一、

交点问题 1.抛物线 y = 2 x ? 8 ? 3 x 2 与 x 轴有 个交点，因为其判别式

b 2 ? 4ac =
．

0，相应二次方程 3 x 2 ? 2 x + 8 = 0 的根的情况为

2. 函数 y = mx 2 + x ? 2m （ m 是常数）的图像与 x 轴的交点个数为 ． 3. 二次函数 y = ? x 2 + 6 x ? 9 的图像与 x 轴的交点坐标为 ．

4.函数 y = ( k ? 2) x 2 ? 7 x + ( k ? 5) 的图像与 x 轴只有一个交点，则交点的横 坐标 x0 = 二、求表达式问题 ．

1 已知抛物线 y = ? ( x ? h) 2 + k 的顶点在抛物线 y = x 2 上，且抛物线在 x 轴上 截得的线段长是 4 3 ，求 h 和 k 的值．

1 3

2 已知函数 y = x 2 ? mx + m ? 2 ．若函数 y 有最小值 ?

5 ，求函数表达式． 4

三、韦达定理问题 1 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A( x1， ， 0)

B ( x2， x1 < x2 ) 两点，顶点 M 的纵坐标为 ?4 ，若 x1 ， x2 是方程 0)(
2 x 2 ? 2( m ? 1) x + m 2 ? 7 = 0 的两根，且 x12 + x2 = 10 ．

（1）求 A ， B 两点坐标； （2）求抛物线表达式及点 C 坐标；

2 已知抛物线 y = 2 x 2 ? mx ? 2m 的图象与 x 轴有两个交点为 ( x1 ,0), ( x 2 ,0) ，且

x1 + x 2 = 5 ，求 m 的值。
2 2

3 已知关于 x 的函数 y = (a 2 + 3a + 2) x 2 + (a + 1) x + 1 的图像与 x 轴总有交点。设函数的图
4

像与 x 轴有两个不同的交点 A，B，其坐标为 A（x 1 ,0）,B（x 2 ，0），当
1 1 + = a 2 ? 3 时，求 a 的值。 x1 x 2

四、函数与方程问题 1 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y（m）与飞行时间 x（s）的关系 满足 y=－

1 2 5 x ＋10x．

（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？ 2.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图 像的一部分(如图),若这个男生出手处 A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处 B 点的坐 标为 B(6,5).
6

y
B(6,5) A(0,2)
4 2

(1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到 0.01 米).

C

0

2 4 6 8 10 12 14

x

3 已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图像与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求△ABC 的 周长和面积.

第二篇：二次函数总结

二次函数 ??I.定义与定义表达式 ??一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： ??y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） ??则称y为x的二次函数。 ??二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ??II.二次函数的三种表达式 ??一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ??顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] ??交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ??注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: ??h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a ??III.二次函数的图像 ??在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， ??可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 ??IV.抛物线的性质 ??1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 ??x = -b/2a。 ??对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 ??特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） ??2.抛物线有一个顶点P，坐标为 ??P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。 ??当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 ??3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 ??当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 ??|a|越大，则抛物线的开口越小。 ??4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 ??当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； ??当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 ??5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 ??抛物线与y轴交于（0，c） ??6.抛物线与x轴交点个数 ??Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 ??Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 ??Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 ??V.二次函数与一元二次方程 ??特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， ??当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， ??即ax^2;+bx+c=0 ??此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 ??函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 ????答案补充 ??画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 ??二次函数解析式的几种形式 ????(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). ????(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). ????(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. ????说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点 ????补充 ??如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k????定义与定义表达式 ??一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： ??y=ax^2+bx+c ??（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） ??则称y为x的二次函数。 ??二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ??x是自变量，y是x的函数 ????二次函数的三种表达式 ??①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ??②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ??③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) ??以上3种形式可进行如下转化： ??①一般式和顶点式的关系 ??对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 ??h=-b/2a=(x1+x2)/2 ??k=(4ac-b^2)/4a ??②一般式和交点式的关系 ??x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

(一)知道二次函数的意义；???? (二)会画y=x2,y=ax2的图象，并了解a的变化图形的影响；???? (三)会根据已知条件用待定系数法求出函数式y=ax2;???? (四)掌握抛物线y=ax2图象的性质；???? (五)加深对于数形结合思想认识.?? 重点：知识二次函数的意义；会求二次函数式y=ax2;会画y=ax2的图象.???? 难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系.????(一)复习???? 1.一次函数式的一般形式是什么?(y=kx+b(k≠0，k是常数))???? 2.一次函数中的“次”字是指什么?(函数中自变量的指数)????总结二次函数的难点问题】对于二次函数，动区间定轴或定区间动轴的，（以开口????向上的为例）????【总结二次函数的难点问题】对于二次函数，动区间定轴或定区间动轴的，（以开口????向上的为例）3类问题：?? ① 求最大值，分2类讨论，讨论的标准是以给定区间[a,b]的中点（a＋b）????2为1个临界点分2个区间讨论；???? ②求最小值，分3类讨论，讨论的标准是以给定区间[a,b]的两个端点为2个临????界点分3个区间讨论；???? ③求值域，分4类讨论， 讨论的标准是以给定区间[a,b]和区间[a,b]的中点（????a＋b）2的三个端点为3个临界点分4个区间讨论；?? 【注意】a、注意题中给出的函数的定义域或者参数的取值范围。?? b、开口向下的可以自己推导。?? c、该办法可以应用函数的思想解决一些恒成立的问题。????1．描点画二次函数y=ax2的图象应注意：列表时应以O为中心，均匀选取一些便于计算且有代表性的x的值．开始选值时带有一定的试探性．描点后注意点与点之间的变化趋势，然后用平滑的曲线按自变量由小到大（或由大到小）的顺序平滑地连接起来．????2．抛物线的开口大小问题：????｜a｜越大，抛物线的开口越小；｜a｜越小，抛物线的开口越大．????3．抛物线y=ax2的特征：????（1）对称轴是y轴，也就是直线x=0，顶点是原点（0，0）．????（2）a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大，在y轴左侧（x＜0时），y随x的增大而减小；有最小值，当x=0时，最小值是0．????（3）a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x增大而减小；在y轴左侧（x＜0时），y随x的增大而增大；当x=0时，有最大值是0．????注意：此性质不可死记硬背，要结合图象看性质????