二、掌握二次函数的图像和性质

①y=ax²（a是常数，且a≠0）的图像和性质

②y=ax²+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0）的图像和性质

③y=ax²+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0）的图像和性质

④y=ax²+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的性质

a＞0时 ，开口向上；a＜0时，开口向下

顶点坐标是（-，），对称轴是直线x=-。

当a＞0时 ，函数有最小值，y=；a＜0时，函数有最大值，y=；

性质，

当a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；

当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小.

三、会结合图像确定y=+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号

a的符号：

看抛物线的开口方向：

开口向上，a＞0；开口向下a＜0;

b的符号：

有对称轴的位置和的a符号确定：

对称轴是y轴，b=0；

对称轴在原点的左侧：，

对称轴在原点的右侧，；

c的符号：

看抛物线与y轴交点的位置：

交点在原点，c=0；

交点在原点以上，c＞o；

交点在原点以下，c＜0。

b²－4ac的符号：

看抛物线与x轴交点的个数：

抛物线与x轴有两个交点 b²－4ac＞0；

抛物线与x轴有一个交点 b²－4ac=0，

抛物线与x轴没有交点 b²－4ac＜0，

四、掌握确定二次函数关系式的基本条件

确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：

对于表达式是y=ax²（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：

知道图像上一个点的坐标。

对于表达式是y=ax²+bx（a≠0）的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：

知道图像上两个点的坐标。

对于表达式是y=ax²+c（a≠0）的, 要确定出待定字母a、c的值的基本条件是：

知道图像上两个点的坐标。

对于表达式是y=a(x-h)²（a≠0）的, 要确定出待定字母a、h的值的基本条件是：

知道图像上两个点的坐标。

对于表达式是y=a(x-h)²+k(a≠0）的, 要确定出待定字母a、h、k的值的基本条件是：

知道图像上三个点的坐标。

特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标

对于表达式是y=ax²+bx+c（a≠0）中, 要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是：

知道图像上三个点的坐标。

这是最基本的理解。

五、确定二次函数关系式的基本题型

4.1二次函数关系式设为：y=ax²（a≠0）

例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。

解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点，

所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax²（a≠0），

因为，AB=20，所以，FA=FB=10，

因为，CD=10，所以，EC=ED=5

所以，点A的坐标为（-10，），点C的坐标为（-5，），

所以，

= a×（-5）²=25a，

= a×（-10）²=100a，

因为，EF=3，所以，-=3，

所以，25a -100a=3，

解得：a=-，所以，所求函数的解析式：y=- x²。

小结：

当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的解析式为：y=ax²（a≠0）

②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；

③解方程，求得a值；

④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

4.2二次函数关系式设为：y=ax²+bx（a≠0）

例2、（20##年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。

（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．

（2）请求出球飞行的最大水平距离．

（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

解：

（1）

所以，抛物线的开口向下，顶点为，对称轴为直线。

（2）令，得：

，

解得：，，

所以，球飞行的最大水平距离是8m．

（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m

所以，抛物线的对称轴为，顶点为（5，），

设此时对应的抛物线解析式为：y=ax²+bx（a≠0），

因为，抛物线经过点（10，0），

所以，100a+10b=0，即10a+b=0，

因为，抛物线经过点（5，），

所以，25a+5b=，即5a+b=，

解得：，b=，

  所以，二次函数的解析式是：。

小结：当知道抛物线经过原点，且抛物线与x轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的解析式为：y=ax²+bx（a≠0）

