关于“吃透”数学教材的若干思考

[摘　要]　数学新课程背景下，许多数学教师特别是青年数学教师正在弱化“吃透”数学教材的意识。“吃透”数学教材是十分重要和必要的。“吃透”数学教材意味着教师对“熟悉”数学教材的超越，能真正认识到新旧不同数学教材的差异，能因地制宜地分析与利用教材，能以建设性的批判眼光审视教材，能“反向思考”、创造性地理解教材。数学教师应充分认识当前数学课程改革对数学教材的制约作用和内在要求，运用系统分析方法，从宏观和微观“吃透”数学教材。为了能“吃透”数学教材，数学教师还应始终坚持学习和研究。

[关键词]　数学新课程；吃透数学教材；系统方法；宏观与微观分析

一、问题的提出

年龄稍微大一些的数学教师通常有一个共同的经验，即为了取得较好的数学课堂教学效果应当高度重视备课工作，而备好课的关键则是“吃透”数学教学大纲和所用的数学教材。尤其是数学新课程改革前“，以纲为纲，以本为本”基本上是他们的一个口头禅，即使在中考、高考等数学试题分析中，他们也习惯于从所用数学教材中找出相应的“原型”，并以此为依据要求学生在数学学习中要“紧扣课本”，他们坚信“，这法、那法，不吃透数学教材就没法”。如果说数学新课程改革前，部分数学教师对数学教材有点“迷信”的话，那么，数学新课程改革后，特别是随着数学课程标准(实验稿)的颁布以及多种课标版教材的发行，部分数学教师(特别是一些年轻数学教师)对数学教材的态度则走向了另一个极端，他们更多地是在“弱化”数学教材的作用，对于数学教材的认知折射出选择性的冲突和需求的急功近利倾向(本质上把是否有利于考试看作要否“吃透”数学教材的评价标准)。在教育价值多元化、数学教材市场化的今天，我们有必要深入分析并讨论如下的一些基本命题:新课程背景下，还要不要提倡“吃透”数学教材?什么叫做“吃透”数学教材?如何才能“吃透”数学教材?

二、新课程背景下，数学教师“吃透”教材的价值分析

在数学新课程背景下，数学教师“吃透”教材，既是必要的，也是重要的。对大多数数学教师而言(一些高素质的数学教师或许可以不用教材，也可以实施“无备课”教学，应当排除)，只有“吃透”数学教材，才能真正实施有效的数学课堂教学，只有“吃透”数学教材，才能更好地提高数学教育教学质量为学生服务，这是“生本”意识的增强。

(一)凝聚于数学教材本身的价值决定了“吃透”数学教材的价值

数学教材是字、符、图、表组成的意义符号系统，是由众多专家协作，经过反复思考而编写的数学学习资料，对数学教材内容处理以及表现数学本质方面往往有他们独到的想法。尽管他们在设计数学知识结构与呈现方式等方面也可能会有某些局限性或不足，不会适合所有学生或教师使用，但就总体而言，由于大多数数学教材编写专家(其队伍往往由数学家、数学课程与教学论专家以及一线专家型数学教师组成)的数学及其教学功底通常要远高于普通的数学教师，他们对数学课程标准、数学教材整体结构以及学生数学学习规律的理解、把握通常要远强于一般的数学教师，他们在编写的数学教材上下的工夫(时间)也远多于执教的数学教师。因此，单个数学教师(甚至数学教师群体)在设计数学教学过程时要整体地超越数学教材编写专家，尽管也具有一些优势(比如对特定学生群体的把握)，但是更多地会面临着多方面的现实困难(尤其是时间和精力)。

