，测出其周期为，则从图线上查出对应的质量，就是被测物的惯性质量。

惯性秤必须严格水平放置。否则，重力将影响秤台的运动，所得图线将不单纯是惯性质量与周期的关系。

为了研究重力对惯性秤运动的影响，还可从下一种情况去考虑。

水平放置惯性秤，用细线将一圆柱体吊在铁架上，使圆柱体位于秤台圆孔中（图2）。当秤台振动时，带动圆柱体一起运动，圆柱体所受重力的水平分力将和秤臂的弹性恢复力一起作用于秤台。这时测得的周期，要比该圆柱体直接搁在秤台圆孔上时的周期小，即振动快些。

【仪器介绍】

1．  惯性秤

惯性秤是测量物体惯性质量的一种装置。惯性秤不是直接比较物体的加速度，而是用振动法比较反映物体运动加速度的振动周期，去确定物体的惯性质量的大小。

如图3所示，将秤台和固定平台用两条相同的片状钢条连接起来，固定在铁架台上就是一个惯性秤。秤台上有一圆孔，用以固定砝码或待测物，也用以研究重力对惯性秤的影响。

【实验内容与要求】

1.              水平放置惯性秤,分别测量惯性秤上加每个砝码时的周期(砝码夹作为秤台的一部分固定

在台上)。若各个周期之间差异不超过1%，在此实验中可以认为它们具有相同的惯性质量。可以取一个砝码作为惯性质量单位。

周期的测量  将光电门上的照明灯和光电二极管分别和数字毫秒计的“低压输出”以及

“光控”端相连。使用数字毫秒计能测周期的功能部分——“时标信号选择”，用1ms档。如图4，使惯性秤前端的挡光片位于光电门的正中间，用手将惯性秤前端扳开约1cm，松开惯性秤使之振动，数字毫秒计上第一次显示的即振动周期。每次测量都要将惯性秤扳开同样远。每个周期4——6次。

2．      用测得的周期作图线，横坐标取为砝码的个数，纵坐标取测量的周期。

3．      将待测物（要做成和砝码同样外形，加上后不致改变秤台的质心的位置）夹在秤台上，

测量其周期，从图上查出其惯性质量。

4．      用物理天平称衡各砝码及待测物的引力质量。

在惯性秤误差范围内（即对应的质量范围），从这些数据分析，你对惯性质量和引力质量得出什么结论：（1）二者相等？（2）互成比例？（3）毫无关系？

5．      研究重力对惯性秤的影响

水平放置惯性秤，将圆柱体作铁架通过长约50cm的细线铅直悬吊在秤台的圆孔内（图

2），测量秤台的振动周期和直接将圆柱体停放在圆孔上测得的周期进行比较，两者有何不同？

【注意事项】

1.           要严格水平放置惯性秤，以避免重力对振动的影响。

2.           必须使砝码和待测物的质心位于通过秤台圆孔中心的垂直线上，经保证在测量时有一固定不变的臂长。

3.           秤台振动时，摆角要尽量小些（5°以内），秤台的水平位移约在1—2cm即可，并且使各次测量时都相同。

4.           从式中（3）可得

                        .           （6）

此即惯性秤的灵敏度，越大，秤的灵敏度越高，分辨微小质量差异的能力越强。而为曲线上点对应的斜率。从此式可以看出要提高灵敏度，须减小和，并且待测物的质量也不宜太大。

【思考问题】

1.           何谓惯性质量？何为引力质量？在普通物理力学课中是怎样表述二者的关系的？

2.           怎样测量惯性秤的周期，测量时要注意什么问题？

3.           惯性秤放在地球不同高度处测量同一物体，所测结果能否相同？如果将其置于月球上去做此实验，结果又将如何？用天平做以上的称量将如何？用弹簧秤测又将如何？

