中学物理教学中薄透镜焦距测量实验的误差分析
摘要：在光学成像作图中透镜的焦点是一个非常重要的参考点，而焦距是计算成像位置的一个重要物理量。本文根据薄透镜焦距测量的原理，综合了常见的改进措施来进行实验，利用误差分析理论对测量结果进行分析，从而提高了中学实验中测量薄透镜焦距的准确性。同时，进一步说明误差分析理论在物理实验中的重要作用。
关键词：薄透镜；焦距；误差分析；凸透镜成像
1 引言
薄透镜焦距测量是一个中学物理课程中必做的实验之一[1]。为提高薄透镜焦距测量的准确性，在尽量减小其他因素引入的误差的情况下，分析实验的误差是很有必要的。薄凸透镜焦距测量的基本方法有：物距像距法、二次成像法（贝塞尔公式法）、自准直法等。由于薄透镜焦距测量是中学物理实验中简单易做的一个实验，其实验结果直观、实验过程容易，因此实验教学中此实验占有重要的作用。本文分析了薄凸透镜焦距测量几种方法之间的差异，在考虑中学物理实验教学的基础上分析实验误差的大小，比较各种方法之间的教学难易程度，得出中学物理实验中相对较好的薄透镜焦距测量实验方案。
2 薄透镜成像的实验原理
把玻璃或透明塑料等光学材料磨成薄片使其两表面都为球面或有一面为球面，对平行光线具有汇聚或发散作用，即成为透镜。凡中间部分比边缘部分厚的透镜称为凸透镜；凡中间比边缘部分薄的透镜称为凹透镜。连接透镜两球面曲率中心的直线称为透镜的主轴，包含主轴的任一平面，称为主平面，透镜都制成圆片形，并以主轴为对称轴。圆片的直径称为透镜的孔径，物点在主轴上，由于对称性，任意主平面内的光线分布都相同，故通常只研究一个主平面内的情况[2]。
透镜两表面在其主轴上的间隔称为透镜的厚度。若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略，则称为厚透镜；若可略去不计，则称为薄透镜。
2.1薄透镜成像的公式
如图1所示，在近轴光线的条件下，薄透镜成像的高斯公式为[3]：
（1）
故 
（2）
式中
为像距，
为物距，
为像方焦距。
图1薄透镜成像图[3]
Fig. 1 The thin lens imaging
应用上式时必须注意各物理量所适用的符号法则。一般文献和标准规定：距离自参考点(薄透镜光心)量起，与光线行进方向一致时为正，反之为负。运算时已知量需添加符号，未知量则根据求得结果中的符号判断其物理意义。
2.2测量薄凸透镜焦距的三种方法
实物成实像法[3]是用实物作为光源，它发出的光线经过凸透镜折射以后，在一定条件下可以成实像，可以用白屏接收实像来观察。通过测量物距、像距，并将其代入（2）式即可求得透镜的焦距
。而二次成像法如图2所示，当物体
与屏
之间的距离
大于
时，保持不变，透镜置于物体和白屏之间，移动透镜的位置，则会在屏上两次成像。透镜这两个位置之间的距离的绝对值为
，利用物像的共轭性质容可以证明
（3）
在这种方法中只要测出和，就可以求出焦距
。
图2二次成像法[3]
Fig. 2 The secondary imaging
自准直法测焦距如图3所示，当把尖头棒P放在透镜L的物方焦平面上时，由P发出的光线经过透镜以后成为了平行光，在透镜的后方放一个与透镜的主光轴垂直的平面镜M，则平行光线经过平面镜M反射后仍为平行光，光线沿原来的路线反方向进行，最终成像P’于物平面上。P和L之间的距离就是透镜的像方焦距。
图3自准直法[3]
Fig. 3auto-collimation
3.实验内容
3.1等高共轴调节
1、粗调，将所有的光学元件放在光具座上，使它们尽量靠拢，用眼睛观察、调节各元件上下、左右的位置，使它们的中心大致在与导轨平行的一条直线上，并且使各元件的平面相互平行且垂直于光具座导轨。
2、细调，利用透镜二次成像法来判断是否共轴并调节共轴。为了便于找到大像和小像的位置，并且调节他们的中心位置重合，现在白屏上面垂直中线上粘贴一个精度为1mm的刻度尺[4]，采用这个改进的白屏做实验，只要记下二次成像大、小像在刻度尺上的位置读数，根据位置读数的差值来调整物屏的位置，直至大、小像的位置读数相同。注意在调节时，以小像中心为目标，调节透镜或者物体的上下位置，逐渐使大像的中心靠近小像中心，直至二者完全重合。同理调节透镜的左右位置，使大像和小像的中心位置完全重合。