(二)实践中一些不合理教学现象凸显了“吃透”数学教材的价值

一个不能“吃透”数学教材的教师，或许能够“照本宣科”或者拿着别人的教案“依样画葫芦”去上课，但是学生的收获必然不会大。比如，就初中“一元一次不等式和一元一次不等式组”的教学而言，学生或许掌握了相应的数学概念以及基本解法，但对数学教材中所凝聚的“转化思想” “数形结合思想”、“分类讨论思想”、“对立统一思想”却很难真正掌握。现实中，有许多教师常常用其他版本教材或课外教辅资料中的相关资料替换所用教材中的相应材料，并美其名曰“调整教材”，但由于这一行为并不是真正建立在“吃透”现有数学教材的基础上，所以相应的“调整教材”行为不仅缺乏必要的根基，在教学实施中不能取得预期效果，而且很容易直接导致数学课堂中效益、质量“双低下”现象，甚至会在一些生成性的数学教学过程中造成非常低级的教学失误。某初中数学教师在《证明的再认识》的一个教学片断如下:

师:同学们在小学里已经学过三角形内角和等于180°，当时大家是怎么知道的?

生1:通过量角器量出每一个角，再把三个角的度数相加得到。

生2:可以把三角形的角剪下来拼在一起得到。

师:你能用说理的方法来证明三角形内角和定理吗?

生1:如果一个三角形为直角三角形，则直角等于90°，又因为两锐角互余，所以三角形内角和等于180°。

师:谁能证明一般三角形的内角和定理?

生2:过三角形的一个顶点作平行线(如图1)，通过两直线平行，同位角相等，内错角相等，可得三角形内角和等于180°。

师:还有其他方法吗?

生3:画这个三角形的外接圆(如图2)，我们知道圆周角等于它所对弧度数的一半，而圆的度数为360°，所以三角形内角和等于180°。

生4:我还有一种方法，作三角形的一条高(如图3)，我们知道三角形的外角等于不相邻两个内角和，由此可知三角形内角等于180°。

师:好，命题要转化为画图、已知、求证和证明。

案例中该数学教师明显的教学失误在于他没有能识别频频产生的“循环论证”错误。当学生1回答“如果一个三角形为直角三角形，则直角等于90°，又因为两锐角互余，所以三角形内角和等于180°”时，教师没有预料到学生从特殊情况来考虑，更没有想到该学生本质上是用到了循环论证(直角三角形中两锐角互余是由三角形内角和定理得到的)，不仅未能直接判断该证明的准确性，而且由于模糊处理了学生的回答错失了一次教学良机。对学生3和学生4的证明，教师也没有能认识到他们的方法本质上也是一种循环论证(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和是由三角形内角和定理得到的；圆周角等于它所对弧度数的一半是由一个外角等于不相邻的两个内角和这个定理推得的)，再次模糊处理，教学及其评价已无有效性可言。用推论来证定理犹如先有父亲还是先有儿子的问题一样，明显的循环论证，为什么不向学生解释、交代?这种教学失误完全是由教师备课不充分，没有反复研读课本和教参，对教学内容不能烂熟于胸造成的。只有充分理解数学教材中内容设计的思路与意图，搞明白内容的数学本质及内在联系，才有可能成功地走出教材，获得恰当的教学设计思路，确保动态生成性数学课堂教学的有效性。从某种意义上，在不少学校中师生数学教材意识的“失落”正反映了教风与学风“浮躁”，不能“吃透”数学教材正成为一些青年教师专业成长、部分学校有效实施数学新课程的瓶颈。

