《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：
或
。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：
或
。
3.单位向量：长度为1的向量。若
是单位向量，则
。
4.零向量：长度为0的向量。记作：
。【方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
。
8.三角形法则：
；
；
（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以
为临边的平行四边形的两条对角线分别为
，
。
10.共线定理：
。当
时，
同向；当
时，反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若
，则
，
，
13.数量积与夹角公式：
； 
14.平行与垂直：
；
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
。
（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若与
共线， 与
共线，则与共线。
（8）若
，则
。
（9）若
，则
。
（10）若与不共线，则与都不是零向量。
（11）若
，则
。
（12）若
，则
。
题型2.向量的加减运算
1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则
。
2.化简
。
3.已知
,
,则的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知
的和向量，且
，则
，
。
5.已知点C在线段AB上，且
,则
， 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）
（2）
2.已知
，则
。
题型4.作图法球向量的和
已知向量，如下图，请做出向量
和
。
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在
中，
是
的中点，请用向量
表示
。
2.在平行四边形
中，已知
，求
。
题型6.向量的坐标运算
1.已知
，
，则点
的坐标是 。
2.已知
，
，则点
的坐标是 。
3.若物体受三个力
,
,
,则合力的坐标为 。
4.已知
，
，求
，
，
。
5.已知
,向量
与相等，求
的值。
6.已知
，
，
，则
。
7.已知
是坐标原点，
，且
，求
的坐标。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知
是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A.
B.
C.
D.
2.已知
，能与
构成基底的是（ ）
A.
B.
C.
D.
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知是坐标原点，点
在第二象限，
，
，求
的坐标。
2.已知是原点，点在第一象限，
，
，求的坐标。
题型9.求数量积
1.已知
，且与
的夹角为
，求（1）
，（2）
，
（3）
，（4）
。
2.已知
，求（1）
，（2），（3）
，
（4）。
题型10.求向量的夹角
1.已知
，
，求与的夹角。
2.已知
，求与的夹角。
3.已知
，
，
，求
。
题型11.求向量的模
1.已知，且与的夹角为，求（1）
，（2）
。
2.已知，求（1），（5），（6）
。
3.已知
，
，求
。
题型12.求单位向量 【与平行的单位向量：
】
1.与
平行的单位向量是 。
2.与
平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知
，
，当
为何值时，（1）
？（2）
？
2.已知
，
，（1）
为何值时，向量
与
垂直？
（2）为何值时，向量与平行？
3.已知是非零向量，
，且
，求证：
。
题型14.三点共线问题
1.已知
，
，
，求证：
三点共线。
2.设
，求证：
三点共线。
3.已知
，则一定共线的三点是 。
4.已知
，
，若点
在直线
上，求
的值。
5.已知四个点的坐标
，
，
，
，是否存在常数
，使
成立？
题型15.判断多边形的形状
1.若
，
，且
,则四边形的形状是 。
2.已知，
，
，
，证明四边形是梯形。
3.已知
，
，
，求证：是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内，
,求证：是等腰直角三角形。
题型16.平面向量的综合应用
1.已知
，
，当为何值时，向量
与
平行？
2.已知
，且，
，求的坐标。
3.已知同向，
，则
，求的坐标。
3.已知，
，
，则
。
4.已知
，
，
，请将用向量
表示向量
。
5.已知
，
，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；
（2）若与的夹角为锐角，求的范围。
6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？
7.已知梯形的顶点坐标分别为
，
，
，且
，
，求点
的坐标。
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为
，
，，求第四个顶点的坐标。
9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成
角，求水流速度与船的实际速度。
10.已知三个顶点的坐标分别为，
，
，
（1）若
，求
的值；（2）若
，求
的值。
【备用】
1.已知
，求
和向量的夹角。
2.已知
，
，且
，，求
的夹角的余弦。
1.已知
，则
65 。
4.已知两向量
，求当
垂直时的x的值。
5.已知两向量
，的夹角
为锐角，求
的范围。
变式：若
，的夹角为钝角，求的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.特例法
例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到
，
。
2.代入验证法
例：已知向量
，则
（ D ）
A.
B.
C.
D.
