必修5第二章《数列》基础知识总结

一、要点透视

数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联系密切。

在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等。等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心。

由于数列可以看成是正整数集 EMBED Equation.3  或其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列。

二、知识复习

（1）      有关概念：

1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。

2°数列的通项公式：如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

3°数列的递推公式：如果已知数列{a_n}的第一项（或前n项，且任一项a_n与它的前一项a_n-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

4°若数列{a_n}的前n项和为S_n则

   

 （2）等差与等比数列

 等差数列等比数列 

定义    如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。即a_n-a_n-1=d，公差d可为正数、负数和零（A.P）    如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即，公比q是一个不等于零的常数。（G.P） 

通项公式（来源：定义，迭加，迭代）

（证明）(定义,迭乘，迭代） 

中项    若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。（充要条件存在唯一）若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G²=ab。

G²=ab，仅是a，G，b成等比数列的必要非充分条件。 

前n项和（倒序相加）（错位相减） 

性质（1）

（2）

（3）若{a_n}为等差数列，则a_n，a_2n，a_3n也为等差数列

（4）若{a_n}为等差数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也为等差数列

（5）若{a_n}，{b_n}都是等差数列，则{a_n+c}，{ka_n}，{a_n+b_n}也是等差数列（其中k、c为任何常数）(1)

（2）

（3）若{a_n}为G·P，则a_n，a_2n，a_3n也为G·P

（4）若{a_n}为G·P，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也为G·P。

（5）若{a_n}，{b_n}都是G·P，则{ka_n}（k≠0），也是G·P。 

充要条件（1）（常数）{a_n}为等差数列

（2）（k、b不同时为0的常数）{a_n}为等差数列

（3）不同时为0的常数）为等差数列

（4）为等差数列（1）（q≠0常数）{a_n}为G·P。

（2）常数）{a_n}为G·P。

（3）（）为G·P。（3）数列求和及数列实际问题

1．数列求通项与和

（1）求通项常用方法：观察，归纳，叠加，叠乘，数列前n项和S_n与通项a_n的关系式：a_n= EMBED Equation.3      EMBED Equation.3  。

（2）数列前n项和

①重要公式：1+2+…+n= EMBED Equation.3  n(n+1)；1²+2²+…+n²= EMBED Equation.3  n(n+1)(2n+1)；1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²= EMBED Equation.3  n²(n+1)²；

②等差数列中，S_m+n=S_m+S_n+mnd；

③等比数列中，S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n；

④裂项求和  将数列的通项分成两个式子的代数和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如： EMBED Equation.3  、 EMBED Equation.3  = EMBED Equation.3  － EMBED Equation.3  等。

⑤错位相减法   对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。 EMBED Equation.3 , 其中 EMBED Equation.DSMT4  是等差数列，  EMBED Equation.DSMT4  是等比数列，记 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.DSMT4  ，…    例如：求这个数列的前n项和：

⑥并项求和     把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S_n。

⑦通项分解法： EMBED Equation.3  

（4）数列有关结论

1.由S_n求a_n，a_n={ EMBED Equation.3   注意验证a₁是否包含在后面a_n 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含a_n与S_n的关系的数列题均可考虑用上述公式；

2.等差数列  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  ；

3.等比数列  EMBED Equation.3  

4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.

5.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式 EMBED Equation.3  解决；或者由利用二次函数的性质来确定的值，进而求出前n项和最值。

6.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

7.等差数列中, a_m=a_n+ (n－m)d,  EMBED Equation.3  ; 等比数列中，a_n=a_mq^n-m; q= EMBED Equation.3  ;

8.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N^＊）时，对等差数列｛a_n｝有：a_m+a_n=a_p+a_q；对等比数列｛a_n｝有：a_ma_n=a_pa_q；

9.若{a_n}、{b_n}是等差数列，则{ka_n+bb_n}(k、b、a是非零常数)是等差数列；若{a_n}、{b_n}是等比数列，则｛ka_n｝、{a_nb_n}等也是等比数列；

10.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a₁+a₂+a₃,a₄+a₅+a₆,a₇+a₈+a₉…）仍是等差（或等比）数列；

11.对等差数列｛a_n｝,当项数为2n时，S_偶—S_奇＝nd；项数为2n－1时，S_奇－S_偶＝a_中（n∈N*）；

12.若一阶线性递归数列a_n=ka_n－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式: EMBED Equation.3  (n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

第二篇：数列基础知识总结

第三章  数列

考试内容：
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数学探索©版权所有www.delve.cn等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
                 

 §03. 数 列  知识要点

 

1. ⑴等差、等比数列：

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2()

③(为常数).                                                                                                  

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①

②(，)^①

注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.

ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要条件.

iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分条件.

iv. 且→为a、b、c等比数列的充要条件.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有，则等比中项一定有两个.

③(为非零常数).

④正数列成等比的充要条件是数列（）成等比数列.

⑷数列的前项和与通项的关系：

[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差前项和  →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. 

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2. ①等差数列依次每项的和仍成等差数列，其公差为原公差的倍；

②若等差数列的项数为（），则，；

③若等差数列的项数为（），则，且， .     

3. 常用公式：①   

②   

③

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，…，.

4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为元；为个月将款全部付清；为年利率.

5. 数列常见的几种形式：

⑴（p、q为二阶常数）用特征根方法求解.

具体步骤：

①写出特征方程（对应，对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.

⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.

①转化等差，等比：.

②选代法：

.

③用特征方程求解：.

④由选代法推导结果：.

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法:对于的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证（）对都成立。

3. 在等差数列中,有关的最值问题：(1)当，时，满足的项数使得取最大值. (2)当，时，满足的项数使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）    

2） 

3） 

4）    

5）     

6）