泛函分析课程教学大纲

第一部份    前言

一、课程基本信息

1.课程类别：专业选修课

2.开课单位：数学与财经系

3.适用专业：数学与应用数学专业

4.备选的教材：《实变函数与泛函分析基础（第二版）》，程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石编，高等教育出版社，2004.

二、课程性质和目标

本课程性质是数学与应用数学专业的一门专业选修课。

本课程的教学目的是通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。

三、课程学时与学分

教学时数： 64 学时

学分数：   4 学分

教学时数具体分配：

第二部份  教学内容及其要求

第七章  度量空间和赋范线性空间

1．教学目标：

要求学生理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映射、赋范线性空间等概念，并掌握压缩映射原理。

2．.教学重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间

3．教学难点：稠密集、可分空间

4．教学时数

5．教学内容纲要

第一节  度量空间的进一步例子

第二节    度量空间的极限，稠密集，可分空间

 一 、度量空间中的点列

二 、某些具体空间中收敛点列

三 、稠密集与可分空间

第三节   连续映射

一、连续映射的定义

二、连续映射的性质

第四节   柯西点列和完备度量空间

一、柯西点列

二、完备度量空间

第五节   度量空间的完备化

第六节 压缩映射原理及其应用
一、压缩映射定理

二、压缩映射定理应用

第七节  线性空间

第八节  赋范线性空间和Banach空间

一、赋范线性空间

二、Banach空间

6. 课程资源

（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.

（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.

（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。

（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。

（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。

（7）夏道行等. 实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987。

（8）郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989。

7．实践教学环节

安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8．教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第八章  有界线性算子和连续线性泛函

1．教学目标：

理解有界线性算子和连续线性泛函；了解线性算子空间和共轭空间。

2．教学重点：有界线性算子和连续线性泛函

3．教学难点：线性算子空间和共轭空间

4． 教学时数

5．教学内容纲要

第一节 有界线性算子和连续线性泛函
  一、有界线性算子

二、连续线性泛函

第二节 线性算子空间和共轭空间
  一、线性算子空间

二、共轭空间第三节 广义函数大意

6．课程资源

（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.

（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.

（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。

（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。

（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。

（7）夏道行等. 实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987。

（8）郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989。

7．实践教学环节

安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8．.教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第九章 内积空间和希尔伯特空间

1．教学目标：

掌握内积空间、希尔伯特空间的概念，了解投影定理。

2．教学重点：内积空间、希尔伯特空间

3．教学难点：希尔伯特空间.

4．教学时数：

5．教学内容纲要

第一节 内积空间的基本概念

一、内积空间的定义

二、内积空间的例子

第二节 投影定理

一、极小化向量定理

二、投影定理

第三节 希尔伯特空间中的规范正交系

一、规范正交系

二、希尔伯特空间中的规范正交系

第四节 希尔伯特空间上的连续线性泛函

第五节 自伴算子、酉算子和正常算子

一、自伴算子

二、酉算子和正常算子

6．课程资源

（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.

（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.

（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。

（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。

（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。

（7）夏道行等. 实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987。

（8）郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989。

7．实践教学环节

安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8．教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第十章  巴拿赫空间中的基本定理

1．教学目标：

理解共轭算子，掌握泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理；了解C[a，b]的共轭空

2．教学重点：泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理

3．教学难点：共轭算子、C[a，b]的共轭空间

4．教学时数

5．教学内容纲要

第一节 泛函延拓定理

一、Hahn—Banach泛函延拓定理

二、赋范线性空间泛函延拓定理

第二节 C[a，b]的共轭空间

第三节 共轭算子

第四节 纲定理和一致有界定理

一、纲定理

二、一致有界定理

第五节 强收敛、弱收敛和一致收敛

一、强收敛、弱收敛

二、一致收敛

第六节 逆算子定理

一、逆算子定理

二、逆算子定理的推论

第七节 闭图像定理

一、闭算子

二、闭图像定理

6.课程资源

（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.

（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.