4.           处于失重状态的某一空间里有两个完全不同的物体，能用天平或弹簧秤区分其引力质量的差异吗？能用惯性秤区分其惯性质量的差异吗？

5.           作图线并分析  惯性秤的振动周期的平方是否与其上负载成比例，如果成比例估计空秤的惯性质量是多少？

第二篇：利用MATLAB辅助处理惯性秤实验数据

利用MATLAB辅助处理惯性秤实验数据

摘要：MATLAB是一个功能强大的数值计算和图形处理软件，能有效帮助我们利用计算机求解常见的科学计算问题。本文先对MATLAB软件进行简单介绍，继而就普通物理实验之惯性秤实验，用绘图以及曲线拟合两种方法对实验数据进行处理，再将结果与实际值比较得出结论。并以此说明MATLAB软件在处理普通物理实验数据时，比传统方法优越，应在物理专业学生中进行推广。

关键词：MATLAB；惯性秤实验；数据处理

1 MATLAB软件介绍与其在物理实验中的运用

1.1 普通物理实验的数据处理与MATLAB语言结合

普通物理实验课的目标为：（1）学习基本实验方法和操作技能，在观察、测量与分析中，加深对物理学的认识；（2）学习实验的物理思想，为用实验方法探索问题有一定的基本训练；（3）培养学生的思维能力，主要是分析问题、解决问题和提出问题的能力，增强学生的素质，以适应学生各种可能的发展方向^[1]。综合以上三个目标，就是要加强对学生的素质的培养,对深化学生的实践能力、培养创新意识非常重要,也是物理专业学生今后从事各项科学研究和工程实践的基础。因此,在普通物理实验中,要加强对物理实验数据处理方法的改进,就是要合理运用科学计算软件MATLAB进行实验数据处理,有效地提高物理专业学生学习物理的兴趣和学习效率。

1.2  MATLAB是一门非常适合实验数据处理的语言

MATLAB (Matrix Laboratory,矩阵实验室)软件是一个非常适用于科学计算的数学软件,是国际科学界应用范围最广泛和影响力最强的三大计算机数学语言之一。目前已成为国际公认的最优秀的科技应用软件,在国外的高等院校里, MATLAB语言已经成为大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本语言,鉴于其重要性,国内也有许多高等院校开展了这方面的教学,并在各专业课程的教学中应用越来越广泛^[2] 。因此探索和利用MATLAB对普通物理实验数据进行处理对提高学生的科学计算能力非常重要。MATLAB语言是一门简单易用的程序设计语言,初学者只用花费较少的时间就能掌握;它有强大的科学计算及数据处理能力,可以帮助完成理工科专业课程中诸多的数值计算、频谱分析等操作;还有非常好的数据可视化功能,能够快速、准确、形象、直观地得到计算机模拟与仿真图像;应用广泛的模块集和工具箱,可用于不同领域的科学研究;图形用户界面可用于应用程序设计等等。若将其引入普通物理实验数据处理,能够有效提高物理学专业的学生对物理实验数据的处理能力,真正提高学生的专业素质。

1.3 MATLAB在普通物理实验中的运用

1.3.1 多组数据同时计算的数据矩阵表达

在普通物理实验数据处理中,实验数据的处理经常是用同一个公式反复进行计算,实验中的一组或多组测量数据在MATLAB中可作为矩阵存储并进行运算,利用矩阵可以同时对一组或多组实验数据进行加、减、乘、除、乘方等运算。因此,使用MATLAB编程,实现利用计算机的快速计算,继而有效地取代原本重复、繁琐的手工计算,由此可以为我们节省出大量的时间用于其他课程的研究和学习。

1.3.2 实验数据处理结果可视化

图形是分析、说明问题和显示结果的最好方式,绘图求解实验结果是数据处理中常用的方法,MATLAB中有许多方便的绘图函数^[3],如: plot (基本绘图函数)、subplot (绘制子图函数)、mesh (绘制网格图)等；而且能绘制一维的、二维的，甚至三维的图像。对比于费时、费力的传统手工绘图,描点、画圆滑曲线时人为的随意性,坐标原点的选取、坐标比例是否合适都会对处理的结果产生影响，引入原本不必要的误差。如果使用MATLAB中的绘图函数,可以快速准确地标出实验数据点并绘制出拟合曲线。

1.3.3 曲线拟合

对于普通物理实验的数据处理，很多时候需要通过找寻两组或多组数据之间的关系，从而确定各量之间的函数关系；或只知道某个经验函数及相关实验数据，但其参数待定，此时如果用MATLAB软件进行曲线拟合，可以方便、快捷地求得待定参数，使函数关系从未知变为已知。