3.2实验步骤
3.2.1实物成实像法
在具有箭头开孔的物屏前面加一个薄凸透镜[5]，使光源放在此薄透镜的焦点上，经过透镜的光线成为平行光照射物屏，这样增加了光通量，使成像更清晰[6]。固定物屏，将透镜摆放在距离物屏一倍焦距以外的地方，移动白屏，直到屏上出现清晰的像，记录物屏、透镜及像屏的位置，根据式（2）就可以计算出焦距。依次向右移动透镜的位置，并且移动白屏，寻找清晰的像的位置，记录每次物屏、透镜、像屏的位置，用上述公式计算出多组焦距，求出平均值。
3.2.2二次成像法
将物屏与白屏固定在相距大于的位置，测出它们之间的距离，移动透镜，使屏上出现清晰的像，移动透镜到另外的位置，使屏上又得到清晰的像，分别记录两次成像时透镜的位置，将测得的数据代入（3）式即可求出。依次向右移动像屏的位置，移动透镜分别找到两次成像的位置，记录物屏、像屏、及成大像和小像的位置，将每组数据代入公式（3）即可就得多组焦距，计算平均值。
3.2.3自准直法
取下白屏，换上平面镜 ，使平面镜与系统共轴，改变物屏与透镜之间的距离，并适当的调整平面镜的方位，直到在物屏上看到清晰的且与物等大的像为止。测量透镜和物屏的位置，它们之差即为透镜的焦距。重复上面的过程，多测量几组数据，求出平均值。
3.3数据记录及处理
3.3.1实物成实像法
所用仪器为：光具座、光源、物屏、薄凸透镜、像屏。从左到右依次摆放各个仪器，记录物屏的位置为
、凸透镜的位置为
以及像屏的位置
。总共测量20次，将所有的测量数据记录在表1中。
表1 实物成实像法的测量数据
Tab. 1 The measured date of physical objects into the real image
注：上表中，物距在凸透镜的左侧，与光线的行进方向相反，根据符号法则知物距应取负值。像距在凸透镜的右侧，与光线的行进方向相同，则应该取为正值。
（4）
不确定度的计算[7]
1.直接测量值的标准不确定度的A类分量
测量的平均值
的实验标准差
（5）
取的标准不确定度的A类分量
（6）
2.直接测量值的标准不确定度的B类分量
物屏位置和凸透镜位置的测量使用的是分度值为1mm的米尺，所以米尺极限误差为
，则由米尺引入的标准不确定度为
（7）
3.对于被测量量
的合成标准不确定度为
（8）
所以的测量结果为
（9）
3.3.2二次成像法
所用仪器为：光具座、光源、物屏、薄凸透镜、像屏。从左到右依次摆放各个仪器，记录物屏的位置为、像屏的位置为
，物屏和像屏位置之差的绝对值为的长度；凸透镜成大像时的位置为
，凸透镜成小像时的位置为
，二者之差的绝对值为的长度。总共测量20次，将所有的测量数据记录在表2中。
表2二次成像法的测量数据
Tab. 2The measured date of secondary imaging
注：上表中，和均取绝对值代入公式中进行计算即可得所测透镜的焦距。
（10）
1.直接测量值的标准不确定度的A类分量
测量的平均值的实验标准差
（11）
取的标准不确定度的A类分量
（12）
2.直接测量值的标准不确定度的B类分量
物屏位置和凸透镜位置的测量使用的是分度值为1mm的米尺，所以米尺极限误差为，则由米尺引入的标准不确定度为
（13）
3.对于被测量量
的合成标准不确定度为
（14）
所以的测量结果为
（15）
3.3.3自准直法
所用仪器为：光具座、光源、物屏、薄凸透镜、平面镜。从左到右依次摆放各个仪器，记录物屏的位置为
、凸透镜的位置为
，二者之差为所测凸透镜的焦距。总共测量20次，将所有的测量数据记录在表3中。
表3自准直法的测量数据
Tab. 3The measured date of auto-collimation
注：上表中，物屏的位置在左边，凸透镜的位置在右边，所以用凸透镜的位置减去物屏的位置即为所测凸透镜的焦距。
平均值为
（16）
1.直接测量值的标准不确定度的A类分量
测量的平均值的实验标准差
（17）
取的标准不确定度的A类分量
（18）
2.直接测量值的标准不确定度的B类分量
物屏位置和凸透镜位置的测量使用的是分度值为1mm的米尺，所以米尺极限误差为，则由米尺引入的标准不确定度为