(三)数学教师的教学创造性地说明了“吃透”数学教材的价值

数学教师只有根据实际需求设计出有针对性的教学思路，在“教材、学生、教法”三方实施科学有效的动态处理，才能在教学实施中生成教学的创造性。显然，数学教师教学创造性的获得离不开对数学教材的“吃透”。从知识的系统性进行分析，数学教材是按照一定的数学教学目标，遵循相应的数学教学规律组织起来的数学理论知识系统，它不仅提供了数学课堂教学的内容资源，而且提供了数学教学活动的基本线索和方法路径。因此，研究数学教材和理解数学教材，是组织好数学课堂教学、实现数学课堂有效教学的重要基础和前提条件“，吃透”数学教材应是数学教师一项必修的基本功。一个数学教师如果不能把教材中数学知识的发生发展过程弄得清清楚楚，不能透彻了解表层数学知识所蕴含的深层数学思想方法，不能有效揣摩相应章节的数学教材为什么要那样去写，每一段话、每一幅图、每一个例题和习题的作用是什么，他将很难设计出符合学生认知规律的、高效的、有价值的数学教学过程。事实上，大多数有经验的中老年数学教师都有这样的感觉，即上某节数学课之前，自己心中常常有着许多疑问。比如:这节课涉及到哪些基本概念、法则、公式?有哪些重要的思想方法?它们的来源分别是什么?哪些知识是关键、重点?学生在学习哪些知识可能产生疑难?知识的衔接点或生长点是什么?自己将如何展开教学?为什么要这样设计?这节课的知识与生活实际有什么关联?应该怎样解决这个问题?……这些疑问常常迫使教师自己去思考、去学习。面对良莠不齐、数量众多的数学材料，他们更钟情于资质较好、出版社正规出版的数学教材———尽管它们也进入市场化运作，也体现了利益追求，但众多的评审环节必然使它们的科学性、权威性远胜于一般教辅资料。因此，他们坚信，只要不浮躁，只要认真、仔细、用心地研究数学教材，这些问题的答案一般都能从数学教材中找到，至少能够露出端倪。可见，为了上好每一节课，钻研并“吃透”数学教材，不但不能削弱，反而还应进一步加强。应当指出的是，如果所用数学教材确实隐藏了一些错误或缺憾，自己通过研究发现了问题并采取了相应方法(如用相关教学资料进行补充或替换)，一方面说明教师已经在“走近数学教材”的基础上“走进数学教材”，离“吃透”数学教材的目标已经越来越近；另一方面说明数学教材建设是有待广大数学教师介入的过程，数学教师应当树立应有的课程意识。但就总体而言，由于大多数教材并不会败坏到“一文不值”的地步，所以虽然鼓励数学教师积极介入数学教材建设(包括通过发挥自己聪明才智补充或开发新教材)，但这种介入的前提是教师本人应当尽可能“吃透”并“利用”现有的数学教材，否则“重复劳动”、“吃力不讨好”难免。

三、新课程背景下，数学教师“吃透”数学教材的特殊内涵

数学教材是数学课程的重要组成部分，既直接反映数学课程内容，又反映数学课程设计中规定的数学学习活动方式。在数学新课程背景下，更加强调数学教材为学生的学习活动提供基本线索，更加强调教材是实现课程目标、实施教学的重要资源。[1](P92)我们应当认识到数学课程对数学教材具有特定的规范、制约和指导作用，以及数学教材对数学课程发展的反作用。由此，我们应注意数学新教材与数学课程标准的变化，理解数学教材的功能，把握新课程背景下“吃透”数学教材的特殊内涵。

(一)“吃透”数学教材意味着对“熟悉”数学教材的超越

“熟悉”数学教材主要是指要切实把握数学教材的内容，而“吃透”数学教材主要是指在“熟悉”数学教材的基础上充分挖掘数学教材的教育教学功能。可以认为“，熟悉”数学教材更多是从显性层面把握数学教学内容，它要求数学教师在看完数学课本以后能较明确地概括出教材的知识内容及其序列结构，并能据此对数学教学目标及数学教学活动过程进行必要的描述。而“吃透”数学教材不仅要能从显性层面上对数学教学内容进行把握，而且还要求深入知识内容的隐性层面以切实弄清数学教材的内涵，特别地，它要求数学教师能结合具体的内容，从知识技能、思维过程、解决问题、情感态度、学习策略、文化意识等多个维度对数学教材进行功能挖掘。只有把这些功能挖掘出来了，才能为数学教学设计和数学课堂教学活动提供明确的教学目标。

