例析解析几何的交汇题型

    知识交汇题是考查学生分析问题、解决问题能力的重要方面，应注意这方面能力的培养。

一、解析几何与三角函数的综合

    解析几何与三角函数的综合主要体现在焦点三角形中，解决这类题目应注意图形特点，用好正、余弦定理及面积公式以及圆锥曲线的定义。

  例1. 椭圆与双曲线有公共焦点，设P是它们的一个交点，求证：

    （1）；

    （2）

    解：（1）设焦距

   

    在中，由余弦定理得：

   

    由对称性，设P是第一象限中的交点，则：

   

    再由<1>配方得：

    或

   

    （2）

   

二、解析几何与不等式的综合

    解析几何中的不等式综合问题一般运用“判别式”或“点在圆锥曲线内、外”建立不等式关系，再运用一些简单不等式证明方法技巧。

  例2. 设椭圆上相异两点的对称轴在x，y轴上的截距分别是m，n，求证：

    证明：设椭圆上相异的两点为，AB中点为

   

    得：

    （1）当时，，结论成立。

    （2）当时

   

    ∴由<3>得：

    又

    <4>与<5>联立得：

    ∵M在椭圆内部

   

三、解析几何中的最值问题

    最值问题的解法通常有两种：代数法与几何法。若题目明显体现出几何特征及意义，可利用几何法；若题目体现出明确的函数关系，可建立目标函数，求最值。

  例3. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上点的最远距离为，求这个椭圆方程。

   解：设椭圆方程为

   

    由得：

    故椭圆方程为

    设是椭圆上的任意一点，则

   

           

   

    若，则当时，，所以。

    若，则当时，，所以。

    而与矛盾。

    综上所述，所求椭圆方程为。

    点评：本题通过建立函数关系式，使复杂的解析几何问题转化为熟悉的二次函数在给定区间的最值讨论，求解时一定要注意。

  例4. 给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，F为左焦点，当取最小值时，求B点坐标。

    解：由已知，左准线方程为，过B作左准线的垂线，垂足为N，过A作左准线的垂线，垂足为M。

    由椭圆的定义，得：

    所以（定值）。

    当且仅当B是AM与椭圆交点时等号成立，此时。

    所以当取最小值时，B点坐标为。

    点评：本题关键是应用椭圆第二定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离。

第二篇：高考专题解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法

一、高考风向分析：

高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：

    纵观20##年全国各省市18套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一

半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一

半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与

几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向

量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合

能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”

的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有

时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

        鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很

大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题

较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻

下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就

能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几

分算几分。

三、高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

        具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

   典型例题   给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点  及，求线段的中点P的轨迹方程。

    分析：设，代入方程得，。

    两式相减得

    。

    又设中点P（x,y），将，代入，当时得

    。

    又，

    代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是

    说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

变式练习：

给定双曲线2x² - y² = 2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q₁、Q₂ 两点，且点B是线段Q₁Q₂的中点？如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.

（2）焦点三角形问题

    椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

  典型例题  设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。

    （1）求证离心率；

    （2）求的最值。

    分析：（1）设，，由正弦定理得。

    得  ，

     

   （2）。

    当时，最小值是；

    当时，最大值是。

变式练习：

设、分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S_△=bcot 

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

   直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题  

    （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

    （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为

    由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得

   

   

    故直线与抛物线总有两个交点。

    （2）解：设点A(x₁，y₁)，点B(x₂，y₂)

   

   

   

   

   

   

      

变式练习：

直线y=ax+1与双曲线3x²－y²=1交于两点A、B两点

(1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围

(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

    <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

    <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

典型例题

已知抛物线y²=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y²=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，则,又y₁=x₁-a,y₂=x₂-a,

      

 解得:

(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x₃,y₃），则由中点坐标公式得：

,      

所以|QM|²=(a+p-a)²+(p-0)²=2p².又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S_△NAB=,即△NAB面积的最大值为²。

变式练习：

双曲线（a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为 

（1）求双曲线的方程

（2）设直线y=kx+m(k且m)与双曲线交于两个不同的点C、D，若A(0,-1)且=，求实数m的取值范围

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y²=2px(p>0)

设A、B关于L的对称点分别为A^/、B^/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A^/（），B（）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k²-k-1=0.解得：k=,p=.