变式：已知
，请用表示。
解：设
，则
即：
，即：
解得：
， 
3.排除法
例：已知M是的重心，则下列向量与共线的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
解：观察前三个选项都不与共线，所以选D。
第二篇：高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)
1 《数学》必会基础题型——《平面向量》 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量既有大小又有方向的量。记作AB或a。 2.向量的模向量的大小或长度记作| |AB或| |a。 3.单位向量长度为1的向量。若e是单位向量则| | 1e。 4.零向量长度为0的向量。记作0。【0方向是任意的且与任意向量平行】 5.平行向量共线向量方向相同或相反的向量。 6.相等向量长度和方向都相同的向量。 7.相反向量长度相等方向相反的向量。AB BA。 8.三角形法则 AB BC AC AB BC CD DE AE AB AC CB 指向被减数 9.平行四边形法则 以,a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a ba b。 10.共线定理/ /a b a b 。当0 时a b与同向当0 时a b与反向。 11.基底任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模若( , )a x y则2 2| |a x y 22| |a a2| | ( )a b a b 13.数量积与夹角公式| | | |cosa b a b cos| | | |a ba b 14.平行与垂直1 2 2 1/ /a b a b x y x y 1 2 1 20 0a b a b x x y y 题型1.基本概念判断正误 1共线向量就是在同一条直线上的向量。 2若两个向量不相等则它们的终点不可能是同一点。 3与已知向量共线的单位向量是唯一的。 4四边形ABCD是平行四边形的条件是AB CD。 5若AB CD则A、B、C、D四点构成平行四边形。 6因为向量就是有向线段所以数轴是向量。 7若a与b共线 b与c共线则a与c共线。 8若ma mb则a b。 2 9若ma na则m n。 10若a与b不共线则a与b都不是零向量。 11若| | | |a b a b 则/ /a b。 12若| | | |a b a b 则a b。 题型2.向量的加减运算 1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则| |a b 。 2.化简( ) ( )AB MB BO BC OM 。 3.已知| | 5OA,| | 3OB,则| |AB的最大值和最小值分别为 、 。 4.已知AC AB AD为 与的和向量且,AC a BD b 则AB AD 。 5.已知点C在线段AB上且35AC AB,则AC BCAB BC。 题型3.向量的数乘运算 1.计算13( ) 2( )a b a b 22(2 5 3 ) 3( 2 3 2 )a b c a b c 2.已知(1, 4), ( 3,8)a b 则132a b 。 题型4.作图法球
向量的和 已知向量,a b如下图请做出向量132a b和322a b。 a b 题型5.根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC中D是BC的中点请用向量ABAC表示AD。 2.在平行四边形ABCD中已知,AC a BD b 求AB AD和。 题型6.向量的坐标运算 1.已知(4,5)AB(2,3)A则点B的坐标是 。 2.已知( 3, 5)PQ (3,7)P则点Q的坐标是 。 3.若物体受三个力1(1,2)F,2( 2,3)F ,3( 1, 4)F ,则合力的坐标为 。 3 4.已知( 3,4)a (5,2)b求a ba b3 2a b。 5.已知(1,2), (3,2)A B,向量( 2, 3 2)a x x y 与AB相等求,x y的值。 6.已知(2,3)AB( , )BC m n( 1,4)CD 则DA 。 7.已知O是坐标原点(2, 1), ( 4,8)A B 且3 0AB BC 求OC的坐标。 题型7.判断两个向量能否作为一组基底 1.已知1 2,e e是平面内的一组基底判断下列每组向量是否能构成一组基底 A.1 2 1 2e e e e 和 B.1 2 2 13 2 6e e e e 和4 C.1 2 2 13 3e e e e 和 D.2 2 1e e e和 2.已知(3,4)a能与a构成基底的是 A.3 4( , )5 5 B.4 3( , )5 5 C.3 4( , )5 5 D.4( 1, )3 题型8.结合三角函数求向量坐标 1.已知O是坐标原点点A在第二象限| | 2OA150xOA 求OA的坐标。 2.已知O是原点点A在第一象限| | 4 3OA60xOA 求OA的坐标。 题型9.求数量积 1.已知| | 3,| | 4a b 且a与b的夹角为60求1a b2( )a a b 31( )2a b b 4(2 ) ( 3 )a b a b 。 2.