(二)“吃透”数学教材意味着能真正认识到新旧不同数学教材的差异

以初中数学教材为例，新教材(课标版本的数学教材)较旧教材(大纲版本的数学教材)不仅更广泛地涉及到了概率、视图与投影等内容，专门增设了图形的平移与旋转、数据的处理等内容，而且在教学内容的编排顺序上也与以往的教材有所不同，特别是在几何证明中，把学生学会证明书写格式及要求放在全等三角形、四边形内容之后学习。从教材知识深度上进行分析，新教材知识的深度总体上有一定程度的下降。例如，已经删掉了繁杂的分母有理化运算、立方差公式、立方和公式以及三元一次方程组解法等内容，因式分解部分也要求直接用公式不超过两次，在初二上学期前对几何证明基本上不作要求，对数学用表要求明确取消，并删掉了三角形外角的性质。从数学探索的方法及过程进行分析，大多数新教材都比较注重学生探索未知世界的方法及学生亲身经历知识的探索发现过程。例如，课本在设计“平方差公式”和“完全平方公式”时，能注意从几何图形方面对公式的理解，利用面积相等的原理进行拼图，在学习勾股定理时，能注意利用直角三角形三边为边的正方形面积关系来引导学生发现勾股定理，用拼图来引导学生证明勾股定理，引导学生用多种方式证明勾股定理，并努力使认知更符合学生实际。在无理数概念引入中，新教材能通过引导学生认识边长为1的正方形对角线具有的非整数和非分数性质引起学生认知冲突，激发学生探究对角线究竟有多长的欲望。

(三)“吃透”数学教材意味着因地制宜地分析与利用教材

尽管目前所启用的几套数学教材与大纲版本的数学教材已有明显的区别，特别是教材的编者在编写时都力求符合课程标准的编写建议，并使教材各具风格、特色。但是，由于各地地情、校情之不同，学生个性之相异及数学教学活动本身的复杂性，所以，基本上找不到某种版本的数学教材，其编者已能完全预见各种复杂的数学教学活动，即便是知识点也不能说已被某种数学教材完全覆盖。同时，也由于一些数学教材在素材、背景等方面虽然为大多数城镇学生所熟悉，但却并不完全有利于农村及偏远地区学生的理解，已有数学教材尚存在着明显的区域性特征，所以“，吃透”数学教材、使用数学教材本身尚意味着根据所在区域实际情况进行分析与利用数学教材。一般地说，这种分析与利用至少可以包括如下几点:(1)“因材施教”，即根据特定的教学内容，选择相应的教学媒体与教学方法，拓展必要的教学内容，设计具体的教学过程；(2)“必要调整”，即在保持数学教材总体情况不变的前提下，对教材中某些内容与顺序进行必要的变化及适当的变换；(3)“整合更新”，即将教材中各个知识点综合、连结、重构，纳入成一个新的有机整体，融合为新的主题。特别地，应注意根据所在区域实际情况选用一些学生熟悉的素材，使他们能够理解和掌握教材中所呈现的相关数学知识点。可见，在数学新课程背景下“，吃透”数学教材不是要拘泥于数学教材“，吃透”数学教材也不等于鼓励教师做数学教材忠实的实施者；相反，应当鼓励教师在把握数学教材精神的基础上合理开发和运用数学教材，在遵循数学教材线索的基础上妥善调整和处理数学教材。从某种意义上说，所使用的数学教材的教育价值和智力价值能否得到充分的发挥，关键是数学教师对该版本数学教材的研究和把握。

