放缩法在数列不等式证明中的运用

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。

一、     放缩后转化为等比数列。

例1. 满足：

（1）   用数学归纳法证明：

（2）   ，求证：

解：(1)略

(2)

  又 

   ，

  迭乘得：

 

 

点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

二、放缩后裂项迭加

例2．数列，，其前项和为

求证：

解：

令，的前项和为

当时，

   

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数的图象在处的切线方程为

（1）用表示出

（2）若在上恒成立，求的取值范围

（3）证明：

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：当

令

且当

令

即

将上述n个不等式依次相加得

整理得

点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。

三、     放缩后迭乘

例4．.

（1）   求

（2）   令，求数列的通项公式

（3）   已知，求证：

 解：（1）（2）略

     由（2）得

    

    

    

        

       点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求项和时用迭加，求项乘时用迭乘。

第二篇：高中数学数列方法大总结

一、等差数列与等比数列

二、等差数列的性质：

1若等差等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.

2数列的项数为2，则；

3若等差数列的项数为，则，且，

4若等差数列、的前和分别为、，则=

如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）

三、数列通项  数列{}的前项和与通项的关系：

1） 把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解

。

如已知数列满足，，则=________

在数列中，， ，则                 

2）已知求，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求（答：）设{an}的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。

3）（为p,q为常数且）的数列

（Ⅰ）可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出

（Ⅱ）可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用迭代或迭加求出

（Ⅲ） ,先用累加法求再求

如已知，求（答：）；

数列中，，求  （.）

已知，求（答：）；

4）（）（为常数且）的递推数列都可以用倒数法求通项。可化为=求出的表达式，再求．

如（１）已知，求（答：）；

（２）已知数列满足=1，，求（答：）

四、例题讲解：

1、 

2、数列满足，求

3、已知数列中，，且是递增数列，求的取值范围（）；

4、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为                .     （答案：-2）

5、数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。

6、在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）     求数列的前项和

7、已知=2，点在函数的图像上，证明数列是等比数列；求；