第六章  数列

                        §6.5 等比的求和      班级    姓名      学号   

例1：求数列1，3x, 5x², …，(2n－1)x^n－1前n项的和。

例2：设{a_n} 是由正数组成的等比数列，它的前n项和为S_n，试比较log_bS_n+log_bS_n+2与2log_bS_n+1的大小。

例3：求在区间[a, b]（b>a, a, b∈N*）上分母是3的不可约分数之和。

例4：数列{a_n}对一切自然数n都满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n－1a_n=9－6n

（1）求{a_n}的通项公式。  （2）若b_n=|，求证：b₁+b₂+…+b_2n－1>1

【备用题】

已知a>0, a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b_n=na_nlga(n∈N*)

（1）求数列{b_n}的前n项和S_n­；

（2）若数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。

作业：

【基础训练】

1、数列2，的前n项之和为：                      （    ）

  A、         B、 

  C、        D、

2、11+103+1005+……+[10ⁿ+(2n－1)]的值为：                                 （    ）

  A、 B、  C、  D、

3、数列{a_n}中，a_n=1+2+…+2^n－1(n∈N*)，则该数列前n项和为：                （    ）

  A、n·2ⁿ        B、2ⁿ－n        C、2ⁿ⁺¹－n－1       D、2ⁿ⁺¹－n－2

4、已知数列的前n项之和为10，则项数n为                    （    ）

  A、80              B、99            C、120           D、121

5、已知数列{a_n}满足a_n=31－6n，数列{b_n}满足，则数列{|b_n|}的前 20项之和为：                                                              （    ）

  A、187             B、164          C、257          D、304

6、的值为                                               （    ）

  A、       B、    C、   D、

【拓展练习】

1、在数列{a_n}中，S_n为其前n项之和，且S_n=2ⁿ－1，则等于：

A、(2ⁿ－1)²          B、      C、4ⁿ－1       D、

2、等差数列{a_n}前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为：   （    ）

  A、130              B、170           C、210          D、260

3、已知等比数列{a_n}前n项和为S_n且S₅=2, S₁₀=6，则a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀等于：    （    ）

  A、12               B、16             C、32         D、54

4、数列{(－1)ⁿn}的前2k－1项之和S_2k－1(k∈N*)为：                                          （    ）

  A、3k－2           B、－k         C、        D、2－3k

5、数列{(－1)ⁿn}的前n项和为S_n=an²+bn+c(n∈N*，a, b, c为实常数)，则下列命题中正确的是：                                                                                                           （    ）

A、数列{a_n}为等差数列       B、当c=0时，数列{a_n}的公差为2a的等差数列

C、当c=0时，数列{a_n}的公差为的等差数列    D、以上说法都不对

6、在等差数列{a_n}中，d≠0，S₂₀=10A，则A的值：                            （    ）

  A、a₅+a₁₅              B、a₈+a₁₃      C、a₂₁       D、2a₁+38d

7、在等比数列{a_n}中，若有a₃=2S₂+1, a₄=2S₃+1，则该数列的公比q=       。

8、数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555，…的前n项之和为               。

9、在数列{a_n}中，a₁=2, a_n+1=a_n+2ⁿ(n∈N*)，则a₁₀₀=          .

10、设S_n是等差数列{a_n}前n项的和，已知S₃与S₄的等比项中为S₅，S₃与S₄的等

差中项为1，求a_n。

11、已知数列{a_n}中，，试求数列{a_n}的前n项之和S_n.

12、已知等比数列{b_n}与数列{a_n}满足b_n=3^a_x(n∈N*)

   （1）判断{a_n}是何种数列，并给出证明。

   （2）若a₈+a₁₃=m， 求b₁·b₂·b₃·…b₂₀

(3)若b₃·b₅=3⁹，a₄+a₆=3，求b₁·b₂·b₃…b_n的最大或最小值。

第二篇：数列求和的方法

数列前项和的求法

(1)    公式法：等差数列：；

(2)    等比数列： .

(2)分组求和：方法1：分组转化法（通项分解法）：若通项能转化为等差数列与等比数列和（或差），即

例1、求数列的前n项和.

变式训练：求1+1,,,…,,…的前n项和

 (3)：裂项相消法：通项是分式结构，分母因式成等差数列关系，可以把通项写成两项之差

a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。

常见的拆项公式：

⑴若是公差为的等差数列，则；

⑵；，

； 

⑶.

例2、已知数列的第项 ，求其前项和S_n .

变式训练: 求数列的前n项和；

 (4)错位相减法：

例3、求和.

变式训练：求和S_n=1+3x+5x²+7x³+……+(2n－1)x^n-1

 (5)倒序求和：把数列正写和倒写再相加,等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。

例4、设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 　 

变式训练: 求…的值.

 (6)并项法：奇偶讨论法（并项法）：把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S_n.

例5、求和

【课堂练习】

1.求下列数列前项和

 (1) 求数列；  (2)

(3)；(4)

2.已知数列满足，，求.

3.已知数列满足，，则=________   ；

一.选择题

２.数列1，（1+2），（1+2+2²），…，（1+2+2²+…+2^n-1）,…的前n项和等于（   ）

A.2ⁿ      B.2ⁿ-n    C.2ⁿ⁺¹-n-2     D.n·2ⁿ

二填空题

7.明朝程大拉作数学诗：“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问尖头___盏灯”

8.已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-5+9-13+17-21+…+(-1)^n-1(4n-3),那么S₁₅的值为        .

9.已知函数，则=      .

三.解答题

10.已知等差数列{a_n}和正项等比数列{b_n}，a₁＝b₁＝1，a₃＋a₅＋a₇＝9，a₇是b₃和b₇的等比中项．

(1)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(2)若c_n＝2a_n·b，求数列{c_n}的前n项和T_n.

11.设正项等比数列的首项，前项和为，且.

（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前项和.(提示:在等比数列中成等比数列,其中)

12.已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足.

 （1）求S_n的表达式；

（2）设 ，求{b_n}的前n项和T_n.(提示:,是等差数列)