1.4 使用MATLAB处理物理实验数据的意义

MATLAB是一种功能强大、运算效率很高的数学工具软件^[4]。与其他的计算高级语言相比，具有十分明显的优点:(1)操作和使用方法非常简单;（2）丰富的内部函数能够解决许多基本运算;（3）强大的图形功能可以用图形的方式表达计算结果，编程直观简洁^[5]。

用M ATLA B编程来替代手工实验数据处理，这样大大提高了数据处理的效率，避免了手工数据处理中一些人为的误差因素^[6]。

能够直接观测到实验数据的变化规律，加深学生对知识的理解，减小实验处理过程中的人为误差，并提高工作效率，培养学生运用现代教育技术的能力^[7]。

学生在处理物理实验数据的同时，锻炼了使用计算机的能力，对提高学生的计算机水平有较大帮助^[8]。

在数据处理中使用该软件，可减少计算工作量，得到准确的拟合曲线^[9]。

我们利用计算机软件—MATLAB语言进行编程，对数据进行处理，使学生从大量繁琐的计算中摆脱出来，将精力投入到探索实验的物理意义中去，在培养大学生创新思维方面具有极其重要的意义^[10]。

2 惯性秤称量惯性质量实验

2.1仪器和用具

惯性秤、周期测定仪、定标用标准质量块（共10块）、待测圆柱体。

图1是惯性秤的一例，其主要部分是两根弹性钢片连成的一个悬臂振动体A，振动体的一端是秤台B，秤台的槽中可插入定标用的标准质量块。A的另一端是平台C，通过固定螺栓D把A固定在E座上，旋松固定螺栓D，则整个悬臂可绕固定螺栓转动，E座可在立柱F上移动，挡光片G和光电门H是测周期用的。光电门和周期测试仪用导线相连。立柱顶上的吊杆I用以悬挂待测物，研究重力对秤的振动周期的影响。

2.2实验原理

当惯性称的悬臂在水平方向做微小振动时，由于在水平方向仅仅受到悬臂的弹性恢复力的作用，其振动周期T由下式决定：

                           （1）

式中，m_o为振动体空载时的等效质量,m_i为秤台上插入的附加质量块的质量，k为悬臂振动体的劲度系数。将式（1）两侧平方，改写成：

                        （2）

上式表明，惯性秤水平振动周期T的平方和附加质量m_i呈线性关系。当测出各已知附加质量m_i所对应的的周期值T_i，可作T²—m直线图（图2）或T—m曲线图（图3），这就是该惯性秤的定标曲线，如需测量某物体的质量时，可将其置于惯性秤的秤台B上，测出周期T_j，就可以从定标曲线上查出T_j对应的质量m_j，即为被测物体的质量。

2.3实验内容

2.3.1惯性秤的定标

惯性秤的定标就是测定各已知质量块m_i置于秤台上时的周期值T_i，作定标线（T²—m或T—m），或求出线性拟合式T²=a+bm的参数a、b值。利用定标线或此拟合式，就可以从未知质量物体的周期值求出其质量。

2.3.2测待测物质量

将待测物置于秤台中央的孔中，测振动周期T_j，根据定标曲线求出其质量（或用拟合式计算）^[1]。

3 实验数据及处理

3.1实验数据

3.1.1 质量块振动时间数据

表1  放置标准质量块时的振动时间记录表

Table 1  Placing the standard mass vibration time sheets

注：所记录时间为10个周期。

表2  放置未知质量块时的振动时间记录表

Table 2  Placing the unknown mass vibration time sheets

注：所记录时间为10个周期。

3.1.2质量块m_x1、m_x2的实际质量

m_x1=103.7500g         m_x2=189.5000g

3.2数据处理

3.2.1 用MATLAB绘制惯性秤的定标曲线

在MATLAB中编写如下程序语言：

clc,clear,close all        %清理数据存储空间

A=[3.35 3.37  3.37  3.36;4.04  4.05 4.05  4.04;4.65 4.66 4.64 4.63;5.16    5.17 5.18 5.18;5.65  5.66 5.65 5.66;6.14  6.12 6.14 6.15;6.58  6.58  6.59    6.60;7.00 7.00  7.00 7.01;7.58 7.59  7.58 7.62;8.00  8.03  8.05 8.05; 8.39  8.41 8.41 8.45]

