重积分
§ 1 二重积分的概念与性质
1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
其中D为：
( =
)
2、设D为圆域
若积分
=
，求a的值。
解： =
3、设D由圆
求
解：由于D的面积为
, 故=
4、设D：
，
，比较
, 与
的大小关系
解：在D上，
,故
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 
和曲面
所围的
立体的体积，可用二重积分表示为
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
(
)
7、设f(x,y)为有界闭区域D：
上的连续函数，求
解：利用积分中值定理及连续性有
§ 2 二重积分的计算法
1、设
，其中D是由抛物线
与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（ ）
A ： 
B ： 
C ： 
D ： 
2、设D是由不等式
所确定的有界区域，则二重积分
为
（ ）
A ：0 B： 
C ：
D： 1
3、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分
为（ ）
A：
B ：
C ：
D：
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分
为（ ）
A 
B 
C
D 
5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重
积分
为（ ）
A 
B 
C 
D 
6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分
为（ ）
A
B 
C 
D 
7、.设f(x,y)为连续函数，则
为( )
A 
B 
C 
D 
8、求 
，其中 
由x=2,y=x,xy=1所围成. (
)
9、设I=
,交换积分次序后I为：
I=
=
10、改变二次积分的次序： 
= 
11、设 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} ,求
的值
解：
=
12设 I=
,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I (
)
13、计算二重积分
，其中D是圆域
解：=
14、计算二重积分
，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}
解： 
=
15、计算二重积分
，D：
解：=
§ 3 三重积分
1、设
是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则
为( )
A 
B 
C 
D 
2、设是由曲面x2+y2=2z,
及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分
表示为累次积分，I=（ ）
A 
B 
C 
D 
3、设是由
所确定的有界闭域，求三重积分
解：=
=2
4、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求
(1/364)
5、设是球域：
，求
(0)
6、计算
其中
为：平面z=2与曲面
所围成的
区域 (
)
7、计算
其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求
解：
=
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积
=2x, =4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
A 
B 
C 
D 
(2) 、位于两圆
与
之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0,
) B (0,
) C (0,
) D (0,
)
(3)、由抛物面
和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
A (
) B (
) C (
) D (
)
(4)、 质量分布均匀(密度为
)的立方体所占有空间区域:
,该立方体到oz轴的转动惯量IZ=( )
A B C D 
2、求均匀上半球体(半径为R)的质心
解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=
故质心为(0,0,
)
4、 曲面
将球面
分割成三部分，由上至下依次记
这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3
解：
5、求曲面
包含在圆柱
内部的那部分面积
解：
6、求圆柱体
包含在抛物面
和xoy平面之间那部分立
体的体积
解：
第九章 自测题
一、选择题: （40分）
1、
=( )
A
B 
C 
D
.
2、设
为,当
( )时,
.
A 1 B 
C 
D 
3、设
,其中由
所围成,则
=( B ).
A
B
;
C
D
.
4、设是由三个坐标面与平面
=1所围成的空间区域,则
=( ).
A 
B 
C 
D 
.
5 、设是锥面
与平面
所围成的空间区域在第一卦限的部分,则
=( ).
A
B 
C 
D 
.
6、计算
,
围成的立体,则正确的为( )和（）
A 
B 
C 
D 
.
7、曲面
包含在圆柱
内部的那部分面积
( )
A 
B 
C 
D 
.
8、由直线
所围成的质量分布均匀(设面密度为
)的平面薄板,关于
轴的转动惯量
=( ).
A 
B 
C 
D 
二、计算下列二重积分:（20分）
1、
,其中
是闭区域:
(
)
2、
,其中是由直线
及圆周
,
所围
成的在第一象 限内的闭区域 . (
)
3、
,其中是闭区 域:
( 
)
4、
,其中:
. (
)
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
1、
(
)
2、
(
)
3、
()
四、计算下列三重积分:（15分）
1、
:抛物柱面
所围成的区域 (
)
2、
其中是由
平面上曲线
绕
轴旋转而成的曲面与
平面
所围 (
)
五、（5分）求平面
被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
(
)
六、（5分）设
在
上连续,试证: 
=
=
第二篇：大一下册高数习题册答案第9章
第9章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设
.
二、求下列函数的定义域：
1、
2、
三、求下列极限：
1、
（0）
2、
(
)
四、证明极限 
不存在.
证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着
趋于（0，0）时，极限为
,
二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数
在整个xoy面上连续。
证明：当
时，
。当
时，
，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
在整个xoy面上连续。
六、设
且当y=0时
，求f(x)及z的表达式.