（19）
3.对于被测量量的合成标准不确定度为
（20）
所以的测量结果为
（21）
4.结论
（1）从实验原理来看，实物成实像法主要是根据薄凸透镜成像的高斯公式，通过测量物距像距，并代入公式来得出焦距。二次成像法是寻找凸透镜成大像、小像的位置，需要测量的量比较多。自准直法是最简单的一种测量方法，它只需要测出物屏、透镜的位置，二者之差即为所测透镜的焦距。
（2）用三种方法对同一薄凸透镜焦距进行多次重复测量，得到以下结果（各测20次，
）：
实物成实像法： （22）
二次成像法： （23）
自准直法： （24）
从上述结果可以看出，用二次成像法测得的结果最为精确，不确定度的结果最小，用自准直法测得的结果误差较大，不确定度的结果最大，用实物成实像法测得的结果较自准直法来说误差较小。
由于薄凸透镜焦点的测量，误差主要来源于测量成像平面与成像光轴和光具座读数位置之间的位置误差。对于实物成实像法来说，主要的测量误差来源于对物屏位置、凸透镜位置以及像屏位置的测量，对二次成像法来说，主要的测量误差来源于物屏位置、像屏位置、凸透镜成大像的位置和小像的位置的测量，对于自准直法，测量的误差来源主要是物屏位置和凸透镜位置的测量。对于米尺不均匀的误差[8]，可以采用多次测量，每次变换测量起点的位置，最后计算平均值的方法来消除。
对于三种方法的偶然误差主要来源于人眼的观察，成像清晰度引起的误差，人眼对成像清晰度的分辨能力有限，所以观察到的像在一定范围内都清晰，又因为球差的影响，清晰成像位置会偏离高斯像[9]。
（3）在上述三种测量方法中，二次成像法用于比较准确的测量凸透镜的焦距，这个方法是中学生必须掌握的实验方法，实物成实像法应用的是光学中的基本公式，在解决薄凸透镜成像的问题中具有重要的应用，也是中学生必须掌握的一种测量方法，然而对于课堂上有限的时间，我们更应该选择测量方法比较简单教授中学生在仔细调整成像的基础上能够完成的自准直法。
参考文献
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[10] C. H. Bernard, Laboratory experiments in college physics. John Wiley & Sons, Inc. New York,( 1972) P. 305.
The thin lens measurement and error analysis in the middle school physics studies
Abstract: The focus of lens is a very important reference point in the optical image drawing, and the focal distance is an important physical quantity in calculation of the imaging positions. This thesis, based on the principle of thin lens focal length measurement, employs several common improving methods to make experiments. Using the error analysis theory, we analyze the measured results, thus improve the accuracy of thin lens focal distance in middle school experiment. At the same time, further explains the error analysis theory plays an important role in physics experiment.
Key words: the thin lens; focus of lens; error analysis; the convex lens imaging