(四)“吃透”数学教材意味着以建设性的批判眼光审视教材

由于多方面的原因，不少版本的数学教材还存在着一些显性的或隐性的不足，所以“吃透”数学教材还意味着在欣赏数学教材优点的同时，要善于以建设性的批判眼光审视教材中仍然存在的一些相关缺点。比如，是否存在知识性错误?内容是否略显膨胀?有些知识点设计会不会加重教师和学生负担?例题、习题的难度设置是否恰当、是否配套、层次性够不够?不同学段教材在衔接上有没有出现断层?等等。从某种意义上说，数学教材中存在“暇疵”并不可怕，可怕的是存在“暇疵”没有人去发现，更可怕的是发现了“暇疵”而仍把它当作“圣经”不敢或不愿去改正“错误”，结果只能是误人子弟。调研表明，缺乏经验的数学教师往往会死守课本，经验丰富的数学教师往往会超越课本，他们会在读“通”教材的基础上注意适当整合教材，创设合适的数学学习情境；在读“透”例题基础上，适当留白，提升学生的数学思维品质；在读“活”习题的基础上，推陈出新，挖掘习题的发展功能。事实上，由于学生的数学学习状况是有差异的，数学课堂上师生的互动也是瞬息万变的，所以“吃透”数学教材并不是要求数学教师根据数学教材的预设而展开数学课堂教学，而是根据需要进行必要的合理选择，对材料的呈现也可以根据需要重新进行组织。更为一般地说，当数学教材中呈现的问题情境与当地学生生活实际相差较远时，教师可以将其换成学生熟悉的事物；当教材提供的学习内容、数据信息与本班学生实际状况有差距时，教师可以做适当调整；当教材安排的课时对本班学生来说过快或过慢时，教师可以结合本班实际调整自己的教学进度。

(五)“吃透”数学教材还意味着“反向思考”，意味着创造性的理解

当我们分析数学教材感到思路不畅，特别是在理解上出现困惑的时候，不妨先把盯着数学教材的目光移开一下，把数学课程标准看重些，把数学教材看轻些，或许会产生新的感觉而有利于更好地“吃透”数学教材。“吃透”数学教材意味着教师对数学教材“了如指掌”，意味着数学教材在教师的心中已经“明朗透亮”。随着数学课程改革的不断推进和深入，我们应当更加强调“吃透”数学教材本身的有效性，深入理解数学教材的编写意图和知识内容，认真学习数学课程标准，切实分析数学教学对象，妥善利用数学教材进行加工、创造，合理组织教材设计教学，并因此而实现数学教育促进学生全面、持续、和谐发展的目标。

四、新课程背景下，数学教师“吃透”数学教材的方法与路径

对于如何“吃透”数学教材，不同的教师或许“没有定法”，但由于数学教材毕竟是一个系统，在“吃透”数学教材中“贵在得法”，应当倡导运用系统的方法。系统方法是按照事物本身的系统性，把对象放在系统中进行分析、研究的一种方法。它从系统观点出发，坚持从整体与环境之间、整体与要素之间、要素与要素之间的相互联系、相互作用、相互制约的关系中去考察对象，以求最优化地解决问题。运用系统的方法“吃透”数学教材的关键是进行数学教材的背景分析、功能分析、结构分析、要素分析、目标分析、条件分析。其中，背景分析主要是分析数学知识的发生、发展的过程，它与其他有关知识之间的联系，以及它在社会生产、生活和科学技术中的应用；功能分析主要是指对数学教材在培养和提高学生素质的功能方面进行分析，了解这部分教材在整个教材中所处的地位和作用，了解它的学习价值；结构分析主要是指出数学教材的整体性和层次性的特征，组成要素之间的相互关系；要素分析主要是指分析数学教材中的感性材料(包括图表)、概念(特别是核心概念和思想方法)、命题、例题、习题的作用、目的、呈现方式及其具体的教学方法；目标分析主要是分析数学教材在不同板块(可以指章节、单元或者某些段落)预期实现的教学结果；条件分析主要是指分析实现教材预期的教学目标应采取哪些教学支持条件以真正帮助学生更有效地进行数学思维，更好地发现数学规律(比如，如何合理运用信息技术构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的数学活动情境)。