所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y²=x.

变式练习：

在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，将M点坐标代入，可得：(²-1)(x²+y²)-4²x+(1+4²)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。

变式练习：

过抛物线y=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且≤8，此外，直线AB和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。

（1）求直线AB的斜率k的取值范围

（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程

（6） 存在两点关于直线对称问题

    在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题   已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

    分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得

。

    又，，，代入得。

    又由解得交点。

    交点在椭圆内，则有，得。

变式练习：

为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。

（7）两线段垂直问题

    圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题    已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

    （1）求的取值范围；

（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

分析：（1）直线代入抛物线方程得，

    由，得。

    （2）由上面方程得，

  ，焦点为。

由，得，或

变式练习：

经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。

B:解题的技巧方面

    在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

（1）充分利用几何图形

   解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

  典型例题   设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

    解： 圆过原点，并且，

    是圆的直径，圆心的坐标为

    又在直线上，

    即为所求。

    评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

变式练习：

已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。

    评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题   已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

    解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。

    由方程组消去后得

   

    由，得            （1）

    又P、Q在直线上，

   

    把（1）代入，得，

    即

    化简后，得

           （4）

    由，得

   

    把（2）代入，得，解得或

    代入（4）后，解得或

    由，得。

    所求椭圆方程为

    评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

变式练习：

若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则

 三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题   求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

    即，

    其圆心为C（）

    又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。

    评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

变式练习：

某直线l过直线L₁：４x-３y-12=0和L₂：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L₁的倾斜角的一半，求此直线l的方程

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

典型例题    P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

变式练习：

已知P(x，y)是椭圆x²＋4y²=1上任一点，试求P到直线x + y – 2 = 0的最小值及此时P的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

    一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

    例   求直线被椭圆所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

    例   、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值

③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

    例     点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

五、高考试题选编

1. 过抛物线的焦点F，作弦轴于A、B两点，则弦长等于（    ）

    A. 6                              B. 18                               C.                           D. 36

2. 若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（       ）

    A. （0，5）                B. （1，5）                   C.                        D.

3. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（           ）

    A.              B.                    C.             D.

4. 过点A引抛物线的一条弦，使该弦被A点平分，则该弦所在直线方程为（           ）

    A.                                               B.

    C.                                              D.

5. 设且，则的最大值与最小值分别是（            ）

    A.                   B.                      C. 4，3                          D. 8，6

6. P是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，则点P到F与P到A的距离之和的最小值是（          ）

    A. 3                           B.                              C. 4                                 D.

7.已知圆的弦长为时，则a=（         ）

A．                          B．                        C．             D．

8．(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是（           ）

A．                                            B．        

C．                                               D．

9．(03江苏)已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x₄，0）.若1< x₄<2，则tanθ的取值范围是                                          （             ）

A．                           B．                   C．                 D．

10．(03广东)（双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（            ）

 A.                              B.                        C.                       D.

11. 直线与抛物线只有一个公共点，则k的值为________。

12. 曲线C：关于直线对称的曲线的方程_________。

13．(03年上海) 给出问题：是双曲线的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F₁的距离等于9，求点P到焦点F₂的距离。

某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。

 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在上面空格内；若不正确，将正确结果填在上面空格内。

14. (03年上海)在以O为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零。

（1）求向量的坐标。

（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程。

（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围。

 15. 已知抛物线C：

    （1）求证：抛物线C与x轴交于一定点M；

    （2）若抛物线与x轴正半轴交于N，与y轴交于P，求证：PN的斜率是一个定值；

    （3）当m为何值时，三角形PMN的面积最小，并求此最小值。