解析几何大题常见题型

一、焦半径的应用：第一定义，第二定义，焦半径公式

1.       椭圆上有三点，与右焦点的距离成等差数列，则的值为___________。

2.       双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为；抛物线的准线为，焦点为;与的一个交点为M，则=________。

3.       已知双曲线的左右焦点为，左准线为，P是双曲线左支上一点，并且有是P到的距离与的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

4.       已知某椭圆的焦点是，过点并垂直与轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列。

（1）求该椭圆的方程；     （2）求弦AC中点的横坐标。

二、中点弦，中点问题

1.（1）过点的直线与椭圆交于A,B两点，且AB中点恰是P，则直线AB的方程为_____________；

（2）过点的直线与双曲线交于A,B两点，且AB中点恰是P，则直线AB的方程为_____________；

（3）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线和双曲线交于A、B两点，M是AB的中点，求。

2. 焦点在轴上的椭圆C的一顶点为，右焦点到直线的距离为3。（1）求C的方程；（2）是否存在斜率的直线与C交于两点M、N，且M、N都在以B为圆心的圆上，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

3. 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称。

4. 已知，，且有。

(1) 求点的轨迹C的方程；

（2）若直线与曲线C交于A、B两点，，且有，试求的取值范围。

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解析几何的交汇

    知识交汇题是考查学生分析问题、解决问题能力的重要方面，应注意这方面能力的培养。

一、解析几何与三角函数的综合

    解析几何与三角函数的综合主要体现在焦点三角形中，解决这类题目应注意图形特点，用好正、余弦定理及面积公式以及圆锥曲线的定义。

  例1. 椭圆与双曲线有公共焦点，设P是它们的一个交点，求证：

    （1）；

    （2）

    解：（1）设焦距

   

    在中，由余弦定理得：

   

    由对称性，设P是第一象限中的交点，则：

   

    再由<1>配方得：

    或

   

    （2）

   

二、解析几何与不等式的综合

    解析几何中的不等式综合问题一般运用“判别式”或“点在圆锥曲线内、外”建立不等式关系，再运用一些简单不等式证明方法技巧。

  例2. 设椭圆上相异两点的对称轴在x，y轴上的截距分别是m，n，求证：

    证明：设椭圆上相异的两点为，AB中点为

   

    得：

    （1）当时，，结论成立。

    （2）当时

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高考专题：解析几何常规题型及方法

一、高考风向分析：

高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：

    纵观20##年全国各省市18套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一

半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一

半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与

几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向

量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合

能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”

的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有

时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

        鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很

大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题

较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻

下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就

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例析解析几何的交汇题型

    知识交汇题是考查学生分析问题、解决问题能力的重要方面，应注意这方面能力的培养。

一、解析几何与三角函数的综合

    解析几何与三角函数的综合主要体现在焦点三角形中，解决这类题目应注意图形特点，用好正、余弦定理及面积公式以及圆锥曲线的定义。

  例1. 椭圆与双曲线有公共焦点，设P是它们的一个交点，求证：

    （1）；

    （2）

    解：（1）设焦距

   

    在中，由余弦定理得：

   

    由对称性，设P是第一象限中的交点，则：

   

    再由<1>配方得：

    或

   

    （2）

   

二、解析几何与不等式的综合

    解析几何中的不等式综合问题一般运用“判别式”或“点在圆锥曲线内、外”建立不等式关系，再运用一些简单不等式证明方法技巧。

  例2. 设椭圆上相异两点的对称轴在x，y轴上的截距分别是m，n，求证：

    证明：设椭圆上相异的两点为，AB中点为

   

    得：

    （1）当时，，结论成立。

    （2）当时

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课题：“点差法”在解析几何题中的应用

学时：20

课型：复习课

复习引入：

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.

1     求弦中点的轨迹方程

例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.

例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是           .

2     求曲线方程

例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.

例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.

3     求直线的斜率

例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.

.

4     确定参数的范围

例6  若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.

5     证明定值问题

例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.

6     处理存在性问题

    例8     已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

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                         立体几何初步

                                   本章知识结构与体系

立体几何体知识点：（1）空间几何体

                 （2）点、直线、面的位置关系

                 （3）空间直角坐标系

（1）空间几何体的知识点：

            

（2）点、直线、面的位置关系：

        

（3）空间直角坐标系:

           

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立体几何重点题型

【考点透视】

(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

(B)版.

①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.

②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.

③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念.

⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.

⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.

⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.

空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

   求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

【例题解析】

考点1  点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

典型例题

例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

例2.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

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