第二章概率和概率分布
2.1 做这样一个试验，取一枚五分硬币，将图案面称为A，文字面称为B。上抛硬币，观察落下后是A向上还是B向上。重复10次为一组，记下A向上的次数，共做10组。再以100次为一组，1 000次为一组，各做10组，分别统计出A的频率，验证2.1.3的内容。
答：在这里用二项分布随机数模拟一个抽样试验，与同学们所做的抽样试验并不冲突。以变量Y表示图向上的次数，n表示重复的次数，m表示组数，每次落下后图向上的概率φ＝1/2。SAS程序如下，该程序应运行3次，第一次n＝10，第二次n＝100，第三次n＝1000。
options nodate;
data value;
n=10;
m=10;
phi=1/2;
do i=1 to m;
retain seed 3053177;
do j=1 to n;
y=ranbin(seed,n,phi);
output;
end;
end;
data disv;
set value;
by i;
if first.i then sumy=0;
sumy+y;
meany=sumy/n;
py=meany/n;
if last.i then output;
keep n m phi meany py;
run;
proc print;
title 'binomial distribution: n=10 m=10';
run;
proc means mean;
var meany py;
title 'binomial distribution: n=10 m=10';
run;
以下的三个表是程序运行的结果。表的第一部分为每一个组之Y的平均结果，包括平均的频数和平均的频率，共10组。表的第二部分为10组数据的平均数。从结果中可以看出，随着样本含量的加大，样本的频率围绕0.5做平均幅度越来越小的波动，最后稳定于0.5。
2.2 每个人的一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X染色体来自外祖父的概率是多少？来自祖父的概率呢？
答： （1）设A为一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的事件，则
（2）设B为男性的X染色体来自外祖父的事件，则
（3）设C为男性的X染色体来自祖父的事件，则
2.3 假如父母的基因型分别为IAi和IBi 。他们的两个孩子都是A型血的概率是多少？他们生两个O型血女孩的概率是多少？
答：父：
母：
2.4 白化病是一种隐性遗传病，当隐性基因纯合时（aa）即发病。已知杂合子（Aa）在群体中的频率为1 / 70，问一对夫妻生出一名白化病患儿的概率是多少？假如妻子是白化病患者，她生出白化病患儿的概率又是多少？
答：（1）已知 
所以
（2）已知 
所以
2.5 在图2－3中，III1为Aa个体，a在群体中的频率极低，可排除a多于一次进入该系谱的可能性，问III2亦为a的携带者的概率是多少？
答：设：事件A：III1含a，
事件B：II2含a，
事件C：I3含a，
事件D：II2含a，
事件E：III2含a，
事件C’：I4含a，
图 2－3
同理可得：
故III2含a总的概率为：
2.6 一个杂合子AaBb自交，子代基因型中有哪些基本事件？可举出哪些事件？各事件的概率是多少？
答：1．共有16种基因型，为16个基本事件。
2．可举出的事件及其概率：
A1： 包含四个显性基因 = {AABB}
A2： 包含三个显性基因 = {AABb, AAbB, AaBB, aABB}
A3： 至少包含三个显性基因 = { AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB}
A4： 包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaBB}
A5： 至少包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaBB
AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB}
A6： 包含两个不同的显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB}
A7： 包含两个相同的显性基因 = {AAbb, aaBB}
?