②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b的二元一次方程组；

③解方程组，求得a、b值；④把a、b的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

4.3二次函数关系式设为：y=ax²+c（a≠0）

例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米

（1）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。

（2）求柱子ＡＤ的高度。

解：

因为，抛物线的对称轴是y轴，

所以，设二次函数解析式为：y=ax²+c（a≠0），

因为，二次函数图象过点C（0，1），

所以，c=1，

因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱），且ＦＧ＝２米，

所以，点F的坐标是（-4，2），

所以，16a+1=2，

解得：a=，

所以，二次函数的关系式是：y=x²+1；

（2），因为，OD=8米，

设点A的坐标是（-8，y），

所以，y=×（-8）²+1=5，

因此，柱子ＡＤ的高为5米。

小结：

当知道抛物线的顶点在y轴上，和抛物线上的一个点A（x₁，y₁）时，

要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的解析式为：y=ax²+c（a≠0）

②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a，c的二元一次方程组；

③解方程组，求得a、c值；

④把a、c的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

4.4二次函数关系式设为：y=a(x-h)²（a≠0）

例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，0），且过点B（3，4）．

求该二次函数的解析式。

解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）²，

因为，二次函数图象过点B（3，4），

所以，4a=4，

解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）²，即y=x²-2x+1。

小结：

当知道抛物线的顶点坐标：M（h，0）和抛物线上的一个点A（x₁，y₁）时，

要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²a≠0）

②把点A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；

③解方程，求得a值；

④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

4.5二次函数关系式设为：y=a(x-h)²+k(a≠0）

例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．

求该二次函数的解析式。

解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）²-4，

因为，二次函数图象过点B（3，0），

所以，4a-4=0，

解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）²-4，，即y=x²-2x-3。

六、掌握求抛物线y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，）顶点坐标的两种方法

1、配方法求顶点坐标

基本步骤是：

①把二次项的系数化成1，各系数提取a，得：

y=a（，

②在括号里现加上一次项系数一半的平方，接着再减去一次项系数一半的平方，得：

y=a（=a【】，

③配方，并整理，得：

y=a（=a【】，

= a【】，

④去掉括号，得：

y=a（=a【】，

= a【】，

=a

⑤写出函数的坐标：

所以，抛物线的顶点坐标是：（-，）。

2、公式法求顶点坐标

y=ax²+bx +c（a是常数，且a≠0，）的顶点坐标是（-，），在求顶点坐标时，同学们就可以熟记这个式子，把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用。

用的基本步骤是：

①根据y=ax²+bx +c（a是常数，且a≠0），确定a、b、c的值，

②代入x=-中，求顶点坐标的横坐标，

③代入x=中，求顶点坐标的纵坐标，

④横坐标，纵坐标合起来，写出顶点的坐标。

七、熟练应用待定系数法求二次函数的解析式

求二次函数的解析式，主要有三种方式，同学们要熟练掌握其条件特点和选择的求解模式。

（1） 设解析式是一般式

条件特点：已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式

当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）时，

要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）

②把点A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、b、c的三元一次方程组；

③解方程组，求得a、b、c的值；

④把a、b、c的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

（2） 设解析式是顶点式

条件特点：已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式

当知道抛物线的顶点坐标：M（h，k）和抛物线上的一个点A（x₁，y₁）时，

要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²+k（a≠0）

②把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；

③解方程，求得a值；

④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

（3）设解析式是交点式

条件特点：已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式

当抛物线与x轴的交点坐标：A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（x₃，y₃）时，

要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：

①设二次函数的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）

②把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；

③解方程，求得a值；

④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

第二篇：九年级二次函数常考知识点总结整理

九年级二次函数常考知识点总结整理

一、  函数定义与表达式

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化

二、  函数图像的性质——抛物线

（1）开口方向——二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.

（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线

              一般式：      

对称轴   顶点式：x=h

              两根式：x=

（3）对称轴位置

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）

a与b同号（即ab＞0）          对称轴在y轴左侧

a与b异号（即ab＜0）          对称轴在y轴右侧

（4）增减性，最大或最小值

当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；

当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；

（5）常数项c

常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。

（6）    a\b\c符号判别

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中a、b、c的符号判别：

（1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；

（2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；

（3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a、b异号；

（7）抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

这两点间的距离

Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 顶点在x轴上。

Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（ 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）

（8）特殊的

①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则

Δ=b²-4ac=0；

②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；

③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；

三、平移、平移步骤：

⑴         将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵         左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。