%输入标准质量块所对应10个周期的振动时间t，存于矩阵A中

B=A./10        %算出标准质量块所对应1个周期的振动时间T，存于矩阵B中

C=mean(B,2)    %算出每个质量块周期的平均值，存于向量C中

D=C.^2        %算出每个质量块周期的平方，存于向量D中

E=0:25:250     %输入各标准质量块质量，存于向量E中

figure(1)       %建立绘图窗口

plot(E,D,'-*')    %绘制惯性秤定标曲线，其中参数 ‘-*’ 将图线绘制为实线并用*号标注数据点位置

xlabel(‘标准质量块质量m_i/g’)    %标注横坐标

ylabel(‘周期的平方T²/s²’)       %标注纵坐标

title(‘惯性秤定标曲线’)      %标注图像名称

运行程序得下图：

 

3.2.2 计算两未知质量块的振动周期之平方值

在MATLAB中编写如下程序语言：

F=[5.77  5.77   5.78    5.78;7.31    7.33    7.33    7.35 ];  %输入两个未知质量块10个周期内的振动时间t，存于矩阵F中

G=F./10 ;  %算出每个未知质量块的振动周期T，存于向量G中

H=mean(G,2) ;  %算出每个未知质量块的振动周期T的平均值，存于向量H中

I=H.^2   %算出每个未知质量块的振动周期T的平方值T²，存于向量I中

运行该段程序得如下结果：I =  0.3335       0.5373

由此可知 T²_mx1=0.3335 s²    T²_mx2=0.5373 s²

3.2.3 在定标曲线上找出未知质量块m_x1、m_x2的质量

在MATLAB中编写如下程序语言：

clc,clear,close all       

A=[3.35  3.37  3.37  3.36; 4.04  4.05  4.05  4.04; 4.65  4.66  4.64  4.63; 5.16    5.17  5.18  5.18; 5.65  5.66  5.65  5.66; 6.14  6.12  6.14  6.15;

6.58  6.58  6.59    6.60; 7.00  7.00  7.00  7.01; 7.58  7.59  7.58  7.62;

8.00  8.03 8.05  8.05; 8.39    8.41  8.41  8.45]  

B=A./10 ;        C=mean(B,2) ;    D=C.^2  ;       E=0:25:250  ;  

figure(1)      

plot(E,D,'-*')   

xlabel(‘标准质量块质量m_i/g’)    

ylabel(‘周期的平方T²/s²’)     

title(‘惯性秤定标曲线’)    %以上，为绘制定标曲线

hold on  %在定标曲线图的基础上再画图

x1=[0,250];

y1=[0.3335,0.3335]; y2=[0.5373,0.5373]; %确定四个点（0,0.3335）、（250，0.3335）、（0,0.5373）和（250,0.5373）

plot(x1,y1,'-g')  %以绿色实线绘制m_x1振动周期平方所在线段

plot(x1,y2,'-k')  %以黑色实线绘制m_x2振动周期平方所在线段

运行该程序得下图：

 

由图可见，未知质量块m_x1、m_x2之振动周期平方所在线段分别与定标曲线相交于A、B两点，接下来在MATLAB图形窗口内使用放大按钮不断放大A点的局部图像（注意要将放大按钮放在交点处进行点击），直至x轴上的坐标值相同为止，从放大的焦点局部图6中可以读出交点A的横坐标近似值为106.0237g. 同样的方法，从图7中读得B点横坐标的近似值为188.6307g.

 

综上，得到两未知质量块质量分别为：m_x1=106.0237g，m_x2=188.6307g.

