将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC  = 80^o  ,P为形内一点，若∠PBC = 10^o  ∠PCB = 30^o  求∠PAB的度数.

有平行线时常作平行线构造平行四边形

例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90^o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H

求证：CE = BH

直角三角形常用辅助线方法：

例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E

求证：AC = CE

正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.

例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F

求证：AP = EF

从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.

例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90^o，BD = BC，BD交AC于O

求证：CO = CD

有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形.

例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC

求证：∠AEC = 3∠DAE

等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD相交于O，∠AOB = 60^o ，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点

求证：△MEF是等边三角形

【知识点归纳】

1. 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。

（1）=

（2）根的判别式：

对于一元二次方程（）

当方程有两个不相等的实数根；

①       当方程有两个相等的实数根；

（当方程有实数根；）

②当方程无实数根；

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围

（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

①先计算出判别式（关键步骤）；

②用配方法将判别式恒等变形；

③判断判别式的符号；

④总结出结论.

3. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

    (1)如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x₁，x₂，那么，

(2)如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-P，
x₁x₂=q
 

(3)以x₁，x₂为根的一元二次方程(二次项系数为1):
x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0．

习题：

已知x²－x－1=0，则－x³＋2x²＋2 002的值为（    ）．C

A．2 001            B．2 002              C．2 003              D．2 004

（2010 山东淄博）已知关于x的方程．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区20##年底拥有家庭轿车64辆，20##年底家庭轿车的拥有量达到100辆.

（1）     若该小区20##年底到20##年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到20##年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）     为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.

将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC  = 80^o  ,P为形内一点，若∠PBC = 10^o  ∠PCB = 30^o  求∠PAB的度数.

解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE

则∠BAE =∠ABE = 60^o

AE = AB = BE

∵AB = AC

∴AE = AC   ∠ABC =∠ACB

∴∠AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠BAE

        = 80^o －60^o = 20^o

∴∠ACE = (180^o－∠EAC)= 80^o

∵∠ACB= (180^o－∠BAC)= 50^o

∴∠BCE =∠ACE－∠ACB

       = 80^o－50^o = 30^o

∵∠PCB = 30^o

∴∠PCB = ∠BCE

∵∠ABC =∠ACB = 50^o, ∠ABE = 60^o

∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60^o－50^o =10^o

∵∠PBC = 10^o

∴∠PBC = ∠EBC

在△PBC和△EBC中

∠PBC = ∠EBC

BC = BC

∠PCB = ∠BCE

∴△PBC≌△EBC

∴BP = BE

∵AB = BE

∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50^o－10^o = 40^o

∴∠PAB = (180^o－∠ABP)= 70^o

有平行线时常作平行线构造平行四边形

例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90^o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H

求证：CE = BH

证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为平行四边形

∴∠B =∠FPA，BH = FP

∵∠ACB = 90^o，CD⊥AB

∴∠5＋∠CAB = 45^o，∠B＋∠CAB = 90^o

∴∠5 =∠B

∴∠5 =∠FPA

又∵∠1 =∠2，AF = AF

∴△CAF≌△PAF

∴CF = FP

∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B

∴∠3 =∠4

∴CF = CE

∴CE = BH

直角三角形常用辅助线方法：

例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E

求证：AC = CE

证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG

∴∠FAE = ∠AEG

∵四边形ABCD为矩形

∴∠BAD = 90^o   OA = OD

∴∠BDA =∠CAD

∵AF⊥BD

∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90^o

∴∠BAF =∠ADB =∠CAD

∵AE为∠BAD的平分线

∴∠BAE =∠DAE

∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC

即∠FAE =∠CAE

∴∠CAE =∠AEG

∴AC = EC

正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.

例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F

    求证：AP = EF

    证明:连结AC 、PC

∵四边形ABCD为正方形

∴BD垂直平分AC，∠BCD = 90^o

∴AP = CP

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90^o

∴四边形PECF为矩形

∴PC = EF

∴AP = EF

从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.

例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90^o，BD = BC，BD交AC于O

求证：CO = CD

证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形

∴AE = DF

∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90^o，

∴AE = BE = CE =BC，∠ACB = 45^o

∵BC = BD

∴AE = DF = BD

又∵DF⊥BC

∴∠DBC = 30^o

∵BD = BC

∴∠BDC =∠BCD

        = (180^o－∠DBC)

= 75^o

∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30^o＋45^o = 75^o

∴∠BDC =∠DOC

∴CO = CD

有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形.

例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC

求证：∠AEC = 3∠DAE

证明：连结BE并延长交AD的延长线于N

∵AD∥BC

∴∠3 =∠N

又∵∠1 =∠2   ED = EC

∴△DEN≌△CEB

∴BE = EN    DN = BC

∵AB⊥AD

∴AE = EN = BE

∴∠N =∠DAE

∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE

∵DE = BC   BC = DN

∴DE = DN

∴∠N =∠1

∵∠1 =∠2   ∠N =∠DAE

∴∠2 =∠DAE

∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE

即∠AEC = 3∠DAE

等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD相交于O，∠AOB = 60^o ，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点

求证：△MEF是等边三角形

证明：连结BF、CE

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴AD = BC，AC = BD

又∵AB为公共边

∴△ABD≌△BAC

∴∠CAB =∠DBA

∴OA = OB

∵∠AOB = 60^o

∴△ABO为等边三角形

又∵F为AO中点

∴BF⊥AC

∵M为BC中点

∴MF =BC

同理可证：ME =BC

∵E、F分别为OD、OA中点

∴EF =AD

∵AD = CB

∴ME = MF = EF

∴△MEF为等边三角形

已知x²－x－1=0，则－x³＋2x²＋2 002的值为（    ）．C

A．2 001            B．2 002       C．2 003       D．2 004

解：∵x²－x－1=0，∴－x³＋2x²＋2 002=( x²-x)+ x²+2002= x²-x+2002=1+2002=2003

（2010 山东淄博）已知关于x的方程．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

解: （1）由题意得△＝≥0　

化简得 ≥0，解得k≤5．

（2）将1代入方程，整理得，解得 ，.

（3）设方程的两个根为，，

根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，

那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5

(20##年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区20##年底拥有家庭轿车64辆，20##年底家庭轿车的拥有量达到100辆.

（1）     若该小区20##年底到20##年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到20##年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）     为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.

 解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则
64（1+x）  ²=100，
解得：x  ₁=25%，x  ₂=-2.25（舍去），
∴100（1+25%）=125，
答：该小区到20##年底家庭轿车将达到125辆；
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
则 ， ，
   解得：，
 由题意得：a=20或21，则b=50或45，
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个，
方案二：建室内车位21个，露天车位45个．

第二篇：北师大版初二数学下五、六章讲义(适于家教用)

第五章 数据的收集与处理

一. 每周干家务活的时间

※1. 所要考察的对象的全体叫做总体; 把组成总体的每一个考察对象叫做个体;

从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.

※2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查; 为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.

二. 数据的收集

※1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它

得到的只是估计值.

而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.

第六章 证明(一)

二. 定义与命题

※1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.

定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.

※2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.

正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.

※3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的

原始依据,这样的真命题叫做公理.

※4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作

为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

¤5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.

三. 为什么它们平行

※1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)

※2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.

※3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.

四. 如果两条直线平行

※1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;

※2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;

※3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.

五. 三角形和定理的证明

※1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°

¤2. 一个三角形中至多只有一个直角

¤3. 一个三角形中至多只有一个钝角

¤4. 一个三角形中至少有两个锐角

六. 关注三角形的外角

※1. 三角形内角和定理的两个推论:

推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）

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