随堂练：

一、选择题：

1、对于的图象下列叙述正确的是                               （    ）

A   的值越大，开口越大

B   的值越小，开口越小

C   的绝对值越小，开口越大         

D   的绝对值越小，开口越小

2、对称轴是x=-2的抛物线是（     ）

A. .y= -2x²-8x     B   y= 2x²-2

C . y=2(x-1)²+3    D. y=2(x+1)²-3

3、与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（    ）

A．     B．　C．   D．

4、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（    ）

A．x＝4 　B. x＝3  C. x＝－5   D. x＝－1。

5、抛物线的图象过原点，则为（    ）

A．0      B．1      C．－1      D．±1

6、把二次函数配方成顶点式为（    ）

A．         B.

C．      D．

7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)²－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（    ）

A.(0，0) 　B.(1，－2)  　C.(0，－1)   D.(－2，1)

8、函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ）

A．       B．

C．       D．

9、抛物线则图象与轴交点个数为                     （    ）

A．   二个交点        B．  一个交点           C．     无交点          D．    不能确定

10、二次函数

的图象如图所示，则，

，，

这四个

式子中，值为正数的有（    ）

A．4个   B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题：

1、已知抛物线，请回答以下问题：

它的开口向         ，对称轴是直线           ，顶点坐标为          ；

2、抛物线过第二、三、四象限，则   0，   0，   0．

3、抛物线可由抛物线向    平移    个单位得到．

4、抛物线在轴上截得的线段长度是                 ．

5、抛物线，若其顶点在轴上，则        ．

6、已知二次函数，则当    时，其最大值为0．

7．二次函数的值永远为负值的条件是    0，    0．

8．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，

S_△ABC=3，则=      ，=      ．

*9．已知抛物线=x²+2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x²+（m+1）x+m²+5=0的根的情况是?

*10、已知：二次函数和的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

三、解答

1、已知二次函数y=2x²-4x-6  求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标

2、已知抛物线与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，

（1） 求证： b＋1＋ac=0

（2）若C与B两点距离等于，一元二次方程的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.

*28、已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B(点Ｂ在点A的右边)，与y轴的交点为C；

  (1)若⊿ABC为Rt⊿，求m的值；

  (1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；

  (3)设⊿ABC的面积为S，求当m为何值时，s有最小值．并求这个最小值。 

四、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

随堂练:

1、      已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；

2、  已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；

3、  已知抛物线的对称轴为直线x=2， 且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；

4、 已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；

5、 已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；

6、 抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；

7、  抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y_最大值=4，求此抛物线的解析式；

8．如图，在同一直角坐

标系中，二次函数的图象

与两坐标轴分别交于

A（－1，0）、点B（3，0）

和点C（0，－3），一次函数

的图象与抛物线交于B、C两点。

⑴二次函数的解析式为                     ．

⑵当自变量      时，两函数的函数值都随增大而增大．

⑶           自变量        时，一次函数值大于二次函数值．

9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为                     ．

10、对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为                     ．

11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

　　甲：对称轴是直线x=4；

　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　　　　　　　　　　　　　　　　

五、二次函数解析式中各参数对图象的影响

a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)

h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)

k──顶点纵坐标即最  值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)

b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)

c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方；c<0时在x轴下方；c=0时必过原点)

特殊点纵坐标的位置:如(1，a+b+c)、(-1，a-b+c)等

六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)

一元二次方程ax²+bx+c=0

的解是二次函数y=ax²+bx+c

的图象与x轴交点的横坐标

即                    ；

一元二次不等式ax²+bx+c>0的解集是二次函

数y=ax²+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即                     ；

一元二次不等式ax²+bx+c<0的解集是二次函数y=ax²+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即：               .

例题:、二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根．（2）写出不等式的解集．（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．

（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

 

七、二次函数的最值——看定义域

  定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最  值；

  定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值

八、抛物线对称变换前后的解析式

 

  y=ax ²+ bx+ c                  y= ax ²- bx + c         

 

 

y=-ax²-bx-c              y=-ax²+bx-c

九. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个