二次函数

1.一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

3.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

5.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

7.直线与抛物线的交点

 （1）轴与抛物线得交点为(0, ).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

二次函数的最值及增减性   如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

平移问题

二次函数的性质   

第二篇：初中二次函数知识点总结

二次函数

1.一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

3.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

5.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

7.直线与抛物线的交点

 （1）轴与抛物线得交点为(0, ).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

二次函数的最值及增减性   如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

平移问题

二次函数的性质   

二次函数习题

1．已知二次函数有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （     ）

A．a＜b        B．a=b        C．a＞b        D．不能确定

2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）

Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0

3、抛物线y＝x²＋3x的顶点在 (   )

      A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

4、若抛物线y＝ax²－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为 (   )

  A.     B.        C.        D.

5、若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax²＋bx＋c   (   )

     A.开口向上，对称轴是y轴              B.开口向下，对称轴是y轴

     C.开口向下，对称轴平行于y轴                 D.开口向上，对称轴平行于y轴

6、抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为          ．

7、当n＝________，m＝______时，函数y＝(m＋n)＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

8、已知二次函数有最小值为0，则＝             

9、已知函数是二次函数，则＝           。

10、已知抛物线的开口向下，则的值为              。

11、已知抛物线与直线有唯一交点，求k的值。

12、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）；     （2）；     （3）

13、在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？