线性代数总结
行列式：
定理一：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。
定理二：n阶行列式也可以定义为
其中t为行标排列
的逆序数
行列式性质：
性质1：行列式与它的转置行列式相等
行列式的行与列具有同等重要的性质。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：
则D等于下列两个行列式之和：
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变
若n阶行列式每个元素都表示成两个数之和，则它可分解成
个行列式。
注意
与
的区别
余子式：
在n阶行列式中，把
元
所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元的余子式，记为
；记
叫作元的代数余子式
引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即
定理三：行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
或
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
或
克拉默法则：
如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即
那么，方程组（1）有唯一解
其中
是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，
定理四：如果线性方程组（1）的系数行列式
,则（1）一定有解，且解是唯一的
定理四＇：如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零
定理五：如果齐次线性方程组（２）的系数行列式，则齐次线性方程组（２）没有非零解
定理五＇：如果齐次线性方程组（２）有非零解，则它的系数行列式必为零
矩阵：
矩阵运算：
（１） Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；
（２） （Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）
（３） 
（４） 
（５） 
（６） （ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）
（７） 
（８） Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ （Ｂ＋Ｃ）Ａ＝ＢＡ＋ＣＡ
（９） 
只有方阵它的幂才有意义
矩阵的转置：
对称阵：设Ａ为ｎ阶方阵，如果满足
，即
那么Ａ称为对称矩阵。
方阵的行列式：由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的行列式，称为方阵Ａ的行列式，记为
或
伴随矩阵：行列式的各元素的代数余子式
所构成的如下的矩阵
称为矩阵Ａ的伴随矩阵，简称伴随阵。
逆矩阵：
对于ｎ阶矩阵Ａ，如果有一个ｎ阶矩阵Ｂ，使
则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，简称逆阵。逆阵是唯一的
定理一：若矩阵Ａ可逆，则
定理二：若，则矩阵Ａ可逆，且
，其中
为矩阵Ａ的伴随阵
当
时，Ａ称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，
Ａ可逆的充分必要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵
推论：若
或
，则
若Ａ可逆则
亦可逆，且
若Ａ可逆，数
则
可逆，且
若Ａ、Ｂ为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且
若A可逆，则
亦可逆，且
当时，还可以定义
设
为x的m次多项式，A为n阶矩阵，记
，
称为矩阵A的m次多项式。矩阵A的两个和
多项式总是可交换的，即总有
如果
,，则
，从而
如果
为对角阵，则
，从而
分块矩阵：设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同得分块法，有
其中与
的行数相同、列数相同，那么
设，
为数，那么
设A为
矩阵，B为
矩阵，分块成
其中
的列数分别等于
的行数，那么
，其中
设，则
设A为n阶矩阵，若A得分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
,其中
都是方阵，那么称A为分块对角矩阵。分块对角矩阵的行列式具有下述性质：
由此性质可知，若
则并有
以对角阵
左乘A的结果是A的每一行乘以
中与该行对应的对角元
以对角阵右乘A的结果是A的每一列乘以中与该列对应的对角元
线性方程组的变形：
，或
初等变化：
下面三种变换称为矩阵的初等行变化：
（1）对调两行（2）以数
乘某一行中的所有元素（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去
矩阵等价：
反身性：A~A 对称性：若A~B,则B~A 传递性：若A~B,B~C,则A~C
定理一：设A是一个
矩阵，对A施行一次初等变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶矩阵；对A施行一次初等列变化，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
定理二：方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵
使
推论1 方阵A可逆的充分必要条件时A~E
推论2：矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B
对于n阶矩阵A和
矩阵B，把分块矩阵（A,B）化成行最简形，如果（A,B）的行最简形为（E,X），即（A,B）~（E,X），则A可逆，且
.当B=E时，则A可逆，且
对于n个未知数n个方程的线性方程组，如果增广矩阵B=（A,b）~（E,x）,则系数矩阵A可逆，所以
为方程组的唯一解。
第二篇：线性代数总结
线性代数总结
通过了对线性代数前三章（N阶行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组）的学习，使我获得了线性代数的基本思想方法和行列式` 矩阵` 线性方程组方面的知识。它一方面为后继课程提供了一些所要的基础理论和知识；另一方面提高了我的思维能力，开发了我的智能，加强了我对基础知` 基本理论和基本概念的认识，培养了我的创造型能力 抽象思维和逻辑推理能力，也使我对数学更加感兴趣，爱上了数学。 我认为学习线性代数要重视基本概念` 基本性质和基本方法的理解和掌握。基本概念` 基本性质和基本方法的理解和掌握是突破线性代数的重点，要是能较好的做到这些，学线性代数就会很容易学。因为线性代数的内容不多，而基本概念和基本性质是较多的，所以这点很值得我们重视它。
要学好线性代数及数学，我认为我们都应该做到以下几点：
一：坚持每天有效地练习，而杜绝题海战术。对基础知识的掌握和解题能力的提高都是离不开大量的练习的，但做题不能只讲究数量，一定要讲究质量，要真正的理解才有用。
二：细化易出错的知识及重点题型，要多关注和提高解题热练度。重点题型要反复练习，曾经做错或不会做的题目要引起足够重视。
三：要适当多做综合性题目和应用型题目，而能更好地突破综合性题目和应用型题目。
四：在课堂上要认真听课，跟上老师的思路，理解解题的方法和技巧。
五：要加强综合能力的训练，培养分析问题和解决问题的能力。
学数学可以提高我们的思维能力，开发我们的智能，还能培养我们的创造型能力 抽象思维和逻辑推理能力。因此，我对数学感兴趣，热爱数学。在下个学期，我就要选修《积分变换》和《概率论与
数理 计应用》，我相信学好数学会有很大用处的。
机械工程系：
机械制造与自动化