圆锥曲线题型总结

高考圆锥曲线的七种题型；题型一：定义的应用；1、圆锥曲线的定义：；（1）椭圆；（2）椭圆；（3）椭圆；2、定义的应用；（1）寻找符合条件的等量关系；（2）等价转换，数形结合；3、定义的适用条件：；典型例题；例1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,；例2、方程；题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程；1、椭圆：由2、双曲线：由,,分母的大小决

高考圆锥曲线的七种题型

题型一：定义的应用

1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆

（2）椭圆

（3）椭圆

2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系

（2）等价转换，数形结合

3、定义的适用条件：

典型例题

例1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。

例2、方程

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

1、椭圆：由2、双曲线：由,,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 表示的曲线是 2222

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题

x2y2

例1、已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m?12?m

x2y2

??1的曲线： 例2、k为何值时,方程9?k5?k

(1)是椭圆;

(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积S?btan2?

2 ；双曲线焦点三角形面积S?bcot2?

2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；

典型例题

22xy例1、椭圆22?，求1(a?b?0)上一点P与两个焦点FFPF?1，2的张角∠F12?ab

证：△F1PF2的面积为btan2?。

2

例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且

．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； ，

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法

典型例题

x2y2

例1、已知F1、F2是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab

三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 4?2 B. ?1 C.

?1 D. ?1

2

x2y2

例2、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,ab

则双曲线离心率的取值范围为

A. (1,3)

B.?1,3? C.(3,+?) D.?3,???

x2y2

例3、椭圆G：2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1(?c,0),F2(c,0)，椭圆上存在 ab

点M使F1M?F2M?0. 求椭圆离心率e的取值范围；

例4、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?的直线 ab

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）(1,2] （B）(1,2) （C）[2,??) （D）(2,??)

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

x2y2

点在椭圆内?2?2?1 ab

x2y2

点在椭圆上?2?2?1 ab

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

?>0?相交

?=0?相切 （需要注意二次项系数为0的情况）

?<0?相离

3、弦长公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a

AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka

4、圆锥曲线的中点弦问题：

1、伟达定理：

2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线

的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点0P的轨迹方程为

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线

例5、一动圆与两圆⊙M：

的轨迹为

(4)代入转移法：动点

在某已知曲线上，则可先用迹方程:

例6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________

(5)

参数法：当动点

虑将

例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考上任一点，定点为,点M分所成的比为2，依赖于另一动点

的代数式表示的变化而变化，并且，再将又和⊙N：都外切，则动圆圆心的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ 代入已知曲线得要求的轨均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 程是

题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与；二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出；三、联立方程组；；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线；五、根据条件重转化；常有以下类型：；①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是；?????????OA?OB?K1?K2??1?；②“点在圆内、圆上、圆外问题”；?“直角、锐角、钝角问题

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

五、根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）

?????????OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?x1x2?y1y2>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共线问题”

????????（如：AQ??QB ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

（如：A、O、B三点共线?直线OA与OB斜率相等）；

⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系；

⑥“弦长、面积问题”

?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；

六、化简与计算；

七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

典型例题：

例1、已知点F?0,1?，直线l：y??1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D?0,2?，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?l1，DB?l2，求

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为

线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上

运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

????????????????l1l2?的最大值． l2l1

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设

求λ的取值范围.

DM=λ，DN

x2y2

例3、设F1、F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点。 ab

（1）设椭圆C

上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线

PM ，PN 的斜率都存在，并记为kPM，kPN ，试探究kPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y

轴上，短轴长为

，P是椭圆在第一 2

?????????象限弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆

于A、B两点。

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值；

第二篇：高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结20xx.01

圆 锥 曲 线 知 识 点 总 结

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视.若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.

如方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）.方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）.

若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）.方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）.

如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时.

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上.如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.

提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，.

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁.

如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：.

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线.

如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；

5.点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；

（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.

（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；

（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离.

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.

7.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）

问题： ，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线.      练习：点P是双曲线上上一点，为双曲线的两个焦点，且=24，求的周长.

8.抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝.特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解.

10.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

弦所在直线的方程：                 垂直平分线的方程：

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=.

提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

11．了解下列结论（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）.

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

12.圆锥曲线中线段的最值问题：

例(1)抛物线C:y²_­=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

 (2)抛物线C: y²_­=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为             .

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小.

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小. 解：（1）（2，）（2）（）