高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳

基础知识：

1．直线与圆的方程；    2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；

    3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。

基本方法：

1．  待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；

2．  齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3．  韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．  点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．  距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例. 【浙江理数】设、分别为双曲线（>0、>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（  ）

A.       B.  C.            D.                             【答案】C

例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（  ）

A.      B.      C.    D.                                       【答案】D

例．（14分）已知椭圆.过点（2，—1）且方向向量为的直线L交椭圆与A、B两点。

⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用表示）；

⑵若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为，求的面积。

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

二、“是否存在”问题

例．（14分）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线（>0）于B、C两点，且线段BC长为。

（I）求抛物线的方程；

（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

（答：。存在点D（2，2）或（8，-4））

例. 【北京理数】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

三、过定点、定值问题

例、（14分）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线L的方程为4x+y-20=0.

(Ⅰ)求抛物线S的方程;

(Ⅱ)若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足。试说明动直线PQ是否过一个定点。

（答：，定点为M（16，0））

例.(14分)已知椭圆C：（>>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设，。求证：为定值，并计算出该定值。

点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。

例．（14分）过抛物线（>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果（O为原点）的面积是S，求证：为定值。（答：）

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

四．最值问题

例．（14分）定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的纵坐标。（答：最短距离为，M的纵坐标为）

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

五、求参数范围问题。      

常用思路：寻找不等式。将各限制条件都列出，再求交集。不要遗漏限制条件。

常用建立不等式的途径：

(1)    直线与曲线有交点时判别式大于等于零；

⑵       圆锥曲线中变量X、Y的取值范围；

⑶       点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内部；

⑷       已知题设中有的范围；

⑸       正弦函数、余弦函数的有界性；

⑹       均值不等式；

⑺       焦半径的取值范围；

⑻       函数的值域;

⑼       三角形图形中两边之和大于第三边。

例：1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则t的取值范围为_________.（答：

2．【福建文数】若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（  ）

A．2       B．3     C．6    D．8              【答案】C（利用圆锥曲线中变量X、Y的取值范围；）

3．设>1，则双曲线的离心率e的取值范围为_________;（答：）

4．若、是双曲线的左右焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为____________;（答：）

5.若M是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左、右焦点，则的最大值为____;（答：9）（利用均值不等式）

6．若点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到准线的距离之和的最小值为__________;（答：）（利用三角形两边之和大于第三边）

六、规范解题

解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：

一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：

   ①“以弦AB为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K是否存在）    

   ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”

“向量的数量积大于、等于、小于0问题”>0；

       ③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；

       ④“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；

⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；

七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

七、站在系统的高度探究问题的本原

“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。

请证明以下命题：

案例一：抛物线（>0），过焦点F（，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（，）、B（，）。如图

（一）  有关定值问题：

（1）；

（2）

（3）

（4）；

（5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则；

（二）  与数列有关的问题

（1）   AB为焦点弦，T为准线上任意一点，则TA、TF、TB的斜率成等差数列；

（2）   AB为焦点弦，过点A、B的切线相交于点M，则、、成等比数列；

（三）  有关圆的问题

（1）   以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；以为直径的圆与抛物线的弦AB相切；

（2）   以AF为直径的圆与y轴相切；以BF为直径的圆与y轴相切；

（3）   其中性质（1）抛物线的准线与x轴的交点E在以AB为直径的圆外。

（四）  有关共线问题

（1）A、O、三点共线；  （2）B、O、三点共线；

（五）  有关平分问题：

EF平分

（六）  有关面积问题

（1）；   （2）；（3）；

（七）有关定点问题

符合以上任一条性质的弦AB过一定点F（即抛物线的焦点）。

案例二：抛物线（>0），过点（，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（，）、B（，）。则

（一）；

（二）以AB为直径的圆经过原点；

（三）的最小值为，此时；

（四）当时，以AB为直径的圆的面积最小；

（五）过O作，垂足为M，则M点必在一个圆的圆周上；（答：，除原点外）；

案例三：抛物线（>0），过点M（，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（，）、B（，）。

（一）；

（二）；

（三）。

第二篇：高考二轮小专题_：圆锥曲线题型归纳精品2

各位教师，同学，我精心汇总，好好利用

高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳

基础知识：

1．直线与圆的方程；    2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；

    3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。

基本方法：

1．  待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；

2．  齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3．  韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．  点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．  距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例. 【浙江理数】设、分别为双曲线（>0、>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（  ）