解：f(x)=
，z
§ 2 偏导数
1、设z=
,验证 
证明：
，
2、求空间曲线
在点（
）处切线与y轴正向夹角(
)
3、设
, 求
( 1)
4、设
, 求 
，
，
解：
，
5、设
，证明 : 
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
连续； 
不存在， 
7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 
（2fx(a,b)）
§ 3 全微分
1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
1）
2）
解：
3）
解：
3、设
， 求
解：
=
4、设
求：
5、讨论函数
在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
解：
所以
在（0，0）点处连续。
，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
1、 设
，求
解：=
2、 设
，求
3、 设
，
可微，证明
4、 设
，其中具有二阶连续偏导数，求
，
， 
解：
,
,
=
,
5、 设
，其中具有二阶连续偏导数、
具有二阶连续导数，求
解：
，
6、 设
，
，
，求
解：
。
7、设
，且变换
可把方程
=0 化为 
，
其中
具有二阶连续偏导数，求常数
的值 
证明：
得：
a=3
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,
,
又，
求 
和
(1) , (a+ab+ab2+b3)
§ 5 隐函数的求导公式
1、 设
，求
解：令
，
2、 设
由方程
确定，其中可微，证明 
3、 设由方程
所确定，其中可微，求
4、 设
，求，
( 
，
)
5、 设由方程
所确定，
可微，求
解：令
，则
6、设
由方程
所确定，求
(
)
7、设z=z(x,y)由方程 
所确定，求
, 
,
, 
§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线
在对应于
处的切线及法平面方程
解：切线方程为
法平面方程
2、 求曲线
在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为 
，法平面方程：
3、 求曲面
在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：切平面方程为
及法线方程
4、 设
可微，证明由方程
所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行
证明：令
，则
，所以在（
）处的切平面与定向量（
）平行。
5、 证明曲面
）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为
证明：令
，则
在任一点
处的切平面方程为
在在三个坐标轴上的截距分别为
在三个坐标轴上的截距的平方和为
证明曲面
上任意一点
处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有
k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点
证明 ： 两边对t 求导，并令t=1
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
+
+
=0
此平面过原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度
1、 设函数
， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向
的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
解：梯度为 
, 方向导数达到最大值的方向为
，方向导数达到
最小值的方向为
。
2、 求函数
在（1，2，-1）处沿方向角为
的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：：方向导数 为
，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
，此时最大值为 
3、 求函数
在（1，1，-1）处沿曲线
在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。
解：：
，
，该函数在点（1，1，-1）处的方
向导数为
，
4、求函数
在（1，1，-1）处的梯度。
解：：
，
§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数
的极值。
答案：（
，）极小值点
2．求函数
的极值
答案：极小值
3. 函数
在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5)
4、求函数
在条件
下的条件极值
解：
，极小值为
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、 在球面
（
）上求一点，使函数
达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明
有
证明：令
令
，解得驻点
。所以函数在处达到极大值。极大值为
。即
，令
得。
7、求椭球面
被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解： 
，
，
长半轴 
， 短半轴 
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数
则 [ ]
A、
存在；
B、不存在；
C、存在， 且
在(0,0)处不连续；
D、存在， 且在(0,0)处连续。
2、函数在
各一阶偏导数存在且连续是在连续的[ ]
A、必要条件； B、充分条件；
C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。
3、函数
在(0,0)点处 [ ]
A、极限值为1； B、极限值为-1；
C、连续； D、无极限。
4、
在
处
，
存在是函数在该点可微分的 [ ]
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。
5、点
是函数
的 [ ]
（A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；
（C）极大值点； （D）最大值点。
6、曲面
在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A）
； （B）
；
（C）
； （D）
7、已知函数
均有一阶连续偏导数，那么
[ ]
(A)
; (B) 
;
(C) 
; (D) 
二、填空题：（每题３分，共18分）
1、
（ 0 ）
２、设
，则
（ 
）
３、设
则
( 0 )
４、设
，则在点
处的全微分.
５、曲线
在点
处的切线方程为( 
)
６、曲线
在点(1,1,1)处的切线方程为( 
)
三、计算题（每题6分）
1、设
，求的一阶偏导数
， 
。
2、设
，求此函数在点
处的全微分。并求该函数在该点处沿着从
P
到
方向的方向导数 ( 
，
)
３、设
具有各二阶连续偏导数，求
解：
４、设
求和。
不存在，故
不存在，同理，
也不存在。
当
时，有
５、设由方程所确定，求 ( )
６、设
，具有连续的二阶偏导数，
可导，求
７、设
确定函数
，求
。
８、设
，式中二阶可导，求
解：记
，则
，
类似地，有
四、（１０分）试分解正数
为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
设三个正数为
，则
，记
，令
则由
解出
。
五、证明题：（１０分）
试证：曲面
上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中连续可导。
证明：曲面在任一点
处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为
，则
，即
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。