（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。

（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。

（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。

（7）夏道行等. 实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987。

（8）郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989。

 7．实践教学环节

安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8. 教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第三部份  课程的考核方式及要求

课程成绩以百分制呈现。课程实行严格的考勤制度,累计缺课达到本门课程的三分之一者,本门课程重修，不得参加期末考试。

平时作业、课堂教学情况和考勤占本门课程成绩的30%，期末考核采用闭卷方式进行，考试成绩占课程总评成绩的70%，总评成绩60分及以上为合格。考试时应着重考查本门课程的基本概念、基本方法、基本技能，注意数学应用能力的考核，特别注重与中学数学有密切联系的相关内容考核。

撰稿人：XXX

                                   审稿人：XXX

                                   审核人：XXX

第二篇：泛函分析教学大纲

泛函分析教学大纲

一、     泛函分析课程说明

(一)课程代码  08130013

(二)课程英文名称:Functional Analysis

(三)开课对象: 数学与应用数学专业本科生

(四)  课程性质:

泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》

(五)  教学目的

通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础

(六)  教学内容

本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。

(七)  学时、学分数及学时数具体分配

教学时数：72学时

学分数： 4 学分

教学时数具体分配

(八)  教学方式

以教师讲解为主的课堂教学方式

(九)  考核方式和成绩记载说明

考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占30％，期末成绩占70％。

二、讲授大纲与各章的基本要求

   第一章  度量空间和赋范线性空间

教学要点:

1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射

2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X

3 有理点集是可数稠密集

4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间

教学时数:12学时

教学内容

第一节        度量空间

第二节        度量空间的极限,稠密集,可分空间

第三节        连续影射

第四节        柯西点列和完备度量空间

第五节        度量空间的完备化

第六节        压缩映射原理及其应用

第七节        线性空间

第八节        赋范线性空间和Banach空间

考核要求：

第一节        度量空间  （识记）

第二节        度量空间的极限,稠密集,可分空间  （领会与应用）

第三节        连续影射 （领会与应用）

第四节        柯西点列和完备度量空间（领会与应用）

第五节        度量空间的完备化  （领会）

第六节        压缩映射原理及其应用（领会与应用）

第七节        线性空间  （领会与应用）

第八节        赋范线性空间和Banach空间  （领会与应用）

第二章  有界线性算子和连续线性泛函

教学要点:

1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的 概念

2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间

3 掌握线性同构的概念

教学时数：16学时

教学内容

第一节    有界线性算子和连续线性泛函

第二节    有界线性算子空间和共轭空间

第三节    广义函数

考核要求：

第一节    有界线性算子和连续线性泛函  （识记、领会、应用）

第二节    有界线性算子空间和共轭空间  （识记、领会、应用）

第三节    广义函数  （领会）

第三章  内积空间和Hilbert空间

教学要点:

1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系

2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系

3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系

教学时数：20学时

教学内容：

第一节    内积空间的基本概念

第二节    投影定理

第三节    Hilbert空间中的规范正交系

第四节    Hilbert空间上的连续线性泛函

第五节    自伴算子,酉算子和正常算子

考核要求：

第一节    内积空间的基本概念  （识记，领会，应用）

第二节    投影定理  （领会，应用）

第三节    Hilbert空间中的规范正交系 （领会，应用）

第四节    Hilbert空间上的连续线性泛函  （领会，应用）

第五节    自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）

第四章Banach空间中的基本定理

教学要点:

1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理

2 掌握弱收敛和强收敛的概念

3 理解Baie纲定理

教学时数：16学时

教学内容

第一节    泛函延拓定理

第二节    C[a,b]的共轭空间

第三节    共轭算子

第四节    纲定理和一致有界定理

第五节    强收敛,弱收敛和一致收敛

第六节    逆算子定理

第七节    闭图象定理

考核要求：

第一节    泛函延拓定理  （领会，应用）

第二节    C[a,b]的共轭空间  （领会，应用）

第三节    共轭算子  （识记，领会，应用）

第四节    纲定理和一致有界定理（领会，应用）

第五节    强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）

第六节    逆算子定理（领会，应用）

第七节    闭图象定理（领会，应用）

第五章  线性算子的谱

教学要点:

1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广

2 赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集

3 用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程

教学时数：8学时

教学内容

第一节    谱的概念

第二节    有界线性算子谱的基本性质

第三节    紧集和全连续算子

第四节    自伴全连续算子的谱论

第五节    具对称核的积分方程

考核要求：

第一节    谱的概念  （识记，领会）

第二节    有界线性算子谱的基本性质 （领会，应用）

第三节    紧集和全连续算子  （领会，应用）

第四节    自伴全连续算子的谱论  （领会，应用）

第五节    具对称核的积分方程  （领会，应用）

三、推荐教材和参考书目

《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社

《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社

《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社

《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社

《实变函数论与泛函分析概要》,王声望, 第二版，高等教育出版社

《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社

Introduction to Functioal Analysis,A.B.Tayor,New york

Functional Analysis.Walter Rudin,New York:Mcgraw-Hill Book Com