高中数学平面向量知识点总结

平面向量知识点总结

第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。

一．向量的概念：

1．  向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。

2．   向量的表示方法：  

  （1）?几何表示法：点—射线      有向线段——具有一定方向的线段      有向线段的三要素：起点、方向、长度  

 （2）?字母表示法：可表示为

3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

             记作：||    模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

 1°零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别

2°单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

二．向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

       记作：∥∥

       规定：与任一向量平行

2．  相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

       记作：=

       规定：=

             任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3．  共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

             所以平行向量也叫共线向量。

如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））

三．向量的加法：

1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

         注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

2．三角形法则：

 

         强调：

         1°“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

         2°可以推广到n个向量连加

         3°

         4°不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3.加法的交换律和平行四边形法则

1°向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：

2°向量加法的交换律：+=+

3°向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。

四．向量的减法：

1.用“相反向量”定义向量的减法

1°“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a

2°规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a

 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0

 如果a、b互为相反向量，则a = -b,  b = -a,  a + b = 0

3°向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

 即：a - b = a + (-b)   求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b

3.向量减法做图：表示a - b。强调：差向量“箭头”指向被减数

总结：1°向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

              相等向量、共线向量

    2°向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律

如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；

（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；

五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)

1.实数与向量的积

        实数λ与向量的积，记作：λ

定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

  1°|λ|=|λ|||

2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

2．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)                ①

第一分配律：(λ+μ)=λ+μ                    ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ                ③

3.向量共线充要条件：

向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使=λ

六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ₁，λ₂使=λ₁+λ₂

注意几个问题：1°  、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2° 这个定理也叫共面向量定理

3°λ₁，λ₂是被，，唯一确定的数量

（1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A.  B.  C.     D.

（2）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；

（3）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）

第二部分：向量的坐标运算

七．向量的坐标表示与坐标运算

1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示

取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，

记作：=(x, y)  称作向量的坐标

2．注意：1°每一平面向量的坐标表示是唯一的；

2°设A(x₁, y₁)   B(x₂, y₂)  则=(x₂-x₁, y₂-y₁)

3°两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

如设，且，，则C、D的坐标分别是__________（答：）；

4．实数与向量积的坐标运算：已知=(x, y)   实数λ

则λ=λ(x+y)=λx+λy

∴λ=(λx, λy)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知，，则       （答：或）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是        （答：（9,1））

八．向量平行的坐标表示

结论：∥ (¹)的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0

注意：1°消去λ时不能两式相除，∵y₁, y₂有可能为0，  ∵¹

∴x₂, y₂中至少有一个不为0

2°充要条件不能写成       ∵x₁, x₂有可能为0

3°从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ (¹)

如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）

向量垂直的充要条件： .特别地。如(1)已知，若，则       （答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是________ （答：）

九．平面向量的数量积及运算律

（一）平面向量数量积

1．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a×b = |a||b|cosq，

         并规定0与任何向量的数量积为0。×

2．向量夹角的概念：范围0°≤q≤180°

 

3．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

         1°两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。

         2°两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

         3°在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。这就得性质2。

         4°已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×c Þ a = c

           如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|

                   b×c = |b||c|cosa = |b||OA|

                   Þab=bc  但a ¹ c

         5°在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)

           显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。

如（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）

（二）投影的概念及两个向量的数量积的性质：

1．“投影”的概念：作图

 

   定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。

   注意：1°投影也是一个数量，不是向量。

         2°当q为锐角时投影为正值；

           当q为钝角时投影为负值；

           当q为直角时投影为0；

           当q = 0°时投影为 |b|；

           当q = 180°时投影为 -|b|。

2．向量的数量积的几何意义：

   数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

3．两个向量的数量积的性质：

   设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

   1°e×a = a×e =|a|cosq

   2°a^b Û a×b = 0

   3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|。

     特别的a×a = |a|²或

   4°cosq =

   5°|a×b| ≤ |a||b|

如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）

如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；

（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；（3）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）

十. 平面向量的数量积的运算律

1.      交换律：a × b = b × a

2.      结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)

3.      分配律：(a + b)×c = a×c + b×c

如下列命题中：① ；② ；③

；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______（答：①⑥⑨）

十一. 平面向量的数量积的坐标表示

1.设a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i×i = 1，j×j = 1，i×j = j×i = 0

2.a×b = x₁x₂ + y₁y₂

。如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值（答：或）；

3.长度、角度、垂直的坐标表示

   1°a = (x, y)  Þ  |a|² = x² + y²   Þ  |a| =

         2°若A = (x₁, y₁)，B = (x₂, y₂)，则=

         3° cosq =

         4°∵a^b Û a×b = 0 即x₁x₂ + y₁y₂ = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）

如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；

十二.平移

一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量

二、平移公式：设= (h, k)，即：

   ∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k)    ∴    —— 平移公式

三、注意：1°它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系

            2°知二求一

            3°这个公式是坐标系不动，点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点P’(x’, y’)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量-a，即：。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的，

                 这两个公式作用是一致的。

十四. 正弦定理

1°正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等

公式即：==它适合于任何三角形。

  2°可以证明===2R  （R为△ABC外接圆半径）

  3° 每个等式可视为一个方程：知三求一

从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

十五. 余弦定理

1．余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2. 余弦定理公式：

4.强调几个问题：

1°熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

        2°知三求一

 3°当夹角为90°时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

4°变形：          

三、余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角

                  2．已知三边和它们的夹角求第三边

向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2），特别地，当同向或有

；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).

（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；

②为的重心，特别地为的重心；

③为的垂心；

④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；

⑤的内心；

（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；

（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）