一题多变，多题归一

各位评委.老师你们好：

我今天说题的题目是《一题多变，多题归一》，下面我将从原题再现、说题目立意、说解答策略、说思想、说教学价值、说变式及拓展延伸、小结这7个方面加以说明：

一.  原题再现:

20##年贵州省黔西南州中考数学第26题

26．（16分）（2013?黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二.  说题目立意：

本题主要考察了二次函数的图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，以及读图、类比、构造基本图形、分类、转化、分析解决问题的能力。

  此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环环紧扣，对学生思维的敏捷性、分析能力、计算能力的要求较高，总之，此题注重基础，强调能力，立足课标，关注学生能力的发展。

三.  说解答策略：

本题第1问，求抛物线的函数解析式．

分析：由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，用待定系数法即可求出抛物线的解析式为：

本小题重点考察用待定系数法求抛物线的解析式，难度较小，大多数学生不会失分。

第2问，设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标

分析：根据平行四边形的性质，对边平行且相等，当OA为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，且如图可知对称轴为直线可以x=﹣1，即可求出点D的坐标（﹣3，3）或（1，3）；但有些学生没有注意分类讨论:点D在对称轴的左侧还是右侧： 

第3问，P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：学生经过审题将会发现PM⊥x轴，而AM 在x轴上，则△AMP必为直角三角形，而△BOC要与其相似，首先必须满足是直角三角形，由点的坐标：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，∵BO²+CO²=BC²，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，接下来分两种情况讨论：①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．

解决第三问的关键是明确分类对象，画出相应图形；

①若△AMP∽△BOC，则=，

即x+2=3（x²+2x），

得：x₁=1/3，x₂=﹣2（舍去）．

当x=1/3时，y=7/9，即P（1/3，7/9），

②若△PMA∽△BOC，则=，

即：x²+2x=3（x+2），

得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）

当x=3时，y=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（1/3，7/9）或（3，15）．

四.  说思想：

本题是一道函数与几何综合题，渗透了数形结合思想、转化思想、类比思想、方程思想、分类讨论等数学思想方法，启发了学生构造基本图形，培养图形识别和观察能力，而且有效地考查了学生对知识的迁移、重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。

五、说教学价值：

（1）通过本题我们可以感受到函数知识和相似三角形是初中数学的核心知识。相似三角形对应边成比例，成为初中数学有关线段长度计算的重要途径和工具。

（2）大多数压轴题中，中间量的计算还是通过建立方程来解决。在教学中应给学生建立起这样一个观念：将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来建立方程，平时应加强这方面的训练。

（3）分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。在教学中应向学生强调：必须确定分类标准，要正确进行分类，做到不重、不漏

（4）解决问题的关键--------找准“题眼”。

“题眼”在于某一个特殊图形中。（如一对相似三角形、某个直角三角形）

“题眼”在于某个思想方法中。（如分类讨论问题中，如何进行分类讨论）

六、说变式及拓展延伸

变式一：

将以AO为边的四边形AODE是平行四边形改为以A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形，条件弱化了，这时候要分两种情况讨论：OA是作为平行四边形的边还是对角线进行求解。

变式二：

将P是抛物线第一象限的一动点改为P是抛物线上的一动点，弱化了条件，则结论又必须分一、二、三三个象限进行讨论求解。增加了解题的难度，但是思路却没变，还是利用三角形相似进行求解。

变式三：

将以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似改为全等。考查学生三角形的另一个知识——三角形全等。

拓展延伸一：浅谈三等角（直角型）

1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP⊥PC，则△ABP∽△PDC。

这是一道三等角相似型的基本模型而20##年浙江温州市中考数学第24题的第二问就用到了这个基本模型。

如图，经过原点的抛物线                   与X轴的另一个交点为A.过点P（1，m)作直线       轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。

（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

（2）当m>1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？

（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的m值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

（2）当m>1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？

分析：由于本题中出现了两个直角,很容易类比联想到三等角相似型这个基本图形,我们可以通过过点A作AH⊥BC（或CH ⊥BC），构造出上图中两种基本图形,从而得到△ACH∽△PCB,由相似三角形的性质得到：       ，再用含有m的代数式表示,即可求得m=1.5

拓展延伸二：浅谈三等角（一般型）

若∠A= ∠B= ∠NPM,则有△APM∽△BNP

无论∠A， ∠B， ∠NPM,为锐角、钝角或直角时，结论都成立

这是三等角相似型的一般模型（20##年山西省太原市）中考数学第20题就用到了这个模型：

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB ，BC=4,AD=       ，∠B =45°．直角三角板含45°角的顶点在边BC上移动，一直角边始终经过A点，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于  2.5,2.4√2-3           ．

分析：由∠B= ∠C= ∠AEF= 45°,则有△ABE∽△ECF。 再根据 △ABE为等腰三角形,分三种情况进行讨论:（1）AB=AE;（2）AB=BE;（3）BE=AE.

即可求得CF=2.5或2或 4√2-3         

六、小结：

一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模型，相信所有的题目都万变不离其宗---就如此题。

本题通过对一道中考题的提炼，将初中涉及到的重点知识---二次函数，全等三角形，相似三角形，图形变换，以及重要思想---数形结合，转化和类比，分类讨论等加以落实，以点见面，在教学中让学生明白基本模型的重要性。

谢谢指导！

                                     

 福建省南平市邵武第六中学

                                                刘晓燕

                                               20##-7-24

第二篇：浅析一题多解与一题多变