抛物线的简单几何性质
课前预习学案
一、 预习目标
回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程，预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
二、 预习内容
1、 复习回顾
(1) 抛物线定义
叫作抛物线； 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线
（2）抛物线的标准方程
①相同点 ；
②不同点 ；
（3）回顾练习
①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB
②在抛物线y2＝2x上方有一点M（3，
），P在抛物线上运动，|PM|=d1,P到准线的距离为d2，求当d1 +d2最小时，P的坐标。
2、预习新知
（1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质
①范围 ： ；
②对称性： ；
③顶点： ；
④离心率： ；
（2）自我检测：
1．已知点
，直线
：
，点
是直线上的动点，若过垂直于
轴的直线与线段
的垂直平分线交于点
，则点所在曲线是（ ）
圆 
椭圆 
双曲
线 
抛物线
2．设抛物线
的焦点为
，以
为圆心，
长为半径作一圆，与抛物线在
轴上方交于
，则
的值为 （ ）
8 18 
4
3．过点
的抛物线的标准方程是 ．
焦点在
上的抛物线的标准方程是 ．
4．抛物线
的焦点为，
为一定点，在抛物线上找一点，当
为最小时，则点的坐标 ，当
为最大时，则点的坐标 ．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑
，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
二、学习过程
1、定义 ；
2、标准方程 ；
3、几何性质
①范围 ： ；
②对称性： ；
③顶点： ；
④离心率： ；
4、完成下表
思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？
5、分析例题
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
例3 过抛物线
的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
例4． 已知抛物线
与圆
相交于
两点
，圆与轴正半轴交于
点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在
上．
（1）求
三点的坐标．（2）当两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线的方程．
课后练习与提高
1．过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
，
两点，如果
，那么
=（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点
，则
的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 
（C）5 （D）6
3．过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
、
两点，若线段、
的长分别是
、
，则
=（ C ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．过抛物线焦点的直线它交于
、两点，则弦
的中点的轨迹方程是 ______ (答案：
)
5.定长为
的线段的端点、在抛物线
上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案：
, M到轴距离的最小值为
）
6．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
7．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
8．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
9．以椭圆
的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
10．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
抛物线的简单几何性质
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为（或），则轴（或轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数
本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为
、左端为
；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为
，左端为
（2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
二、讲解新课：
抛物线的几何性质
1．范围
因为p＞0，由方程
可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：
注意强调
的几何意义：是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也
就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，
它的切线斜率接近于其渐近线的斜率
附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）
假设抛物线y2＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A（x，y）为抛物线上一点，
A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，
则有
和y1＝mx＋n．
∴ 
当m≠0时，若x→＋∞，则
当m＝0时，
，当x→＋∞，则
这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以 
，即 
因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为
，根据
计算
抛物线在
的范围内几个点的坐标，得
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是 (p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得
，
即 
所求的抛物线标准方程为
．
例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．
四、课堂练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则
=（ C ）
（A） （B） （C） （D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______ (答案： )
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案： , M到轴距离的最小值为）
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆
在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽
是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90°
3．x2＝±16 y
4．
5．
米
七、板书设计（略）
八、课后记：
第二篇：高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（一）
学习目标：1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量
；2、会简单应用抛物线的几何性质。
一、知识回顾：
1、抛物线
的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 。
2、抛物线
上的两点
、
到焦点的距离之和为5，则线段
的中点的横坐标是 。
3、抛物线
的焦点为
，
为定点，在抛物线上找一点
，当
为最小时，则点的坐标 ，当
为最大时，则点的坐标 。
二、典例分析：
〖例1〗：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
〖例2〗：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线
上，求这个正三角形的边长。
〖例3〗：定长为3的线段的两端点在抛物线
上移动，设点为线段的中点，求点到
轴的最小距离。
〖例4〗：抛物线
上有两个定点、（位于
轴的上下两侧），是抛物线的焦点，并且
，
。在抛物线
这段曲线上，求一点
，使得
的面积最大，并求最大面积。
三、课后作业：
1、已知点
，直线
：
，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段
的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
2、若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
3、过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两点，则
的最小值为（ ）
A、
B、 C、
D、无法确定
4、设抛物线的焦点为，以
为圆心，
长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于
，则
的值为（ ）
A、8 B、18 C、
D、4
5、抛物线上一点到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、已知点是抛物线
上的点，设点到抛物线的准线的距离为
，到圆
上一动点
的距离为
，则
的最小值为（ ）
A、
B、 C、
D、
7、过定点
，作直线与曲线
有且仅有１个公共点，则这样的直线共有 条。
8、过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，若点、在抛物线的准线上的射影分别是
，
，则
。
9、抛物线
的动弦长为
，则弦的中点到轴的最小距离为 。
10、是抛物线上的两点，且
，
（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线过定点；（3）求弦中点的轨迹方程；（4）求
面积的最小值；（5）
在上的射影轨迹方程。
（选做题）11、、是抛物线上的两点，满足（为坐标原点）：
（1）求证：、两点的横坐标之积为定值；（2）直线经过一定点；（3）求线段的中点的轨迹方程。