解圆锥曲线问题常用以下方法:
1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。
(2)双曲线有两种定义。第一定义中,,当r1>r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:
(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有。
(2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。
解:(1)(2,)
连PF,当A、P、F三点共线时,最小,此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2),(注:另一交点为(),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)
(2)()
过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,∴Q()
点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
例2、F是椭圆的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。
(1)的最小值为
(2)的最小值为
分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。
解:(1)4-
设另一焦点为,则(-1,0)连A,P
当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。
(2)3
作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=,
∴
∴
当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为
例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的)。
解:如图,,
∴
∴ (*)
∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为
点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。
分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。
解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA
∴
即 (*)
∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)
∵2a=6,2c=10
∴a=3, c=5, b=4
所求轨迹方程为 (x>3)
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。
分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。
解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)
则由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴,
≥
当4x02+1=3 即 时,此时
法二:如图,
∴, 即,
∴, 当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关于x0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。
例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。
分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统”,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可得防
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
解:(1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
(2)
∴当m=5时,
当m=2时,
点评:此题因最终需求,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差,得,将y0=x0+1,k=1代入得,∴,可见
当然,解本题的关键在于对的认识,通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。
椭圆与双曲线的对偶性质总结
椭 圆
1. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
2. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
3. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.
4. 椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
,( , ).
5. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,
即。
双曲线
1. 若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.
2. 若在双曲线(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
3. 双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.
4. 双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( ,
当在右支上时,,.
当在左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=a-ex0
5. AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
第二篇:椭圆的对偶性质总结
椭圆的对偶性质总结
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.
8. 椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
,( , ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,
则,即。
12. 若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线的对偶性质总结
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
5. 若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.
6. 若在双曲线(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.
8. 双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( ,
当在右支上时,,.
当在左支上时,,
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11. AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
12. 若在双曲线(a>0,b>0)内,
则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆的经典结论
1. 椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过椭圆 (a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
3. 若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.
4. 设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有.
5. 若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.
7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);
(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;
(3)的最小值是.
9. 过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10. 已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
11. 设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,
则 (1). (2) .
12. 设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .
13. 已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线的经典结论
1. 双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,
则直线BC有定向且(常数).
3. 若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ,
则(或).
4. 设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,
则有.
5. 若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.
7. 双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知双曲线(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.
(1);
(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;
(3)的最小值是.
9. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10. 已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
11. 设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .
12. 设A、B是双曲线(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,, ,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有
(1).
(2) .
(3) .
13. 已知双曲线(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.