常见递推数列通项公式的求法

一、课题：常见递推数列通项公式的求法

二、教学目标

     (1)知识与技能：

         会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

    (2)过程与方法：

         ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

     ②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

     ③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。

    (3)情感态度与价值观：

     ①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

     ②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

     ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。

五、教学课型，课时：复习课  1课时

六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔

七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结

八、教学过程

   （一）复习回顾：

          1、通项公式的定义及其重要作用

          2、学过的通项公式的几种求法

          3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题

（二）新知探究：

问题1:已知数列，=1，=+2，求?

      变式：  已知数列，=1，=+2n，求?

活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。

 解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，

即

所以   由=1，

练习： 已知数列，=1，，求?

总结：类型1：，利用累加法(逐差相加法)求解。

问题2： 已知数列{a_n}满足，求{a_n}的通项公式。

变式：若条件变为

方法归纳：利用累乘法求数列通项

活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。

解：

即

练习： 已知数列满足，，求。

总结：类型2型如              用累乘法求解

问题3： 已知数列{a_n}满足，求{a_n}的通项公式。

发现：

                      令b_n=a_n+1,则b_n+1=a_n+1+1 即 

故{b_n}是以b₁=2为首项,2为公比的等比数列,

变式：，求{a_n}的通项公式。

总结：类型3型如a=p a+q（p≠1，pq≠0）递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。

问题4： 已知数列{a_n}满足，求{a_n}的通项公式

   

总结：类型4 型如

变式：

思考：

九、课堂小结：

（1）定义法：

（2）累加（乘）法：

（3）构造法：

十、作业布置：练习册P49 1-1 1-2 1-3 1-4

十一、板书设计：

公开课教案（组内）

教学题目：常见递推数列通项公式的求法

                         

                         

                          授课教师：张旋

                           20##年3月15日

第二篇：数列通项公式求法总结

数  列  的  通  项  公  式

数列是初等数学与高等数学的衔接点之一，一直是近几年高考中的热点问题之一，以较大的分值出现。递推公式是给出数列的一种方法，高考中以递推公式形式给出数列。它侧重考查学生的逻辑推理能力、创新能力和分析化归能力。以下是本人在教学实践中积累的由递推公式求数列通项的常用方法。

一、累加法

形如，若易求和，则可用累加法。

例1：已知，  ，求。

解：∵

∴   ①

 

         

 

累加上式得：

∴

故（注：从①式开始累加亦可）

二、累积法

形如，若易求，则可使用累积法。

例2：已知，  ，求通项。

解：由已知

即             ∴

则约分得：

           ∴

三、构造法

构造法是将非特殊数列通过递推式的结构特点，转化为特殊数列，常见有以下类型：

类型1：形如，可转化为是等比数列。

例3：已知， ，求通项。

解：令

    则 

∴

故是首项为1，公比为3的等比数列

则

∴ 

类型2：形如 ，可通过同除，将它转化为类型1。

例4：已知，，求通项。

解：，

两边同乘以，则

故是以1为首项，公比为的等比数列

∴

故 

类型3：形如，，可将构造为等比数列。

令：，再用待定系数法

 求解出。

此时是公比为的等比数列

例5：已知，，，求。

解：令

则 

解得① 或②（任取一组均可）

取， 则：

∴是首项为2，公比为2的等比数列

则

此时转化为了类型2，将上式两边同除以得：

∴是首项为，公比为-等比数列

∴=                

故

类型4：形如，也可使用构造法

例6：已知，，，求通知。

解：∵

∴

 

∴是首项为2，公比为2的等比数列。

故：

∴

四、迭代法

迭代法是解决递推公式求通项的通性通法，但要求善于挖掘运算规律，善于分析关系式的结构特点，累加法、累积法等许多方法都可由迭代法代替解决问题。

例7（08全国卷2）

设前n项和，已知，，，求通项公式。

解：由

∴

故

………………

∴，故

五、转化法

类型1：对数转换法转化

形如：，当各项为正时，可两边取常用对数，将构造为等比数列。

例8：已知，，，求通项。

解：∵

∴各项为正

两边取以10为底对数得

∴是首项为1，公比为2的等比数列

则

故

类型2：形如 ，可转化为的等差数列。

例9：已知，，，求通项。

解：已知，

两边同除以得

即

∴是以为首项，为公差的等差数列。

故，

数列的递推公式形式多样，方法多样，无法一一列举，解题时易先观察结构特点，再结合已有方法，选择适当方法解决。