A.       B.  C.            D.                             【答案】C

例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（  ）

A.      B.      C.    D.                                       【答案】D

例．（14分）已知椭圆.过点（2，—1）且方向向量为的直线L交椭圆与A、B两点。

⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用表示）；

⑵若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为，求的面积。

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

二、“是否存在”问题

例．（14分）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线（>0）于B、C两点，且线段BC长为。

（I）求抛物线的方程；

（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

（答：。存在点D（2，2）或（8，-4））

例. 【北京理数】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

三、过定点、定值问题

例、（14分）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线L的方程为4x+y-20=0.

(Ⅰ)求抛物线S的方程;

(Ⅱ)若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足。试说明动直线PQ是否过一个定点。

（答：，定点为M（16，0））

例.(14分)已知椭圆C：（>>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设，。求证：为定值，并计算出该定值。

点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。

例．（14分）过抛物线（>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果（O为原点）的面积是S，求证：为定值。（答：）

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

四．最值问题

例．（14分）定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的纵坐标。（答：最短距离为，M的纵坐标为）

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

五、求参数范围问题。      

常用思路：寻找不等式。将各限制条件都列出，再求交集。不要遗漏限制条件。

常用建立不等式的途径：

(1)    直线与曲线有交点时判别式大于等于零；

⑵       圆锥曲线中变量X、Y的取值范围；

⑶       点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内部；

⑷       已知题设中有的范围；

⑸       正弦函数、余弦函数的有界性；

⑹       均值不等式；

⑺       焦半径的取值范围；

⑻       函数的值域;

⑼       三角形图形中两边之和大于第三边。

例：1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则t的取值范围为_________.（答：

2．【福建文数】若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（  ）

A．2       B．3     C．6    D．8              【答案】C（利用圆锥曲线中变量X、Y的取值范围；）

3．设>1，则双曲线的离心率e的取值范围为_________;（答：）

4．若、是双曲线的左右焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为____________;（答：）

5.若M是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左、右焦点，则的最大值为____;（答：9）（利用均值不等式）

6．若点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到准线的距离之和的最小值为__________;（答：）（利用三角形两边之和大于第三边）

六、规范解题

解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：

一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：

   ①“以弦AB为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K是否存在）    

   ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”

“向量的数量积大于、等于、小于0问题”>0；

       ③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；

       ④“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；

⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；

七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

七、站在系统的高度探究问题的本原

“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。

请证明以下命题：

案例一：抛物线（>0），过焦点F（，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（，）、B（，）。如图

（一）  有关定值问题：

（1）；

（2）

（3）

（4）；

（5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则；

（二）  与数列有关的问题

（1）   AB为焦点弦，T为准线上任意一点，则TA、TF、TB的斜率成等差数列；

（2）   AB为焦点弦，过点A、B的切线相交于点M，则、、成等比数列；

（三）  有关圆的问题

（1）   以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；以为直径的圆与抛物线的弦AB相切；

（2）   以AF为直径的圆与y轴相切；以BF为直径的圆与y轴相切；

（3）   其中性质（1）抛物线的准线与x轴的交点E在以AB为直径的圆外。

（四）  有关共线问题

（1）A、O、三点共线；  （2）B、O、三点共线；

（五）  有关平分问题：

EF平分

（六）  有关面积问题

（1）；   （2）；（3）；

（七）有关定点问题

符合以上任一条性质的弦AB过一定点F（即抛物线的焦点）。

案例二：抛物线（>0），过点（，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（，）、B（，）。则

（一）；

（二）以AB为直径的圆经过原点；

（三）的最小值为，此时；

（四）当时，以AB为直径的圆的面积最小；

（五）过O作，垂足为M，则M点必在一个圆的圆周上；（答：，除原点外）；

案例三：抛物线（>0），过点M（，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（，）、B（，）。

（一）；

（二）；

（三）。