高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为
，其方向是任意的，与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设
，则
+
=
=
（1）
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
②向量减法：向量
加上的相反向量叫做与的差，③作图法：
可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
； （Ⅱ）当
时，λ的方向与的方向相同；当
时，λ的方向与的方向相反；当
时，
，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线
有且只有一个实数
，使得=
6、平面向量的基本定理：如果
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
使：
，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成
，记作=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1) 若
，则
(2) 若
，则
(3) 若=(x,y)，则=(x, y)
(4) 若，则
(5) 若，则
若
，则
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为
，则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积（或内积） 规定
2向量的投影：︱︱cos=
∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
5乘法公式成立：
；
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：
；
（2）消去律不成立
不能得到
（3）
=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
，则·=
8向量的夹角：已知两个非零向量与，作
=, 
=,则∠AOB= （
）叫做向量与的夹角
cos=
=
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件：
⊥·＝O
平面向量数量积的性质
第二篇：高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为
，其方向是任意的，与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设
，则
+
=
=
（1）
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
②向量减法：向量
加上的相反向量叫做与的差，③作图法：
可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
； （Ⅱ）当
时，λ的方向与的方向相同；当
时，λ的方向与的方向相反；当
时，
，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线
有且只有一个实数
，使得=
6、平面向量的基本定理：如果
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
使：
，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成
，记作=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1) 若
，则
(2) 若
，则
(3) 若=(x,y)，则=(x, y)
(4) 若，则
(5) 若，则
若
，则
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为
，则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积（或内积） 规定
2向量的投影：︱︱cos=
∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
5乘法公式成立：
；
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：
；
（2）消去律不成立
不能得到
（3）
=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
，则·=
8向量的夹角：已知两个非零向量与，作
=, 
=,则∠AOB= （
）叫做向量与的夹角
cos=
=
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件：
⊥·＝O
平面向量数量积的性质