从宏观方向看，应当从整体角度把握一册教材、一个单元在整个教材体系中的地位作用，不仅要研究数学教材的编排体系，而且要研究数学教材中相应的知识结构、核心概念和思想方法。例如，数学教师应当通过“吃透”“数与代数”领域的教材内容，领悟初中“代数”如下的一些核心概念、思想方法:(1)代数式的本质是用字母表示数，它体现了数学的抽象，抽象的目的是为了更深刻地认识问题，更深刻地挖掘数学规律，更准确地表达数学规律，解决各种各样的代数问题；(2)各种式(整式、分式、根式等)运算的核心是用运算律进行“等价变换”；(3)方程本质上是未知数、已知数之间的特定代数关系，解方程是由“代数方程式”确定其中“未知数”的值；(4)“运算律对任何数都成立(通性)，对‘未知数’也成立、可用”构成了解方程的基本原理，据此，有系统地用运算律化简所给方程可以确定出其中的未知数，达到化未知为已知的目的；(5)一元一次方程是所有方程的基础，解其他方程都设法向它转化；(6)函数的本质是符号代表变数，它是研究变化规律的，应善于从变化过程中考察规律。例如:一次函数y=kx+b不仅反映了变化规律由谁反映(明确了x，y的意义)，而且反映了变化规律通过什么决定(明确了k，b的意义)。此外，还应当注意明确教材中相应数学知识内容的前后联系以及不同学段相关内容的呈现序列，深刻理解教材中知识逻辑性、符号抽象性、应用广泛性等特点，并在此基础上，对教材进行必要的教学加工，将抽象性、结构性数学知识和学生日常性、丰富性生活经验加以整合，将教材中静态的数学知识转化为学生主动、能动参与的数学活动，引导学生在“做数学”过程中经历知识的形成过程。

从微观方向看，应当研究每一课时教材的具体内容、编写层次和编写意图，着力读懂、读透教材的每一幅图、每一句话甚至每一道习题，准确理解每个知识点，明晰各个概念的内涵与外延以及各个定理、公式、法则的各种变形和应用，透彻分析教学的重点、难点和疑点，善于将知识串成“串”、编成“网”以系统化、整体化。以苏科版七年级(上)“3.2代数式”[2](P83)为例“，吃透”教材内容后，应能概述出教材的内容板块及主要学习内容(共有两个板块，主题可概括为“有关概念”和“感受代数式”，主要学习内容是:代数式、单项式、多项式、整式的概念，代数式的意义，以及用代数式表示数量和实际问题中的数量关系)；应能准确表达概念的内涵与外延，并能在揭示内涵基础上说明概念的核心之所在(核心概念是代数式，涉及到的概念包括:代数式、单项式、单项式的系数、多项式、整式；概念间的关系是:代数式包括整式，整式包括多项式和单项式，可用图表表示)；应能分析出这部分内容的重点、难点和疑点(重点是根据实际问题的实际意义，分析数量关系，列出正确的代数式，解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，理解有关概念；难点是列代数式及解释简单代数式的实际背景或几何意义；疑点是代数式的意义叙述不正确，列代数式时，审题不清，弄错运算顺序)。

其实，无论用哪一种方法或者何种路径去“吃透”数学教材，都要求数学教师努力做到:能深入思考数学教材的实质，能对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解，能懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性，能揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程，能把握不同知识之间前后的纵向联系以及与其他学科的横向联系，能根据自己以往的教学经验、数学内在的逻辑。关系以及思维发展理论对相关教材内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，能对可能出现障碍的原因进行分析，对难点心中有数，能透过具体素材看到抽象数学，能透过静态文本看到动态过程，能透过习题练习功能看到习题学习功能，能透过教材学科价值看到教材课程价值，全面而又细致地把握文本背后所蕴藏着的丰富内涵。

爱海的人，懂得那一点一滴里万千种生动的意义；会航海的人，读得出一闪一烁中一个个明确的指令。“师生尤其是教师确定教学内容的首要工作是钻研分析教材。教材分析亦成为衡量教师基本工作能力的主要标志。在教学过程中如何合理地使用教材，充分发挥教材中的教育作用，如何科学地加工教材，使它转换成学生容易接受的教学信息，是组织好教学活动的关键。”[3](P118)数学新课程背景下，数学教材涉及的知识面更广，内容的探究性和开发性的要求更高。[4](P264)作为数学教师，应当始终坚持学习和研究，注意掌握“吃透”数学教材的方法和技术，切实提高“吃透”数学教材的意识和能力，唯有如此，才能真正懂得数学教材的意义，读得数学教材的指令，并因此真正“吃透”数学教材。