2.7 一对表型正常的夫妻共有四名子女，其中第一个是隐性遗传病患者。问其余三名表型正常的子女是隐性基因携带者的概率是多少？
答：样本空间W = {AA, Aa, aA}
2.8 自毁容貌综合征是一种X连锁隐性遗传病，图2－4是一个自毁容貌综合征患者的家系图。该家系中III2的两位舅父患有该病，III2想知道她的儿子患该病的概率是多少？（提示：用Bayes定理计算II5在已生四名正常男孩的条件下是携带者的条件概率）
答：
若IV
1是患者，III
2必定是携带者，II
5亦必定是携带者。已知II
2和II
3为患者，说明I
2为杂合子，这时II
5可能是显性纯合子也可能是杂合子。称II
5是杂合子这一事件为
A1，II
5是显性纯合子这一事件为
A2，则：
设II5生4名正常男孩的事件为事件B，则II5为杂合子的条件下，生4名正常男孩 （III3至III6）的概率为：
II5为显性纯合子的条件下，生4名正常男孩的概率为：
将以上各概率代入Bayes公式，可以得出在已生4名正常男孩条件下，II5为杂合子的概率：
由此得出III2为杂合子的概率：
P（III2为杂合子）
以及III2的儿子（IV1）为受累者的概率：
P（IV1为患者）
2.9 Huntington舞蹈病是一种由显性基因引起的遗传病，发病年龄较迟，图2－5为一Huntington舞蹈病的家系图。III1的外祖父I1患有该病，III1现已25岁，其母II2已43岁，均无发病迹象。已知43岁以前发病的占64%，25岁以前发病的占8%，问III1将发病的概率是多少？（提示：用Bayes定理先求出II2尚未发病但为杂合子的条件概率）
答：根据以上资料可以得出：
II2为杂合子的概率 
II2为正常纯合子的概率 
II2为杂合子，但尚未发病的概率 
= 0.36
II2为正常纯合子，但尚未发病的概率 图 2－5
因此，II2尚未发病但为杂合子的概率
III1为杂合子的概率 
III1为正常纯合子的概率 
III1为杂合子，但尚未发病的概率 
III1为正常纯合子，但尚未发病的概率 
因此，III1尚未发病，但为杂合子的概率
所以，III1为该病患者的概率为12%。
2.10 一实验动物养殖中心，将每30只动物装在一个笼子中，已知其中有6只动物体重不合格。购买者从每一笼子中随机抽出2只称重，若都合格则接受这批动物，否则拒绝。问：
（1）检查第一只时就不合格的概率？
（2）第一只合格，第二只不合格的概率？
（3）接受这批动物的概率？
答：（1）设A为第一只不合格的事件，则
（2）设B为第二只不合格的事件，则
（3）接受这批动物的概率 
2.11 一名精神科医生听取6名研究对象对近期所做梦的叙述，得知其中有3名为忧郁症患者，3名是健康者，现从6名研究对象中选出3名，问：
（1）一共有多少种配合？
（2）每一种配合的概率？
（3）选出3名忧郁症患者的概率？
（4）至少选出两名忧郁症患者的概率？
答：（1）
（2）
（3）
（4）
2.12 图2－6为包含两个平行亚系统的一个组合系统。每一个亚系统有两个连续控制单元，只要有一个亚系统可正常工作，则整个系统即可正常运行。每一单元失灵的概率为0.1，且各单元之间都是独立的。问：
（1）全系统可正常运行的概率？
（2）只有一个亚系统失灵的概率？ 图 2－6
（3）系统不能正常运转的概率？
答：（1）P（全系统可正常运行）= 0.94 + 0.93 × 0.1 × 4 + 0.92 × 0.12 × 2 = 0.963 9
（2）P（只有一个亚系统失灵） = 0.92 × 0.12 ×2 + 0.93 × 0.1 × 4 = 0.307 8
（3）P（系统不能正常运转） = 0.14 + 0.13 × 0.9 × 4 + 0.12 × 0.92 × 4 = 0.036 1
或 = 1 – 0.963 9 = 0.036 1
2.13 做医学研究需购买大鼠，根据研究的不同需要，可能购买A，B，C，D四个品系中的任何品系。实验室需预算下一年度在购买大鼠上的开支，下表给出每一品系50只大鼠的售价及其被利用的概率：
问：（1）设Y为每50只大鼠的售价，期望售价是多少？
（2）方差是多少？
答：（1）
（2）
2.14Y为垂钓者在一小时内钓上的鱼数，其概率分布如下表：
问：（1）期望一小时内钓到的鱼数？
（2）它们的方差？
答：
0 × 0.001 + 1 × 0.010 + 2 × 0.060 + 3 × 0.185 + 4 × 0.324 + 5 × 0.302 + 6 × 0.118= 4.2
σ2 = 02 ×0.001 + 12 ×0.010 + 22 ×0.060 + 32 ×0.185 + 42 ×0.324 + 52 ×0.302 + 62 ×0.118 – 4.22
= 1.257
2.15 一农场主租用一块河滩地，若无洪水，年终可望获利20 000元。若出现洪灾，他将赔掉12 000元（租地费、种子、肥料、人工费等）。根据常年经验，出现洪灾的概率为0.4。问：（1）农场主期望赢利？
（2）保险公司应允若投保1 000元，将补偿因洪灾所造成的损失，农场主是否买这一保险？
（3）你认为保险公司收取的保险金是太多还是太少？
答：（1）未投保的期望赢利：E（X）= 20 000 × 0.6 + (12 000) × 0.4 = 7 200（元）
（2）投保后的期望赢利：E（X）= (20 000 – 1 000) × 0.6 + (?1 000) × 0.4 = 11 000（元）。
当然要买这一保险。
（3）保险公司期望获利：E（X）= 1000 × 0.6 + (?12000 + 1000) × 0.4 = ?3800（元）
收取保险金太少。