3.3.1用线性拟合式T²=bm+a计算两未知质量块的质量

在MATLAB中编写如下程序语言：

clc,clear,close all      

A=[3.35 3.37    3.37    3.36;4.04   4.05    4.05    4.04;4.65   4.66    4.64    4.63;5.16    5.17    5.18    5.18;5.65   5.66    5.65   5.66;

6.14   6.12    6.14    6.15;6.58    6.58    6.59    6.60;7.00   7.00    7.00    7.01;7.58   7.59    7.58    7.62;8.00    8.03    8.05    8.05;

8.39   8.41    8.41    8.45];    

B=A./10  ;  C=mean(B,2) ;

y=C.^2   ;   %算出每个质量块周期的平方，存于向量y中

x=0:25:250 ;  %输入各标准质量块质量，存于向量x中

F(:,1)=x.^1;    %创建等价的线性方程组的系数矩阵F的第1列

F(:,2)=x.^0;    %创建等价的线性方程组的系数矩阵F的第2列

b(:,1)=y;       %创建等价的线性方程组的常向量b

a=F\b          %求等价线性方程组Fa=b的最小二乘解

运行程序得到如下结果：

a =

    0.0024

0.0944     %注意：a中的系数按降幂排列

因此，线性拟合式为 ：                          （3）

由之前的计算结果知：T²_mx1=0.3335 s²      T²_mx2=0.5373 s²   

将这两个数值代入式（3）计算得 m_x1=99.6250g     m_x2=184.5417g

4  软件处理所得结果与真实值的比较

 用绘图的方法处理所得两质量块：m_x1的质量为106.0237g，m_x2的质量为188.6307g，其真实值为m_x1=103.7500g，m_x2=189.5000g.显而易见，用绘图的方法处理所得结果与真实值相比，在误差允许的范围内近似相等。

 用拟合式计算得两质量块：m_x1的质量为99.6250g，m_x2的质量为184.5417g，其真实值为m_x1=103.7500g，m_x2=189.5000g.可见，拟合式计算所得结果与真实值差距较大，误差也较大。究其原因：标准质量块太少，而且其质量差比较大。因此，拟合出来的计算式与实际计算式存在无法避免的差异，最后导致计算结果与实际不相符。

结论

综上所述利用MATLAB辅助处理物理实验数据，能大大提升数据处理能力。可以避免很多因为人工处理数据时所引入的误差，克服人工处理时的随意性，从而提高实验结论的准确性和可靠性。惯性秤实验首先就要求描绘定标曲线，使用MATLAB软件的绘图和曲线拟合命令，能很快速到结论，从而节省处理数据的时间，提高学习效率。作为一名准老师，在以后的中学物理教学中有效地结合MATLAB软件，能有效帮助学生理解和掌握物理概念，提高教学效果。

参考文献：

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[2]万慧军，罗小兵，杨建平. 基于MATLAB提升大学物理实验数据处理能力[J].长春师范学院学报(自然科学版)，2010，29(3)：59-60.

[3]王正林等. 精通MTLAB科学计算[M].北京：电子工业出版社，2007.

[4] Robert J.Schilling,Sandra L.Harris. Fundamentals of Digital Signal Processing Using MATLAB[M]. Thomson Learning,2005.

[5]陈玉珠. Matlab在物理实验数据处理中的应用[J].长春师范学院学报(自然科学版)，2005，24(3)：35-36.

[6]祝宇红，朱玮. MATLAB在近代物理实验数据处理中的应用[J].实验技术与管理，2006,23(4)：39.

[7]赵立萍，左桂鸿，张军等.基于MATLAB大学物理实验数据处理[J].实验技术与管理，2012(12)：122.

[8]赵明骅，吴贤俊. 利用Matlab语言对物理实验数据进行处理[J].四川教育学院学报，2002,18(7)：71.

[9]吕春兰，郎成. 基于MATLAB的物理实验数据处理[J].大学物理实验，2002,15(2)：77.

[10]杨文艳，王晓峰，董晓龙. Matlab软件在大学物理实验中的应用[J].重庆科技学院学报(自然科学版),2012,14(4)：184.

Utilizing MATLAB to process the data of inertia balance experiment assistantly

Abstract: MATLAB is a kind of powerful software used to deal with the value calculation and graphics processing, which can help us to cope with the common problems about scientific calculation effectively. First of all, the article will present the MATLAB simply, using drawing and curve to process the experimental data. Then the conclusion will come out by comparing the result with the actual value. At the same time, showing that the MATLAB is superior to the traditional methods in the common physics experiment processing. And it is should be popularized among the students whose major is physics.

Key words: MATLAB; Inertia balance experiment; Data processing