已知(2, 6), ( 8,10)a b 求1| |,| |a b2a b3(2 )a a b 4(2 ) ( 3 )a b a b 。 题型10.求向量的夹角 1.已知| | 8,| | 3a b 12a b 求a与b的夹角。 2.已知( 3,1), ( 2 3,2)a b 求a与b的夹角。 3.已知(1,0)A(0,1)B(2,5)C求cosBAC。 4 题型11.求向量的模 1.已知| | 3,| | 4a b 且a与b的夹角为60求1| |a b2|2 3 |a b。 2.已知(2, 6), ( 8,10)a b 求1| |,| |a b5| |a b61| |2a b。 3.已知| | 1 | | 2a b |3 2 | 3a b 求|3 |a b。 题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量| |aea 】 1.与(12,5)a平行的单位向量是 。 2.与1( 1, )2m 平行的单位向量是 。 题型13.向量的
平行与垂直 1.已知(6,2)a( 3, )b m 当m为何值时1/ /a b2a b 2.已知(1,2)a( 3,2)b 1k为何值时向量ka b与3a b垂直 2k为何值时向量ka b与3a b平行 3.已知a是非零向量a b a c 且b c求证( )a b c 。 题型14.三点共线问题 1.已知(0, 2)A(2,2)B(3,4)C求证, ,A B C三点共线。 2.设2( 5 ), 2 8 , 3( )2AB a b BC a b CD a b 求证A B D、 、三点共线。 5 3.已知2 , 5 6 , 7 2AB a b BC a b CD a b 则一定共线的三点是 。 4.已知(1, 3)A(8, 1)B若点(2 1, 2)C a a 在直线AB上求a的值。 5.已知四个点的坐标(0,0)O(3,4)A( 1,2)B(1,1)C是否存在常数t使OA tOB OC 成立 题型15.判断多边形的形状 1.若3AB e5CD e且| | | |AD BC,则四边形的形状是 。 2.已知(1,0)A(4,3)B(2,4)C(0,2)D证明四边形ABCD是梯形。 3.已知( 2,1)A(6, 3)B(0,5)C求证ABC是直角三角形。 4.在平面直角坐标系内( 1,8), ( 4,1), (1,3)OA OB OC ,求证ABC是等腰直角三角形。 题型16.平面向量的综合应用 1.已知(1,0)a(2,1)b当k为何值时向量ka b与3a b平行 2.已知( 3, 5)a且a b| | 2b求b的坐标。 3.已知a b与同向(1,2)b则10a b 求a的坐标。 3.已知(1,2)a(3,1)b(5,4)c则c a b。 4.已知(5,10)a( 3, 4)b (5,0)c请将用向量,a b表示向量c。 5.已知( ,3)a m(2, 1)b 1若a与b的夹角为钝角求m的范围 2若a与b的夹角为锐角求m的范围。 6.已知(6,2)a( 3, )b m 当m为何值时1a与b的夹角为钝角2a与b的夹角为锐角 7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)A(3,4)B(2,1)D且/ /AB DC2AB CD求点C的坐标。 6 8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(2,1)A( 1,3)B(3,4)C求第四个顶点D的坐标。 9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶航船实际航行方向与水流方向成30角求水流速度与船的实际速度。 10.已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A(0,0)B( ,0)C c 1若0AB AC 求c的值2若5c求sinA的值。 【备用】 1.已知| | 3,| | 4,| | 5a b a b 求| |a b和向量,a b的夹角。 2.已知x a b 2y a b 且| | | | 1a b
a b求,x y的夹角的余弦。 1.已知(1,3), ( 2, 1)a b 则(3 2 ) (2 5 )a b a b 。 4.已知两向量(3,4), (2, 1)a b 求当a xb a b 与垂直时的x的值。 5.已知两向量(1,3), (2, )a b a b与的夹角为锐角求的范围。 变式若( ,2), ( 3,5)a b a b与的夹角为钝角求的取值范围。 选择、填空题的特殊方法 1.特例法 例《全品》P274。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立所以取特殊情况即M,N与B,C重合时可以得到1m n 2m n 。 2.代入验证法 例已知向量(1,1), (1, 1), ( 1, 2)a b c 则c A.1 32 2a b B.1 32 2a b C.3 12 2a b D.3 12 2a b 变式已知(1,2), ( 1,3), ( 1,2)a b c 请用,a b表示c。 3.排除法 例已知M是ABC的重心则下列向量与AB共线的是 A.AM MB BC B.3AM AC C.AB BC AC D.AM BM CM